人教版数学高二选修44导学案三第1课时圆的极坐标方程.docx
《人教版数学高二选修44导学案三第1课时圆的极坐标方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版数学高二选修44导学案三第1课时圆的极坐标方程.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
人教版数学高二选修44导学案三第1课时圆的极坐标方程
第1课时 圆的极坐标方程
学习目标
1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．
知识点一 曲线的极坐标方程
（1）在极坐标系中，如果曲线C上______________的极坐标中________有一个满足方程f（ρ，θ）＝0，并且坐标适合方程f（ρ，θ）＝0的点______________，那么方程f（ρ，θ）＝0叫做曲线C的____________．
（2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P（ρ，θ）是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
知识点二 圆的极坐标方程
思考1 在极坐标系中，点M（ρ，θ）的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？
思考2 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？
梳理 圆的极坐标方程
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点（0,0）
ρ＝________
（0≤θ<2π）
圆心在点（r,0）
ρ＝________
圆心在点（r，
）
ρ＝________
（0≤θ<π）
圆心在点（r，π）
ρ＝________
（
≤θ<
）
圆心在点（r，
）
ρ＝________
（－π<θ≤0）
类型一 求圆的极坐标方程
例1 求圆心在（ρ0，θ0），半径为r的圆的方程．
引申探究
若圆心在（3,0），半径r＝2，求圆的极坐标方程．
反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤
（1）设圆上任意一点的极坐标为M（ρ，θ）．
（2）在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f（ρ，θ）＝0并化简．
（3）验证极点、圆心与M三点共线时，点M（ρ，θ）的极坐标也适合上述极坐标方程．
跟踪训练1 求圆心在C（2，
）处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点（－2，sin
）是否在这个圆上．
类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
（1）x2＋y2＝1；
（2）x2＋y2－4x＋4＝0；
（3）x2＋y2－2x－2y－2＝0.
反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值．
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
（1）y2＝4x；
（2）x2＋y2－2x－1＝0.
例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
（1）ρ2cos2θ＝1；
（2）ρ＝2cos（θ－
）；
（3）ρcos（θ＋
）＝
；
（4）ρ＝
.
反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．
（1）x2＋y2－2x＝0；
（2）ρ＝cosθ－2sinθ；
（3）ρ2＝cos2θ.
类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用
例4 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若曲线ρsin（θ－
）＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|的值．
反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．
跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
1．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是（ ）
A．3B.
C．1D.
2．将极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0化为直角坐标方程为（ ）
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
3．在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心的极坐标是（ ）
A．（1，π）B．（2，
）
C．（1，
）D．（1,0）
4．4ρsin2
＝5表示的曲线是（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C（2，
），半径为1，求圆C的极坐标方程．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即（ρ，θ），（ρ，2π＋θ），（－ρ，π＋θ），（－ρ，－π＋θ）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M
可以表示为
或
或
等多种形式，其中，只有
的极坐标满足方程ρ＝θ.
2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M（ρ，θ），探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．
答案精析
问题导学
知识点一
（1）任意一点 至少 都在曲线C上 极坐标方程
知识点二
思考1 不一定．
思考2 ρ＝2.
梳理 r 2rcosθ 2rsinθ －2rcosθ
－2rsinθ
题型探究
例1 解 在圆周上任取一点P（如图），
设其极坐标为（ρ，θ），
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为
r2＝ρ
＋ρ2－2ρρ0cos（θ－θ0）．
引申探究
解 设P（ρ，θ）为圆上任意一点，
则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，
∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，
即ρ2＝6ρcosθ－5.
跟踪训练1 解 如图，
由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M（ρ，θ）为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.
在Rt△OAM中，
|OM|＝|OA|cos∠AOM，
即ρ＝2rcos（
－θ），
∴ρ＝－4sinθ，经验证，点O（0,0），A（4，
）的坐标满足上式．
∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.
∵sin
＝
，∴ρ＝－4sinθ＝－4sin
＝－2，
∴点（－2，sin
）在此圆上．
例2 解 把
代入方程化简，
（1）∵（ρcosθ）2＋（ρsinθ）2＝1，
∴ρ2＝1，即ρ＝1.
（2）∵（ρcosθ）2＋（ρsinθ）2－4ρcosθ＋4＝0，
∴ρ2－4ρcosθ＋4＝0.
（3）∵（ρcosθ）2＋（ρsinθ）2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0.
∴ρ2－2ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0，
∴ρ2－2
ρsin（θ＋
）－2＝0.
跟踪训练2 解
（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，
得（ρsinθ）2＝4ρcosθ，
化简，得ρsin2θ＝4cosθ.
（2）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－2x－1＝0，
得（ρcosθ）2＋（ρsinθ）2－2ρcosθ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.
例3 解
（1）∵ρ2cos2θ＝1，
∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
（2）∵ρ＝2cosθcos
＋2sinθsin
＝
cosθ＋
sinθ，
∴ρ2＝
ρcosθ＋
ρsinθ，
∴化为直角坐标方程为x2＋y2－
x－
y＝0.
（3）∵ρcos（θ＋
）＝
，
∴ρ（cosθ·cos
－sinθ·sin
）＝
，∴ρcosθ－ρsinθ－1＝0.
又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
∴x－y－1＝0.
（4）∵ρ＝
，
∴2ρ－ρcosθ＝1，
∴2
－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
跟踪训练3 解
（1）∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcosθ＝0.
∴ρ＝2cosθ.
（2）∵ρ＝cosθ－2sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.
∴x2＋y2＝x－2y，
即x2＋y2－x＋2y＝0.
（3）∵ρ2＝cos2θ，
∴ρ4＝ρ2cos2θ＝（ρcosθ）2.
∴（x2＋y2）2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.
例4 解
（1）∵
所以ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即（x－2）2＋（y－1）2＝5.
（2）由ρsin（θ－
）＝0，
得ρ（
sinθ－
cosθ）＝0，
即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.
由于圆（x－2）2＋（y－1）2＝5的半径为r＝
，圆心（2,1）到直线x－y＝0的距离为d＝
＝
，
∴|AB|＝2
＝3
.
跟踪训练4 （1,1）
当堂训练
1．D 2.B
3．C
4．D
5．解 在圆C上任取一点P（ρ，θ），在△POC中，由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos（θ－
），化简可得ρ2－4ρcos（θ－
）＋3＝0.
当O，P，C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos（θ－
）＋3＝0.
升级会员 