高三数学立体几何图形结构复习.docx

1、高三数学立体几何图形结构复习2013年高三数学立体几何图形结构复习 立体几何初步1理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系2了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系3掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理4掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理了解多面体、凸多面体、正多面体的概念6了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画

2、其直观图7了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式 本的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，

3、自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果第1时 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面例1正方体ABD-A1B11D1中，对角线A1与平面BD1交于，A、BD交于点求证：点1、共线证明：A1A1 确定平面A1A

4、1 面A1 面A1 A1面B1D直线A1 面B1D在面A1与平面B1D的交线1上1、共线变式训练1：已知空间四点A、B、D不在同一平面内，求证：直线AB和D既不相交也不平行提示：反证法例2 已知直线 与三条平行线a、b、都相交求证： 与a、b、共面证明：设alA blB lab a、b确定平面 l Aa, Bb b b、确定平面 同理可证l 所以、均过相交直线b、l 、重合 a、b、l共面变式训练2：如图，AB在平面外，它的三条边所在的直线AB、B、A分别交平面于P、Q、R点求证：P、Q、R共线证明：设平面ABl，由于PAB，即P平面ABl，即点P在直线l上同理可证点Q、R在直线l上P、Q、R

5、共线，共线于直线l例3 若AB所在的平面和A1B11所在平面相交，并且直线AA1、BB1、1相交于一点，求证： (1) AB和A1B1、B和B11分别在同一个平面内； (2) 如果AB和A1B1，B和B11分别相交，那么交点在同一条直线上证明：(1) AA1BB10，AA1与BB1确定平面，又Aa，B，A1，B1，AB ，A1B1 ，AB、A1B1在同一个平面内同理B、B11、A、A11分别在同一个平面内(2) 设ABA1B1X，BB11，AA11Z，则只需证明X、Z三点都是平面A1B11与AB的公共点即可变式训练3：如图，在正方体ABDA1B11D1中，E为AB中点，F为AA1中点，求证：(

6、1) E、D1、F四点共面；(2) E、D1F、DA三线共点证明(1) 连结A1B 则EFA1B A1BD1EFD1 E、F、D1、四点共面(2) 面D1A面ADAEFD1 且EF D1D1F与E相交 又D1F 面D1A，E 面AD1F与E的交点必在DA上E、D1F、DA三线共点例4求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内证明：(1) 若a、b、三线共点P，但点p d，由d和其外一点可确定一个平面又adA 点A 直线a 同理可证：b、 a、b、d共面(2)若a、b、d两两相交但不过同一点abQ a与b可确定一个平面又bE E同理aF F直线上有两点、在上 同理可证：d 故a、b、d

7、共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB、D同时相交的两条直线A、BD一定是异面直线，为什么?解：假设A、BD不异面，则它们都在某个平面 内，则A、B、D 由公理1知 , 这与已知AB与D异面矛盾，所以假设不成立,即A、BD一定是异面直线。1证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面2证明点、线共面问题有两种基本方法：先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合3证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点第2时 空间直线1空间两条直线的位置关系为

8、、 、 2相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离例1 如图，在空间四边形ABD中，ADABBDa，ABDb，E、F分别是AB、D的中点(1) 求证：EF是AB和D的公垂线；(2) 求AB和D间的距离证明：(1) 连结E、D

9、E AB面DEABEF 同理DEFEF是AB和D的公垂线(2) ED中，E EDEF 变式训练1：在空间四边形ABD中，ADB2，E，F分别为AB、D的中点，EF ，求AD、B所成角的大小解：设BD的中点G，连接FG，EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120 AD与B成60的角。例2 S是正三角形AB所在平面外的一点，如图SASBS，且 ASB BS SA ，、N分别是AB和S的中点求异面直线S与BN所成的角证明：连结，设Q为的中点，连结QN 则QNSQNB是S与BN所成的角或其补角连结BQ，设Sa，在BQN中BN NQ S a BQ SQNB QNBar s 变式训练2：正 AB的边长

10、为a，S为 AB所在平面外的一点，SASBSa，E，F分别是S和AB的中点(1) 求异面直线S和AB的距离；(2) 求异面直线SA和EF所成角答案：(1) (2) 4例3 如图，棱长为1的正方体ABDA1B11D1中，、N、P分别为A1B1、BB1、1的中点(1) 求异面直线D1P与A，N与A所成角；(2) 判断D1P与A是否为异面直线？若是，求其距离解：(1) D1P与A成90的角N与A所成角为ar s (2) 是NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1变式训练3：如图，在直三棱柱ABA1B11中，BA90，、N分别是A1B1和A11的中点，若BA1，求N与AN所成的角解：连接N，作NGB

11、交B于G，连接AG，易证GNA就是B与AN所成的角设：BA12，则AGAN ，GNB1 ，sGNA 。例4如图，四棱锥PABD的底面是正方形，PA底面ABD，AEPD，EFD，AEF(1) 证明F是异面直线AB与P的公垂线；(2) 若PA3AB，求直线A与平面EA所成角的正弦值（1）证明：EFD AD AEF，又AEF AFE为平行四边形 ABPA，ABAD AB面PAD ABAE，又AEF， ABF又AEPD DAE AE面PD AEP FP F为AB与P的公垂线(2) 设AB1，则PA3，建立如图所示坐标系由已知得 (0， ， )，(1，0，0)面FEA的法向量为 (0，1，3)， (1，

12、1，0)，s< ， > A与面EA所成的角为 ar s ，其正弦值为 变式训练4：如图，在正方体 中，E、F分别是 、D的中点（）证明 ；（）求 与 所成的角。（1）证明：因为A1是正方体，所以AD面D1 又DF1 D1，所以ADD1F （2）取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是D的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线AE与D1F所成的角为直角。1求两条异面直线所

13、成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角2证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法3求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法第3时 直线和平面平行1直线和平面的位置关系 、 、 直线在平面内，有 公共点直线和平面相交，有 公共点直线和平面平行，有 公共点直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外2直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行(记忆口诀：线线平行 线面平行)3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(记忆口诀：线面平

14、行 线线平行)例1如图，P是 AB所在平面外一点， PB，试过A作一平面平行于B，并说明画法的理论依据解：在平面PB内过点作NB，交P于N点，连AN则平面AN为所求根据线面平行的性质定理及判定定理变式训练1：在正方体ABDA1B11D1中，、N分别是A1B和A上的点，且A1AN求证：N平面BB11证明：在面BA1内作1A1B1交BB1于1在面A内作NN1AB交B于N1易证1 NN1即可例2 设直线a ，P为 内任意一点，求证：过P且平行a的直线 必在平面 内证明：设a与p确定平面，且a ，则aa又al lapa与a重合 l 变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们

15、的交线平行解：已知l a a 求证：al证明：过a作平面交平面于b，交平面于，a，ab同理，a a b又b 且 b又平面经过b交于lbl且ab al例3 如图，在四棱锥PABD中，底面ABD是正方形，侧菱PD底面ABD，PDD，E是P的中点( 1 ) 证明：PA平面EDB；( 2 ) 求EB与底面ABD所成的角的正切值(1 ) 证明：提示，连结A交BD于点，连结E( 2) 解：作EFD交D于F，连结BF设正方形ABD的边长为a PD底面ABD，PDD EFPD，F为D的中点EF底面ABD，BF为BE在底面ABD内的射影，EBF为直线EB与底面ABD所成的角在RtBF中，BF EF PD ， 在

16、RtEFB中，tanEBF 所以EB与底面ABD所成的角的正切值为 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱AB和D，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？解：易证截面EFGH是平行四边形设ABa Db FGH(a、b为定值，为异面直线AB与D所成的角)又设FGx GH 由平几得 1 (ax)S EFGHFG•GH•sinx• (ax)sin x(ax)x0 ax0 且x(ax)a为定值当且仅当 xax即x 时(S EFGH)ax 例4已知： AB中， AB90，D、E分别为A、AB的中点，沿DE将 ADE折起使A到A的位置，若平面ADE面BD

17、E，是AB的中点，求证：E面AD证明：取A的中点N，连N、DN，则N B，DE BN DE END又E 面AD ND 面ADE面AD变式训练4： (200年北京)如图，在直三棱柱ABA1B11中，A3，B4，AB，AA14，点D是AB的中点( 1 ) 求证：AB1；(2) 求证：A1平面DB1；(3) 求异面直线A1与B1所成角的余弦值解：（1）直三棱柱ABA1B11，底面三边长A3，B4，ABAB，且B1在平面AB内的射影为B，AB1；（2）设B1与1B的交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是B1的中点，DEA1DE 平面DB1，A1 平面DB1，A1平面DB1；（3）DEA1，ED为A1

18、与B1所成的角，在ED中，ED A1 ，D AB ，E B12 ，sED = 异面直线A1与B1所成角的余弦值为 1证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法2辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用第4时 直线和平面垂直1直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质若a ，b 则 若a ，b 则 若a ，a 则 过一点和已知平面垂直的直线有且

19、只有一条4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离例1 A、B、两两互相垂直，G为 AB的垂心求证：G 平面AB证明：A、B、两两互相垂直A平面B AB又G为AB的垂心 AGB, B面AGBG同理可证：AG 又BAG平面AB变式训练1：如图SA面AB，AB90，AESB，且SBAEE，AFS，且AFSF，求证：(1) B面SAB；(2) AE面SB；(3) SEF证明：(1) B面SAB(2) 由(1)有 AE面SB(3) 由(2)有 S面AEF SEF例2 如图，已知PA矩形ABD所在平面，、N

20、分别是AB、P中点(1) 求证：ND；(2) 若 PDA4，求证：N面PD证明：(1) 连A取中点，连N、，并且交D于RN为P中点 N为PA的中位线 NPA而PA平面ABD N平面ABDN在平面ABD的射影为，又ABD是矩形为AB中点，为A中点 DDN(2) 连NR，则NR4PDA又为R的中点，且NRNR为等腰三角形 且NRNR4NR90 NNR 又NDN平面PD变式训练2：PD垂直于平面ABD所在平面，PBA，PAAB 求证： ABD是正方形； PB证明：略例3如图，四棱锥PABD中，底面ABD为矩形，PD底面ABD，ADPD，E、F分别为D、PB的中点(1) 求证：EF平面PAB；(2)

21、设AB B，求A与平面AEF所成的角的大小(1)证明：连结EPPD底面ABD，DE在平面ABD中，PDDE，又EED，PDADB，RtBERtPDE，PEBEF为PB中点，EFPB由垂线定理得PAAB，在RtPAB中，PFAF，又PEBEEA，EFPEFA，EFFA PB、FA为平面PAB内的相交直线，EF平面PAB(2) 解：不防设B1，则ADPD1，AB ，PA ，A PAB为等腰直角三角形且PB2，是其斜边中点，BF1，且AFPBPB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF连结BE交A于G，作GHBP交EF于H，则GH平面AEFGAH为A与平面AEF所成的角由EGBGA可

22、知EG GB，EG EB，AG A 由EGHBGF可知GH BF sinGAH A与面AEF所成的角为ar sin 变式训练3：如图，在三棱锥ABD中，平面ABD平面BD， BAD BD90，ABAD3 ，B2D求：(1) 求A的长；(2) 求证：平面AB平面AD；(3) 求D点到平面AB的距离d解：(1) (2)略(3)因VADB ( DBD)A6 ，又VDAB ( ABA)d d，VABDVDAB，则 d6 ，解得d 例4：如图，棱长为4的正方体A1，是正方形A1B11D1的中心，点P在棱1上，且14P(1) 求直线AP与平面B1B1所成角的大小；(2) 设点在平面D1AP上的射影是H，求

23、证：D1H AP；(3) 求点P到平面ABD1的距离答案： (1) APBartan (2) AP在面A上的射影为A 又ABDPABD 而BDB1D1 B1D1AP而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H D1HAP(3) 面ABD1面B1 过P作PB1于则P 变式训练4：三棱锥VAB的三条侧棱VA、V两两垂直，顶点V在底面内的射影是H(1) 求证H是AB的垂心；(2) (1) 证明：连结AH交B于D点，连接H交AB于E点，VAVB，VAV，VBVV，VAVB面，又B VB面，BVAVHAB面，B AB面，BVH，又VAVHA，BVHA面又AD VHA面，ADB，同理可得EAB，H是AB的垂心

24、(2) 连接VE，在RtVE中，VE2EHEAB2VE2 AB2EHE，即 线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若 ，a 则a 第时 三垂线定理1和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 2射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线3如图，A是平面 斜线，A为斜足，B ，B为垂足，A ，AB ， BA ，A

25、，则s 4直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直例1 已知Rt AB的斜边B在平面 内，A到 的距离2，两条直角边和平面 所成角分别是4和30求：(1) 斜边上的高AD和平面 所成的角；(2) 点A在 内的射影到B的距离答案：(1) 60 (2) 变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为A，且测得BA30，在道路上取

26、一点D，又测得D30，DB4求电塔AB的高度解：B30，ABB tan3010 例2如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、B1、1分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿BB1，1折成三棱柱，若面对角线A1B1 B1；求证：A2 A1B1解：取A2B1中点D1 A21B11 1D1A2B1又A1A2面A2B11 1D1A1A21D1面A1A2B1B BD1是B1在面A2B上的射影由A1B1B1 BD1A1B1取A1B中点D 同理可证A2D是A2在面A2B上的射影A2D BD1 A2DBD1是平行四边形由BD1A1B1 A1B1A2DA2A1B1 变式训练2：如图，在正三棱柱ABA1B11

27、中，AB3，AA14，为AA1中点，P是B上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱1到的最短路线长 ，设这条最短路线与1交点N，求：(1) P和N的长；(2) 平面NP与平面AB所成二面角(锐角)大小解：将侧面BB11绕棱1旋转120使其与侧面AA11在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接P1，则P1就是由点P沿棱柱侧面经过棱1到点的最短路线设Px，则P1x，在RtAP1中，由勾股定理得x2PP12 N (2) 连接PP1，则PP1就是平面NP与平面AB的交线，作NHPP1于H，又1平面AB，连结H，由三垂线定理得HPP1NH就是平面NP与平面AB所成的平面角(锐角)在RtPH中 PH PP160 H 1在RtPH中 tanNH 故平面NP与平面AB所成二面角大小为artan 例3如图在棱长为1的正方体ABDA1B11D1中，点E是棱B的中点，点F是棱D上的动点(1) 试确定点F的位置，使得D1E 面AB1F；(2) 当D1E 面AB1F时，求二面角1EFA大小解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影AB1A1B D1EAB1于是D1E