云浮市届高一上学期期末考试数学.docx
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云浮市届高一上学期期末考试数学
云浮市2015届高一上学期期末考试
数学
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）将a2﹣2a﹣15按十字相乘法可分解得到（）
A．（a﹣2）（a+5）B．（a+2）（a﹣5）C．（a﹣3）（a+5）D．（a+3）（a﹣5）
2．（5分）化简
÷
的结果为（）
A．xB．﹣xC．
D．﹣
3．（5分）若集合A={x|x＞﹣3}，则（）
A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A
4．（5分）函数f（x）=
的定义域为（）
A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣3，+∞）D．（﹣∞，2）
5．（5分）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，则甲运动员的极差与乙运动员的众数分别是（）
A．20、80B．20、81C．17、80D．17、81
6．（5分）函数f（x）=3x+lnx﹣5的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．（5分）已知三点（2，5），（4，7），（6，12）的线性回归方程
=1.75x+a，则a等于（）
A．0.75B．1C．1.75D．﹣1
8．（5分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）如图是某种算法的程序框图，若输入x=2，则输出的x，n分别为（）
A．x=282，n=4B．x=282，n=5C．x=849，n=5D．x=849，n=6
10．（5分）函数f（x）=1﹣
（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x﹣2恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣2，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若
=2﹣b，则实数b的取值范围是．
12．（5分）设a∈{﹣1，2，
，3}，则使幂函数y=xa的定义域为R且为偶函数的所有a取值构成的集合为．
13．（5分）若log32=a，log35=b，则3a+b=．
14．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣b．若a、b都是从区间[0，4]内任取的一个数，则f
（1）＞0成立的概率是．
三、解答题（共6小题，满分80分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x﹣a＜0}．
（1）当a=3时，求A∩（∁RB）
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
16．（13分）如图是为解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及框图之间的关系，回答下面的问题：
（1）若a=﹣1，b=3，求输出y1，y2的值；
（2）若最终输出的结果是y1=3，y2=﹣2，求a，b的值．
17．（13分）云浮市质监部门为迎接2015年春节到来，从市场中随机抽取100个不同生产厂家的某种产品检验质量，按重量（单位；g）分组（重量大的质量高），得到的频率分布表如图所示：
组号重量分组频数频率
第1组[160，165）50.050
第2组[165，170）①0.350
第3组[170，175）30②
第4组[175，180）200.200
第5组[180，185]100.100
合计1001.00
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再完成下列频率分布直方图；
（2）由于该产品要求质量高，决定在重量大的第3，4，5组中用分层抽样抽取6个产品再次检验，求第3，4，5组每组各抽取多少产品进入第二次检验？
18．（14分）农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：
（单位：
cm）
甲：
9，10，11，12，10，20
乙：
8，14，13，10，12，21
（Ⅰ）绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
（Ⅱ）分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．
19．（14分）某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=
，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．
20．（14分）已知f（logax）=
（x﹣
）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）若不等式f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）将a2﹣2a﹣15按十字相乘法可分解得到（）
A．（a﹣2）（a+5）B．（a+2）（a﹣5）C．（a﹣3）（a+5）D．（a+3）（a﹣5）
考点：
有理数指数幂的化简求值．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
﹣15可分解成﹣5×3，从而化简可得．
解答：
解：
a2﹣2a﹣15=（a+3）（a﹣5）；
故选D．
点评：
本题考查了十字相乘法的应用，属于基础题．
2．（5分）化简
÷
的结果为（）
A．xB．﹣xC．
D．﹣
考点：
有理数指数幂的化简求值．
专题：
计算题．
分析：
根据指数幂的性质进行计算即可．
解答：
解：
原式=
•
=x，
故选：
A．
点评：
本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．
3．（5分）若集合A={x|x＞﹣3}，则（）
A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
集合．
分析：
由已知，明确A集合中含有元素0，然后注意元素与集合关系的符号表示以及集合与集合的关系表示即可．
解答：
解：
因为0＞﹣3，所以0∈A，{0}⊆A；
故选D．
点评：
本题考查了元素与集合的关系以及集合与集合的关系，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）=
的定义域为（）
A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣3，+∞）D．（﹣∞，2）
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
解答：
解：
∵函数f（x）=
，
∴
；
解得﹣3＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为（﹣3，2）．
故选：
A．
点评：
本题考查了根据函数的解析式求函数定义域的问题，是基础题目．
5．（5分）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，则甲运动员的极差与乙运动员的众数分别是（）
A．20、80B．20、81C．17、80D．17、81
考点：
众数、中位数、平均数．
专题：
概率与统计．
分析：
根据茎叶图计算甲的极差，找出乙成绩中出现最多的数据即可．
解答：
解：
由茎叶图可知，甲成绩的极差为95﹣78=17，乙运动员的众，80；
故选C．
点评：
本题考查了茎叶图中的极差以及众数的计算，明确各定义是关键，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）=3x+lnx﹣5的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
考点：
二分法求方程的近似解．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由题意，函数f（x）=3x+lnx﹣5在其定义域上连续，且单调递增；再代入函数值，利用零点判定定理判断．
解答：
解：
∵函数f（x）=3x+lnx﹣5在其定义域上连续，且单调递增；
f
（1）=3﹣5=﹣2＜0，f
（2）=9+ln2﹣5＞0；
∴f
（1）•f
（2）＜0；
故函数f（x）=3x+lnx﹣5的零点所在区间为（1，2）；
故选B．
点评：
本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题．
7．（5分）已知三点（2，5），（4，7），（6，12）的线性回归方程
=1.75x+a，则a等于（）
A．0.75B．1C．1.75D．﹣1
考点：
线性回归方程．
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
根据所给的三对数据，做出y与x的平均数，把所求的平均数代入公式，求出b的值，再把它代入求a的式子，求出a的值，根据做出的结果，写出线性回归方程．
解答：
解：
由三点（2，5），（4，7），（6，12），可得
=4，
=8，
即样本中心点为（4，8）
代入
=1.75x+a，可得8=1.75×4+a，
∴a=1，
故选：
B．
点评：
本题考查线性回归方程的求法，在一组具有相关关系的变量的数据间，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再代入样本中心点求出a的值，本题是一个基础题．
8．（5分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）
A．
B．
C．
D．
考点：
列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：
概率与统计．
分析：
这是一个古典概型问题，我们可以列出从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，可能组成的所有三角形的个数，然后列出其中是直角三角形的个数，代入古典概型公式即可求出答案．
解答：
解：
从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：
ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=
，
故选：
C．
点评：
本题考查古典概型的概率问题，掌握古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键．
9．（5分）如图是某种算法的程序框图，若输入x=2，则输出的x，n分别为（）
A．x=282，n=4B．x=282，n=5C．x=849，n=5D．x=849，n=6
考点：
程序框图．
专题：
算法和程序框图．
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，x，n的值，当S=134+282=416＞200，退出循环，输出x=849，n=6．
解答：
解：
模拟执行程序框图，可得
第1步：
S=2，x=3×2+3=9，n=2；
第2步：
S=2+9=11，x=3×9+3=30，n=3；
第3步：
S=11+30=41，x=3×30+3=93，n=4；
第4步：
S=41+93=134，x=3×93+3=282，n=5；
第5步：
S=134+282=416＞200，x=849，n=6；
所以输出的x=849，n=6．
故选：
D．
点评：
本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S，x，n的值是解题的关键，属于基础题．
10．（5分）函数f（x）=1﹣
（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x﹣2恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣2，+∞）
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由函数f（x）=1﹣
（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，可得a的值，若当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x﹣2恒成立，即当x∈（0，1]时，t≥
恒成立，构造函数g（x）=
求出当x∈（0，1]时，函数的最大值，可得答案．
解答：
解：
∵函数f（x）=1﹣
（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=1﹣
=1﹣
=0，
解得a=2，
即f（x）=1﹣
=
，
若当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x﹣2恒成立，
则当x∈（0，1]时，t≥
恒成立，
令g（x）=
=
=
，
则g（x）在（0，1]上为增函数，
当x=1时，函数最最大值0，
故t≥0，
即实数t的取值范围是[0，+∞），
故选：
A
点评：
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的性质，恒成立问题，难度中档．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若
=2﹣b，则实数b的取值范围是（﹣∞，2]．
考点：
根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：
计算题．
分析：
根据绝对值的意义得到b﹣2≤0，从而求出b的范围．
解答：
解：
∵
=|b﹣2|=2﹣b，
∴b﹣2≤0，
∴b≤2，
故答案为：
（﹣∞，2]．
点评：
本题考查了根式的化简，考查了绝对值的意义，是一道基础题．
12．（5分）设a∈{﹣1，2，
，3}，则使幂函数y=xa的定义域为R且为偶函数的所有a取值构成的集合为{2}．
考点：
幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据题意，讨论a的取值，得出满足条件的a值即可．
解答：
解：
根据题意，得；
当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，不满足条件；
当a=2时，y=x2的定义域是R，且为R上的偶函数，满足条件；
当a=
时，y=
=
的定义域是[0，+∞），不满足条件；
当a=3时，y=x3的定义域是R，且为R上的奇函数，不满足条件；
综上，所有a取值构成的集合为{2}．
故答案为：
{2}．
点评：
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
13．（5分）若log32=a，log35=b，则3a+b=10．
考点：
指数式与对数式的互化．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据指数恒等式进行化简即可．
解答：
解：
3a+b=3a×3b=
=2×5=10，
或者由log32=a，log35=b得3a=2，3b=5，
则3a×3b=2×5=10，
故答案为：
10．
点评：
本题主要考查指数幂的运算和求值，根据指数幂和对数之间的关系是解决本题的关键．比较基础．
14．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣b．若a、b都是从区间[0，4]内任取的一个数，则f
（1）＞0成立的概率是
．
考点：
几何概型．
专题：
数形结合．
分析：
本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中，画出f
（1）＞0对应的区域，和a、b都是在区间[0，4]内表示的区域，计算它们的比值即得．
解答：
解：
f
（1）=﹣1+a﹣b＞0，即a﹣b＞1，
如图，A（1，0），B（4，0），C（4，3），
S△ABC=
，P=
=
=
．
故答案为：
．
点评：
本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．古典概型与几何概型的主要区别在于：
几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个．
三、解答题（共6小题，满分80分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x﹣a＜0}．
（1）当a=3时，求A∩（∁RB）
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
考点：
集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
专题：
计算题；集合．
分析：
（1）化简B={x|x﹣3＜0}={x|x＜3}，从而求得A∩（∁RB）=[3，4]；
（2）化简B={x|x﹣a＜0}={x|x＜a}，从而由A⊆B知a＞4．
解答：
解：
（1）当a=3时，B={x|x﹣3＜0}={x|x＜3}．
∁RB={x|x≥3}，
故A∩（∁RB）=[3，4]；
（2）∵B={x|x﹣a＜0}={x|x＜a}．
当A⊆B时，
a＞4，
故实数a的取值范围是（4，+∞）．
点评：
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
16．（13分）如图是为解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及框图之间的关系，回答下面的问题：
（1）若a=﹣1，b=3，求输出y1，y2的值；
（2）若最终输出的结果是y1=3，y2=﹣2，求a，b的值．
考点：
程序框图．
专题：
图表型；算法和程序框图．
分析：
（1）该程序框图的功能是求函数f（x）=ax+b的函数值，其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值，由题意代入已知即可求值．
（2）同
（1），代入y的值到f（x）=ax+b，即可求得a，b的值．
解答：
解：
（1）该程序框图的功能是求函数f（x）=ax+b的函数值，其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
∵f（x）=﹣x+3
∴y1=f
（2）=﹣2+3=1
y2=f（﹣3）=﹣（﹣3）+3=6
（2）同
（1），f（x）=ax+b
y1=f
（2），即2a+b=3
y2=f（﹣3），即﹣3a+b=﹣2
解得a=2，b=1．
点评：
本题主要考查了程序框图和算法，分析程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．
17．（13分）云浮市质监部门为迎接2015年春节到来，从市场中随机抽取100个不同生产厂家的某种产品检验质量，按重量（单位；g）分组（重量大的质量高），得到的频率分布表如图所示：
组号重量分组频数频率
第1组[160，165）50.050
第2组[165，170）①0.350
第3组[170，175）30②
第4组[175，180）200.200
第5组[180，185]100.100
合计1001.00
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再完成下列频率分布直方图；
（2）由于该产品要求质量高，决定在重量大的第3，4，5组中用分层抽样抽取6个产品再次检验，求第3，4，5组每组各抽取多少产品进入第二次检验？
考点：
频率分布直方图．
专题：
概率与统计．
分析：
（1）根据频率分布表，利用频率=
，求出①、②的数值，再画出频率分布直方图；
（2）根据分层抽样方法的特点，求出每组分别抽取的数据．
解答：
解：
（1）根据频率分布表，得；
第2组的频数为①：
100×0.35=35，
第3组的频率为②：
=0.30；
画出频率分布直方图如下：
（2）因为第3、4、5组共60个产品，
所以利用分层抽样在60个产品中抽取6个产品，每组分别为：
第3组是
×6=3个，
第4组是
×6=2个，
第5组是
×6=1个，
所以第3、4、5组分别抽取3个、2个、1个．
点评：
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．
18．（14分）农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：
（单位：
cm）
甲：
9，10，11，12，10，20
乙：
8，14，13，10，12，21
（Ⅰ）绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
（Ⅱ）分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．
考点：
茎叶图；极差、方差与标准差．
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）根据数据作出对应的茎叶图．
（Ⅱ）根据平均数和方差的公式，计算出平均数和方差，并根据平均数和方差作出判断．
解答：
解：
（Ⅰ）茎叶图如图所示：
（Ⅱ）
，
，
方差
，
因为
，所以乙种麦苗平均株高较高，
因为
，所以甲种麦苗长的较为正常．
点评：
本题主要考查茎叶图以及利用茎叶图计算数据的平均数和方差，考查学生的计算能力．
19．（14分）某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=
，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．
考点：
分段函数的应用．
专题：
计算题；应用题；函数的性质及应用．
分析：
应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论日销售金额P关于时间t的函数关系，再根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值，最终取较大者分析即可获得问题解答．
解答：
解：
当0＜t＜15，t∈N+时，y=（t+30）（﹣t+40）=﹣t2+10t+1200=﹣（t﹣5）2+1225．
∴t=5时，ymax=1225；
当15≤t≤30，t∈N+时，y=（﹣t+60）（﹣t+40）=t2﹣100t+2400=（t﹣50）2﹣100，
而y=（t﹣50）2﹣100，在t∈[15，30]时，函数递减．
∴t=15时，ymax=1125，
∵1225＞1125，
∴最近30天内，第5天达到最大值，最大值为1225元．
点评：
本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数求最值的方法以及问题转化的能力．
20．（14分）已知f（logax）=
（x﹣
）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）若不等式f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，求实数k的取值范围．
考点：
函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．
专题：
函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：
（1）利用换元法令logax=t，则x=at，代入f（logax）=
（x﹣
）即可求得函数f（x）的解析式；
（2）函数的定义域为R，由f（﹣x）=﹣f（x）证明函数为奇函数，求导后由导函数恒大于0可得f（x）为R上的单调增函数；
（3）由函数的单调性和奇偶性把f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立转化为3t2﹣1＞﹣4t+k对任意t∈[1，3]都成立，即3t2+4t﹣1＞k对任意t∈[1，3]都成立，求出3t2+4t﹣1在[1，3]上的最小值可得k的取值范围．
解答：
解：
（1）令logax=t，则x=at，
由f（logax）=
（x﹣
），得f（t）=
，
∴f（x）=
，
（2）∵定义域为R，且f（﹣x）=
=﹣
=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=
=
，
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）为R上的单调增函数；
（3）f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，
即f（3t2﹣1）＞﹣f（4t﹣k）对任意t∈[1，3]都成立，
也就是f（3t2﹣1）＞f（﹣4t+k）对任意t∈[1，3]都成立，
即3t2﹣1＞﹣4t+k对任意t∈[1，3]都成立，
即3t2+4t﹣1＞k对任意t∈[1，3]都成立，
∵
在t∈[1，3]上的最小值为
．
∴k＜
．
则k的取值范围是（﹣∞，
）．
点评：
本题考查了函数奇偶性和单调性的形状，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数的最值得求法，是中档题.
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