上海奥数精讲 第3讲 几何中的计数问题一教师版.docx

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上海奥数精讲第3讲几何中的计数问题一教师版

教学过程

引入

教学目标：

由简单的线段数的求解激发学生对几何中的计数问题的学习兴趣。

数一数下列图形中有多少条线段.

【讲解过程】

1、教师提问：

什么是线段？

图中有几条线段？

2、提示课题

师：

我们今天要学的内容是：

几何中的计数问题。

（板书课题：

几何中的计数问题）

线段的计数

教学目标：

学习并掌握线段的计数问题。

数一数下列图形中各有多少条线段.

【讲解过程】

1、师生共同读题，让学生计算线段数；

2、教师在学生给出结果后给出指导：

要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.

第一种：

按照线段的端点顺序去数，如上图

（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图

（1）中共有线段2＋1＝3条.

同样按照从左至右的顺序观察图

（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图

（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.

第二种：

按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图

（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？

首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：

AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？

按照基本线段多少的顺序是：

首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.

3、解题过程：

　　解：

①2＋1＝3（条）.

　　②3＋2＋1＝6（条）.

　　③4＋3＋2＋1＝10（条）.

　　小结：

上述三例说明：

要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：

线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.

（巩固拓展：

数一数下图中，各有多少条线段？

）

【讲解过程】

1、师生读题，教师点名学生演板；

2、教师检查结果；

3、解题过程：

解：

①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：

5+4+3+2+1=15（条）.

　　②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为：

　　4+3+2+1=10（条）.

　　在线段CD上有4个分点：

所以它上面线段的总条数为：

　　5+4+3+2+1=15（条）.

　　∴整个图

（2）共有线段10+15=25（条）.

数一数下图中，有多少条线段？

【讲解过程】

1、师生读题，教师提问：

图中共有几条独立的线？

2、分组讨论，派代表演板；

3、解题过程：

解：

（3+2+1）×7=42；

（巩固拓展:

数一数下图中，有多少条线段？

）

【讲解过程】

1、师生读题，教师点名学生演板；

2、教师检查结果；

3、解题过程：

解：

　（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7

　　=21×4+10×7=84+70=154.

角的计数

教学目标：

学习并掌握角的计数问题。

数出右图中总共有多少个角.

【讲解过程】

1、师生读题，教师提问1：

图中有几个基本角？

2、教师提问2：

由一个基本角组成的角有几个？

3、教师提问3：

由二个基本角组成的角有几个？

4、教师提问4：

由三个基本角组成的角有几个？

5、教师提问5：

由四个基本角组成的角有几个？

6、交代学生整理过程并点名学生演板；

7、教师检查结果；

在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？

首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：

　　4＋3＋2＋1＝10（个）.

8、解题过程：

解：

4＋3＋2＋1＝10（个）.

　　小结：

数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.

（巩固拓展:

如右图中，共有多少个角？

）

【讲解过程】

1、师生读题，教师点名学生演板；

2、教师检查结果；

3、分析过程：

∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：

∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：

∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.

　　所以图中总共有角是：

4×3+1=13（个）.

4、解题过程：

解：

图中共有角是：

4×3+1=13（个）.

　　小结：

由本题可以推出一般情况：

若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.

三角形的计数

教学目标：

学习并掌握三角形的计数问题。

如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

【讲解过程】

1、师生读题，教师提问：

图中三角形的个数计算方法有几种？

2、如有回答正确的请他说明是什么方法；

3、教师用两种方法解决此题：

可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图

（2）：

　　第一种方法：

先数以AB为一条边的三角形共有：

　　△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.

　　再数以AD为一条边的三角形共有：

　　△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.

　　以AE为一条边的三角形共有：

　　△AEF、△AEC二个三角形.

　　最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.

　　所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.

　　第二种方法：

先数图中小三角形共有：

　　△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.

　　再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：

　　△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，

　　以三个小三角形组合在一起的三角形共有：

　　△ABF、△ADC二个三角形，

　　最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.

　　所以图中三角形的个数总共有：

4+3+2+1=10（个）.

4、解题过程：

解：

①3+2+1=6（个）

　　②4+3+2+1=10（个）.

　　答：

图

（1）及图

（2）中各有三角形分别是6个和10个.

小结：

计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.

（巩固拓展：

数一数下图中，有多少条线段，有多少个三角形？

）

【讲解过程】

1、师生读题，教师点名学生演板；

2、教师检查结果；

3、解题过程：

　　解：

有线段：

（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）

　　=15+10+3=28（条）

　　有三角形：

（5+4+3+2+1）×2+5

　　=15×2+5=35（个）.

如右图中，数一数共有多少条线段？

共有多少个三角形？

【讲解过程】

1、师生读题，教师要求学生分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？

怎么数？

这样两个问题.

数：

就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：

就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.

3、给5分钟时间大家计算：

①要数多少条线段：

先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：

　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.

　　②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：

　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.

4、解题过程：

解：

①在△ABC中共有线段是：

　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）

　　②在△ABC中共有三角形是：

　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.

总结全课

教学目标：

整理全课思路，巩固收获

1、全课你学到了什么？

2、几何中的计数问题包括哪些？

3、怎么求解几何中的计数问题？

巩固目标：

熟练应用规律解决几何中的计数问题。

【练习1】数一数下图中，各有多少条线段？

【解析】在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：

　　4+3+2+1=10（条）.

　　在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：

　　3+2+1=6（条）.

　　在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.

　　所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.

【练习2】数一数下图中各有多少角？

【解析】①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：

　　5+4+3+2+1=15（个）；

　　②在∠AOB内有9条角分线，所以共有角：

　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；

　　③周角内含有6个基本角，所以共有角：

　　6×（6-1）+1=31（个）.

　　3.①（3+2+1）×7=42；

【练习3】数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？

【解析】有线段：

（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5

　　=30+30=60（条）

　　有三角形：

（4+3+2+1）×3=30（个）；