高三数学立体几何图形结构复习.docx

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高三数学立体几何图形结构复习

2013年高三数学立体几何图形结构复习

立体几何初步

1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．

2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．

3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．

4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．

．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．

6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．

7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．

本的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：

A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．

其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．

再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．

第1时平面的基本性质

公理1如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内（证明直线在平面内的依据）．

公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是（证明多点共线的依据）．

公理3经过不在的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）．

推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．

推论2经过两条直线，有且只有一个平面．

推论3经过两条直线，有且只有一个平面．

例1．正方体ABD-A1B11D1中，对角线A1与平面BD1交于，A、BD交于点．

求证：

点1、、共线．

证明：

A1A∥1确定平面A1

A1面A1∈面A1

∈A1

面B1D∩直线A1＝∈面B1D

在面A1与平面B1D的交线1上

∴1、、共线

变式训练1：

已知空间四点A、B、、D不在同一平面内，求证：

直线AB和D既不相交也不平行．

提示：

反证法．

例2已知直线与三条平行线a、b、都相交．求证：

与a、b、共面．

证明：

设a∩l＝Ab∩l＝B∩l＝

a∥ba、b确定平面αlβ

A∈a,B∈b

b∥b、确定平面β同理可证lβ

所以α、β均过相交直线b、lα、β重合αa、b、、l共面

变式训练2：

如图，△AB在平面α外，它的三条边所在的直线AB、B、A分别交平面α于P、Q、R点．求证：

P、Q、R共线．

证明：

设平面AB∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面AB∩α＝l，

即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．

∴P、Q、R共线，共线于直线l．

例3若△AB所在的平面和△A1B11所在平面相交，并且直线AA1、BB1、1相交于一点，求证：

（1）AB和A1B1、B和B11分别在同一个平面内；

（2）如果AB和A1B1，B和B11分别相交，那么交点在同一条直线上．

证明：

（1）∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内

同理B、B11、A、A11分别在同一个平面内

（2）设AB∩A1B1＝X，B∩B11＝，A∩A11＝Z，则只需证明X、、Z三点都是平面A1B11与AB的公共点即可．

变式训练3：

如图，在正方体ABD－A1B11D1中，E为AB中点，F为AA1中点，

求证：

（1）E、．D1、F四点共面；

（2）E、D1F、DA三线共点．

证明

（1）连结A1B则EF∥A1BA1B∥D1

∴EF∥D1∴E、F、D1、四点共面

（2）面D1A∩面A＝DA

∴EF∥D1且EF＝D1

∴D1F与E相交又D1F面D1A，E面A

∴D1F与E的交点必在DA上

∴E、D1F、DA三线共点．

例4求证：

两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．

证明：

（1）若a、b、三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α

又a∩d＝A∴点A∈α∴直线aα

同理可证：

b、α∴a、b、、d共面

（2）若a、b、、d两两相交但不过同一点

∵a∩b＝Q∴a与b可确定一个平面β

又∩b＝E∴E∈β

同理∩a＝F∴F∈β

∴直线上有两点Ｅ、Ｆ在β上∴β

同理可证：

dβ故a、b、、d共面

由

（1）

（2）知：

两两相交而不过同一点的四条直线必共面

变式训练4：

分别和两条异面直线AB、D同时相交的两条直线A、BD一定是异面直线，为什么?

解：

假设A、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、、D由公理1知,这与已知AB与D异面矛盾，所以假设不成立,即A、BD一定是异面直线。

1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．

2．证明点、线共面问题有两种基本方法：

①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个（或多个）平面，再证这些平面重合．

3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．

第2时空间直线

1．空间两条直线的位置关系为、、．

2．相交直线一个公共点，平行直线没有公共点，

异面直线：

不同在任平面，没有公共点．

3．公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相．

4．等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角．

．异面直线的判定定理

过平面外一点与平面内一点的直线和平面内的直线是异面直线（作用：

判定两条直线是异面直线）

6．异面直线的距离：

和两条异面直线的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在的长度，叫两异面直线的距离．

例1如图，在空间四边形ABD中，AD＝A＝B＝BD＝a，AB＝D＝b，E、F分别是AB、D的中点．

（1）求证：

EF是AB和D的公垂线；

（2）求AB和D间的距离．

证明：

（1）连结E、DE

AB⊥面DE

∴AB⊥EF同理D⊥EF

∴EF是AB和D的公垂线

（2）△ED中，E＝＝ED

∴EF＝

变式训练1：

在空间四边形ABD中，AD＝B＝2，E，F分别为AB、D的中点，EF＝，求AD、B所成角的大小．

解：

设BD的中点G，连接FG，EG。

在△EFG中EF＝FG＝EG＝1

∴∠EGF＝120°∴AD与B成60°的角。

例2S是正三角形AB所在平面外的一点，如图SA＝SB＝S，

且ASB＝BS＝SA＝，、N分别是AB和S的中点．

求异面直线S与BN所成的角．

证明：

连结，设Q为的中点，连结QN则QN∥S

∴∠QNB是S与BN所成的角或其补角

连结BQ，设S＝a，在△BQN中

BN＝NQ＝S＝aBQ＝

∴S∠QNB＝

∴∠QNB＝ars

变式训练2：

正AB的边长为a，S为AB所在平面外的一点，SA＝SB＝S＝a，E，F分别是S和AB的中点．

（1）求异面直线S和AB的距离；

（2）求异面直线SA和EF所成角．

答案：

（1）

（2）4°

例3如图，棱长为1的正方体ABD－A1B11D1中，、N、P

分别为A1B1、BB1、1的中点．

（1）求异面直线D1P与A，N与A所成角；

（2）判断D1P与A是否为异面直线？

若是，求其距离．

解：

（1）D1P与A成90°的角

N与A所成角为ars

（2）是．NP是其公垂线段,D1P与AN的距离为1

变式训练3：

如图，在直三棱柱AB－A1B11中，

∠BA＝90°，、N分别是A1B1和A11的中点，

若B＝A＝1，求N与AN所成的角．

解：

连接N，作NG∥B交B于G，连接AG，

易证∠GNA就是B与AN所成的角．

设：

B＝A＝1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1＝，

s∠GNA＝。

例4．如图，四棱锥P－ABD的底面是正方形，PA⊥底

面ABD，AE⊥PD，EF∥D，A＝EF．

（1）证明F是异面直线AB与P的公垂线；

（2）若PA＝3AB，求直线A与平面EA所成角的正弦值．

（1）证明：

∵EF∥DA∥D

∴A∥EF，又A＝EF∴AFE为平行四边形

∵AB⊥PA，AB⊥AD∴AB⊥面PAD

∴AB⊥AE，又AE∥F，∴AB⊥F

又∵AE⊥PDD⊥AE∴AE⊥面PD

∴AE⊥P∴F⊥P∴F为AB与P的公垂线．

（2）设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝（0，，），

＝（1，0，0）

面FEA的法向量为＝（0，1，－3），＝（1，1，0），s<，>＝．∴A与面EA所成的角为－ars，其正弦值为．

变式训练4：

如图，在正方体中，

E、F分别是、D的中点．

（１）证明；

（２）求与所成的角。

（1）证明：

因为A1是正方体，所以AD⊥面D1

又DF1D1，所以AD⊥D1F

（2）取AB中点G，连结A1G，FG，

因为F是D的中点，所以GF∥AD，

又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，

故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。

设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。

因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,

即直线AE与D1F所成的角为直角。

1．求两条异面直线所成角的步骤：

（1）找出或作出有关角的图形；

（2）证明它符合定义；

（3）求角．

2．证明两条直线异面的常用方法：

反证法、定义法（排除相交或平行）、定理法．

3．求异面直线间距离的方法：

作出公垂线段，向量法．

第3时直线和平面平行

1．直线和平面的位置关系、、．

直线在平面内，有公共点．

直线和平面相交，有公共点．

直线和平面平行，有公共点．

直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．

2．直线和平面平行的判定定理

如果平面外和这个平面内平行，那么这条直线和这个平面平行．

（记忆口诀：

线线平行线面平行）

3．直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面，经过平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（记忆口诀：

线面平行线线平行）

例1．如图，P是AB所在平面外一点，PB，

试过A作一平面平行于B，并说明画法的理论依据．

解：

在平面PB内过点作N∥B，交P于N点，

连AN则平面AN为所求

根据线面平行的性质定理及判定定理

变式训练1：

在正方体ABD－A1B11D1中，、N分别是A1B和A上的点，且A1＝AN．

求证：

N∥平面BB11．

证明：

在面BA1内作1∥A1B1交BB1于1

在面A内作NN1∥AB交B于N1

易证1NN1即可

例2设直线a∥，P为内任意一点，求证：

过P且平行a的直线必在平面内．

证明：

设a与p确定平面β，且α∩β＝a’，则a’∥a

又a∥ll∩a’＝p

∴a与a’重合∴lα

变式训练2：

求证：

如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

解：

已知α∩β＝la∥αa∥β求证：

a∥l

证明：

过a作平面γ交平面α于b，交平面β于，

∵a∥α，∴a∥b

同理，∵a∥β∴a∥∴b∥

又∵bβ且β∴b∥β

又平面α经过b交β于l

∴b∥l且a∥b∴a∥l

例3如图，在四棱锥P－ABD中，底面ABD是正方形，侧菱PD⊥底面ABD，PD＝D，E是P的中点．

（1）证明：

PA∥平面EDB；

（2）求EB与底面ABD所成的角的正切值．

（1）证明：

提示，连结A交BD于点，连结E．

（2）解：

作EF⊥D交D于F，连结BF．

设正方形ABD的边长为a．∵PD⊥底面ABD，∴PD⊥D．

∴EF∥PD，F为D的中点．∴EF⊥底面ABD，

BF为BE在底面ABD内的射影，

∠EBF为直线EB与底面ABD所成的角．

在Rt△BF中，BF＝

∵EF＝PD＝，∴在Rt△EFB中，

tan∠EBF＝．所以EB与底面ABD所成的角的正切值为．

变式训练3：

如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱

AB和D，试问：

截面在什么位置时，其截面的面积最大？

解：

易证截面EFGH是平行四边形

设AB＝aD＝b∠FGH＝α（a、b为定值，α为异面直线AB与D所成的角）

又设FG＝xGH＝由平几得

∴＝1∴＝（a－x）

∴S□EFGH＝FG•GH•sinα＝x•（a－x）sinα

＝x（a－x）

∵x＞0a－x＞0且x＋（a－x）＝a为定值

∴当且仅当x＝a－x

即x＝时（S□EFGH）ax＝

例4．已知：

AB中，AB＝90°，D、E分别为A、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A’的位置，若平面A’DE⊥面BDE，是A’B的中点，求证：

E∥面A’D．

证明：

取A’的中点N，连N、DN，

则NB，DEB

∴NDE∴E∥ND

又E面A’DND面A’D

∴E∥面A’D

变式训练4：

（200年北京）如图，在直三棱柱AB－A1B11中，A＝3，B＝4，AB＝，AA1＝4，点D是AB的中点．

（1）求证：

A⊥B1；

（2）求证：

A1∥平面DB1；

（3）求异面直线A1与B1所成角的余弦值．

解：

（1）直三棱柱AB－A1B11，底面三边长A＝3，B＝4，AB＝．

∴A⊥B，且B1在平面AB内的射影为B，∴A⊥B1；

（2）设B1与1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是B1的中点，∴DE∥A1

∴DE平面DB1，A1平面DB1，∴A1∥平面DB1；

（3）∵DE∥A1，∴ED为A1与B1所成的角，在△ED中，ED＝A1＝，D＝AB＝，E＝B1＝2，∴s∠ED=

∴异面直线A1与B1所成角的余弦值为．

1．证明直线和平面平行的方法有：

（1）依定义采用反证法；

（2）判定定理；（3）面面平行性质；（4）向量法．

2．辅助线（面）是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．

第4时直线和平面垂直

1．直线和平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面的直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．

2．直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

3．直线和平面垂直性质

若a⊥，b则

若a⊥，b⊥则

若a⊥，a⊥则

过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

4．点到平面距离

过一点作平面的垂线叫做点到平面的距离．

．直线到平面的距离

一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离．

例1A、B、两两互相垂直，G为AB的垂心．求证：

G平面AB．

证明：

∵A、B、两两互相垂直

∵A⊥平面B∴A⊥B

又G为△AB的垂心

∴AG⊥B,∴B⊥面AG

∴B⊥G

同理可证：

A⊥G又B∩A＝

∴G⊥平面AB

变式训练1：

如图SA⊥面AB，∠AB＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥S，且AF∩S＝F，求证：

（1）B⊥面SAB；

（2）AE⊥面SB；（3）S⊥EF．

证明：

（1）B⊥面SAB

（2）由

（1）有AE⊥面SB

（3）由

（2）有S⊥面AEFS⊥EF

例2如图，已知PA⊥矩形ABD所在平面，、N分别是AB、P中点．

（1）求证：

N⊥D；

（2）若PDA＝4°，求证：

N⊥面PD．

证明：

（1）连A取中点，连N、，并且交D于R

∵N为P中点∴N为△PA的中位线N∥PA

而PA⊥平面ABD∴N⊥平面ABD

∴N在平面ABD的射影为，又ABD是矩形

为AB中点，为A中点∴⊥D

∴D⊥N

（2）连NR，则∠NR＝4°＝∠PDA

又为R的中点，且N⊥R

∴△NR为等腰三角形且∠NR＝∠NR＝4°

∴∠NR＝90°∴N⊥NR又N⊥D

∴N⊥平面PD

变式训练2：

PD垂直于平面ABD所在平面，PB⊥A，PA⊥AB．

求证：

①ABD是正方形；②P⊥B．

证明：

略

例3．如图，四棱锥P－ABD中，底面ABD为矩形，PD⊥底面ABD，AD＝PD，E、F分别为D、PB的中点．

（1）求证：

EF⊥平面PAB；

（2）设AB＝B，求A与平面AEF所成的角的大小．

（1）证明：

连结EP．∵PD⊥底面ABD，DE在

平面ABD中，∴PD⊥DE，又E＝ED，PD＝AD＝B，

∴Rt△BE≌Rt△PDE，∴PE＝BE

∵F为PB中点，∴EF⊥PB．

由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，

∴EF⊥FA．

∵PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．

（2）解：

不防设B＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，A＝．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交A于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．

∠GAH为A与平面AEF所成的角．

由△EG∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝A＝．

由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝

∴sin∠GAH＝

∴A与面AEF所成的角为arsin．

变式训练3：

如图，在三棱锥A－BD中，平面ABD⊥平面BD，BAD＝BD＝90°，AB＝AD＝3，B＝2D．求：

（1）求A的长；

（2）求证：

平面AB⊥平面AD；

（3）求D点到平面AB的距离d．

解：

（1）

（2）略．

（3）因VA－DB＝（D×BD）×A＝6，

又VD－AB＝（AB×A）×d＝d，

VA－BD＝VD－AB，则d＝6，解得d＝

例4：

如图，棱长为4的正方体A1，是正方形A1B11D1的中心，点P在棱1上，且1＝4P．

（1）求直线AP与平面B1B1所成角的大小；

（2）设点在平面D1AP上的射影是H，求证：

D1HAP；

（3）求点P到平面ABD1的距离．

答案：

（1）∠APB＝artan

（2）AP在面A上的射影为A又A⊥BD

∴PA⊥BD而BD∥B1D1∴B1D1⊥AP

而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H∴D1H⊥AP

（3）面ABD1⊥面B1过P作P⊥B1于

则P＝

变式训练4：

三棱锥V－AB的三条侧棱VA、V两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．

（1）求证H是△AB的垂心；

（2）．

（1）证明：

连结AH交B于D点，连接H交AB于E点，

∵VA⊥VB，VA⊥V，VB∩V＝V，

∴VA⊥VB面，又BVB面，∴B⊥VA．

∵VH⊥AB面，BAB面，

∴B⊥VH，又VA∩VH＝A，∴B⊥VHA面．

又ADVHA面，∴AD⊥B，同理可得E⊥AB，

∴H是△AB的垂心．

（2）连接VE，在Rt△VE中，VE2＝EH×E

AB2×VE2＝AB2×EH×E，

即．

线面垂直的判定方法：

（1）线面垂直的定义；

（2）判定定理；

（3）面面垂直的性质；（4）面面平行的性质：

若∥，a⊥则a⊥

第时三垂线定理

1．和一个平面相交，但不和这个平面

的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做．

2．射影

（1）平面外一点向平面引垂线的叫做点在平面内的射影；

（2）过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的．

斜线上任意一点在平面上的射影一定在．

垂线在平面上的射影只是．

直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线的一条直线．

3．如图，A是平面斜线，A为斜足，B⊥，B

为垂足，A，∠AB＝，BA＝，

∠A＝，则s＝．

4．直线和平面所成的角

平面的斜线和它在这个平面内的所成

的叫做这条直线和平面所成角．

斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中．

．三垂线定理：

在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和垂直．

逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条垂直，那么它也和这条垂直．

例1已知RtAB的斜边B在平面内，A到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是4°和30°．求：

（1）斜边上的高AD和平面所成的角；

（2）点A在内的射影到B的距离．

答案：

（1）60°

（2）

变式训练1：

如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为A，且测得∠BA＝30°，在道路上取一点D，又测得D＝30，∠DB＝4°．求电塔AB的高度．

解：

B＝30，AB＝Btan30°＝10

例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、、B1、1

分别为A1A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿

BB1，1折成三棱柱，若面对角线A1B1B1；

求证：

A2A1B1．

解：

取A2B1中点D1∵A21＝B11∴1D1⊥A2B1

又A1A2⊥面A2B11∴1D1⊥A1A2

∴1D1⊥面A1A2B1B∴BD1是B1在面A2B上的射影

由A1B1⊥B1∴BD1⊥A1B1

取A1B中点D同理可证A2D是A2在面A2B上的射影

∵A2DBD1∴A2DBD1是平行四边形

由BD1⊥A1B1∴A1B1⊥A2D

∴A2⊥A1B1

变式训练2：

如图，在正三棱柱AB－A1B11中，AB＝3，AA1＝4，为AA1中点，P是B上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱1到的最短路线长，设这条最短路线与1交点N，求：

（1）P和N的长；

（2）平面NP与平面AB所成二面角（锐角）大小．

解：

将侧面BB11绕棱1旋转120°使其与侧面

AA11在同一平面上，点P运动到点P1的位置，

连接P1，则P1就是由点P沿棱柱侧面经过棱1到点的最短路线

设P＝x，则P1＝x，在Rt△AP1中，由勾股定理得x＝2

∴P＝P1＝2∵∴N＝

（2）连接PP1，则PP1就是平面NP与平面AB的交线，作NH⊥PP1于H，又1⊥平面AB，连结H，由三垂线定理得H⊥PP1

∴∠NH就是平面NP与平面AB所成的平面角（锐角）

在Rt△PH中∵∠PH＝∠PP1＝60°

∴H＝＝1

在Rt△PH中tanNH＝

故平面NP与平面AB所成二面角大小为artan

例3如图在棱长为1的正方体ABD－A1B11D1中，

点E是棱B的中点，点F是棱D上的动点．

（1）试确定点F的位置，使得D1E面AB1F；

（2）当D1E面AB1F时，求二面角1－EF－A大小．

解：

（1）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影

∵AB1⊥A1B∴D1E⊥AB1

于是D1E