第35届全国中学生物理竞赛复赛试题.docx
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第35届全国中学生物理竞赛复赛试题
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2018年9月22日
一，（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
从地球上空离地面高度为h的空间站发射一个小
物体，该物体相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R质
量为M，引力常量为G。
地球自转及地球大气的影响可忽略。
（1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？
（2）若该物体的初速度大小为v0,且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分量之间的夹角），以及它从开始发射直至落地所需的时间。
2
已知对于C：
：
：
0，.'：
=b-4ac.0有
式中C为积分常数。
XdXJa+bx+cχ2b.2cx+bIC
T^b^=—C一_右arcsiF+c
二，（40分）如图，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球，弹簧水平水平，它处
于自然状态时小球位于坐标原点0;小球课在水平地面上滑动，它与地面之间的摩擦因数为」。
初始时小
球速度为0,将此时弹簧相对于其原长的伸长记为-Ao（Ao>O但是它并不是已知量）。
重力加速度大小为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力
（1）如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下Ao应满足的条件；
（2）如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下Ao应满足的条件；
（3）如果小球只能完成n次往返运动（向右经过原点，然后向左经过原点，算1次往返）
（4）如果小球只能完成n次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总路程。
/=0
-AOOX
三、（40分）如图，一质量为M、长为I的匀质细杆AB自由悬挂于通过坐标原点O点的水平光滑转轴上（此时，杆的上端A未在图中标出，可视为与O点重合），杆可绕通过O点的轴在竖直平面（即x-y平面，X轴正方向水平向右）内转动；O点相对于地面足够高，初始时杆自然下垂；一质量为m的弹丸以
大小为VQ的水平速度撞击杆的打击中心（打击过程中轴对杆的水平作用力为零）并很快嵌入杆中。
在杆转
半圈至竖直状态时立即撤除转轴。
重力加速度大小为g。
（1）求杆的打击中心到O点的距离；
（2）求撤除转轴前，杆被撞击后转过（Q^■■-二）角时转轴对杆的作用力
（3）以撤除转轴的瞬间为计时零点，求撤除转轴后直至杆着地前，杆端B的位置随时间t变化的表达式
XB（t）和yB（t）；
（4）求在撤除转轴后，杆再转半圈时O、B两点的高度差。
-r（）
四、（40分）IOffe-PritChard磁阱可用来束缚原子的运动，其主要部分如图所示。
四根均通有恒定电流I的长直导线1、2、3、4都垂直于x-y平面，它们与x-y平面的交点是边长为2a、中心在原点O的正方形的顶点，导线1、2所在平面与X轴平行，各导线中电流方向已在图中标岀。
整个装置置于匀强磁场
B0=B°k（k为Z轴正方向单位矢量）中。
已知真空磁导率为％。
（2）电流在原点附近产生的总磁场的近似表达式，保留至线性项;
（3）将某原子放入磁阱中，该原子在磁阱中所受磁作用的束缚势能正比于其所在位置的总磁感应强度Btot
的大小，即磁作用束缚势能V=JBtOt，」为正的常量。
求该原子在原点O附近所受磁场的作用力;
（4）在磁阱中运动的原子最容易从x-y平面上什么位置逸出？
求刚好能够逸出磁阱的原子的动能
2θ.
五、（40分）塞曼发现了钠光D线在磁场中分裂成三条，洛仑兹根据经典电磁理论对此做岀了解释，他们
因此荣获1902年诺贝尔物理学奖。
假定原子中的价电子（质量为m,电荷量为e,e0）受到一指向原子中心的等效线性回复力-m∙02r（r为价电子相对于原子中心的位矢）作用，做固有圆频率为0的简谐振动，发岀圆频率为o的光。
现将该原子置于沿Z轴正方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（为
方便起见，将B参数化为L）
e
（1）选一绕磁场方向匀角速转动的参考系，使价电子在该参考系中做简谐振动，导出该电子运动的动力学
方程在直角坐标系中的分量形式并求岀其解
（2）将
（1）问中解在直角坐标系中的分量形式变换至实验室参考系的直角坐标系；
（3）证明在实验室参考系中原子发出的圆频率为0的谱线在磁场中一分为三；并对弱磁场（即LU-0）情形，求岀三条谱线的频率间隔。
已知：
在转动角速度为••的转动参考系中，运动电子受到的惯性力除惯性离心力外还受到科里奥利力作用，
当电子相对于转动参考系运动速度为V时，作用于电子的科里奥利力为fc--2m∙，V仁
六、（40分）如图，太空中有一由同心的内球和球壳构成的实验装置，内球和球壳内表面之间为真空。
内
球半径为r=0.200m,温度保持恒定，比辐射率为e=0.800;球壳的导热系数为
2III
=1.0010-Jm一S-K-,内、外半径分别为Rι=0.900m、R2=1.00m,外表面可视为黑体;
该实验装置已处于热稳定状态，此时球壳内表面比辐射率为E=0.800。
斯特藩常量为
S=5.6710^Wm^KM，宇宙微波背景辐射温度为T=2.73K。
若单位时间内由球壳内表面传递到球
壳外表面的热量为Q=44.0W,求
（1）球壳外表面温度T2；
（2）球壳内表面温度T1；（3）内球温度To
已知：
物体表面单位面积上的辐射功率与同温度下的黑体在该表面单位面积上的辐射功率之比称为比辐射率。
当辐射照射到物体表面时，物体表面单位面积吸收的辐射功率与照射到物体单位面积上的辐射功率之
比称为吸收比。
在热平衡状态下，物体的吸收比恒等于该物体在同温度下的比辐射率。
当物体内某处在Z方
向（热流方向）每单位距离温度的增量为dT时，物体内该处单位时间在Z方向每单位面积流过的热量为
dz
七、（40分）用波长为633nm的激光水平照射竖直圆珠笔中的小弹簧，在距离弹簧4.2m的光屏（与激
光水平照射方向垂直）上形成衍射图像，如图a所示。
其右图与1952年拍摄的首张DNA分子双螺旋结构X射线衍射图像（图b）十分相似。
利用图a右图中给岀的尺寸信息，通过测量估算弹簧钢丝的直径di、弹簧圈的半径R和弹簧的螺距P；图b是用波长为0.15nm的平行X射线照射DNA分子样品后，在距离样品9.0Cm的照相底片上拍摄的。
假设DNA分子与底片平行，且均与X射线照射方向垂直。
根据图b中给出的尺寸信息，试估算DNA螺旋结构的半径R'和螺距P。
说明：
由光学原理可知，弹簧上两段互成角度的细铁丝的衍射、干涉图像与两条成同样角度、相同宽度的狭缝的衍射、干涉图像一致。
HfIb1PIKlX九5⅛5zn*jμ-,4⅛½⅛⅛l⅛lDNA职觀⅛tl⅛t⅛的关乐咲爍”『
八、（40分）1958年穆斯堡尔发现的原子核无反冲共振吸收效应（即穆斯堡尔效应）可用于测量光子频
率极微小的变化，穆斯堡尔因此荣获1961年诺贝尔物理学奖。
类似于原子的能级结构，原子核也具有分
立的能级，并能通过吸收或放岀光子在能级间跃迁。
原子核在吸收和放岀光子时会有反冲，部分能量转化
为原子核的动能（即反冲能）。
此外，原子核的激发态相对于其基态的能量差并不是一个确定值，而是在以
15
EQ为中心、宽度为Z的范围内取值的。
对于57Fe从第一激发态到基态的跃迁，Eo=2.3110一J，
:
=3.21Q丄3Eq。
已知质量mFe=9.51Q-6kg,普朗克常量h=6.61Q少JS,真空中的光速
C=3.QX1Q8m/S。
（1）忽略激发态的能级宽度，求反冲能，以及在考虑核反冲和不考虑核反冲的情形下，57Fe从第一激发态跃迁到基态发岀的光子的频率之差；
（2）忽略激发态的能级宽度，求反冲能，以及在考虑核反冲和不考虑核反冲的情形下，57Fe从基态跃迁到激发态吸收的光子的频率之差；
（3）考虑激发态的能级宽度，处于第一激发态的静止原子核57Fe*跃迁到基态时发岀的光子能否被另一个
静止的基态原子核57Fe吸收而跃迁到第一激发态57Fe*（如发生则称为共振吸收）？
并说明理由。
（4）现将57Fe原子核置于晶体中，该原子核在跃迁过程中不发生反冲。
现有两块这样的晶体，其中一块
静止晶体中处于第一激发态的原子核57Fe*发射光子，另一块以速度V运动的晶体中处于基态的原子核
57Fe吸收光子。
当速度V的大小处于什么范围时，会发生共振吸收？
如果由于某种原因，到达吸收晶体处
的光子频率发生了微小变化，其相对变化为IQ-IQ,试设想如何测量这个变化（给出原理和相关计算）？
第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2018年9月22日
一、（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体•地球自转及地球大气的影响可忽略。
从地球上空离地面高度为〃的空间站发射一个小物体，该物沐相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。
己知地球半径为R,质量为M∙引力常量为G。
（1）若该物体能绕地球做周期运动.其初速度的大小应満足什么条件？
（2）若该物体的初速度大小为％,且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分量之间的夹角〉、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知：
对于CV0,Δ=δ2-4ac>0>有
J血-
J√α+6x+c√
√α÷Z>x÷GV2b.2cx+b_
=TTTarcsIn——=—+C
C2（-C√Δ
式中C为积分常数。
参考解答：
（1）解法
（一）
假设小物体初始速度大小为％,在地球引力场中其能量为
Mm
R^h
式中力是小物体的质量。
小物体相对于地球中心的角动量为
该物体能绕地球做周期运动•其能量应
E<0
由此条件以及E的表达式•得
哄黔叭儒①
物体能绕地球做持续的周期运动.不能坠落到地球表面•当物体初始速度弘降低到某个值％叭时，物体运动的椭圆轨道将与地球表面相切•设这种情况下物体在与地球表面相切时的运动速度为由角动量守恒定律
^omIn（Λ+λ）=W^Λ.即V=VOmn^^②
由能量守恒定律有
12CMm12
-WVOfTUn-G=_mv
20πunR+h2
将②式代入③式得
当物体初速度％低于％mιn时，其轨道都将与地球表面相交•因此会坠落到地面上。
所以物体绕地球作椭圆或圆形轨道运动，但不会坠落到地球表面的条件是
1{2GMI
2GMR
解法
（二）
该物体能绕地球做周期运动，其运动轨迹应为椭圆（圆被视为椭圆的特殊情形），设其近或远地点之一与地心的距离和速度大小分别为X和"，另一近或远地点与地心的距离和速度大小分别为3和由角动屋守恒和能虽守恒有
W=他
12CMm12CMm
—ntvx—G=—mv2—G
2η2q
式中m是小物体的质虽。
消去q得
1IGM11（I2G∖f}
-一丄
是一元二次方程的解。
利用韦达定理，另一解是丄
显然，r2>R.且有限，故有
o%R
由③®式得，当斤给定时，q必须满足
I2GMR∣2GΛ∕
由题意知
η=R+h9VJ=Vo
故有
I2GMRYIGM
Q（R*）（2R+町V%VVΛ+λ
（2〉如果
2GMR
°vQ（R+h）（2R+H）
则物体会落到地球上。
根据能量守恒，它落到地面时的速度大小。
满足方程
12CMm12—Mm
-mυi-G=—mv：
-G
2R20R+h
由⑦式得
2GMh
yVRR+hYjR（R+/1）
设物体落地点相对于地心的矢径与物体初始位置相对于地心的矢径之间的夹角为0。
根据角动量守恒，物体落到地面时的水平速度％满足方程
RV^=（R^h）VQ
上式即
R+h
%=p%
物体的速度方向与水平面的夹角是
Ve（R+Λ）v0
a=arccos—=arccos■■
2GMRh
R+h
将物体的运动用极坐标&（（）、«（）描写，角动量守恒和能量守恒可分别表为卢罟=（R+呎
1
—m
2
消去罟得
dr/（R+λ）2vJ^^2GM22GMk十-+~+v^W7T;
物体从开始发射直至落地需要的时间为
∫λ÷λdr
I
十》徑卜G绝」应-G如
2IdrJr20R+h
（R^hYVI2GM22GA/
1F~-++N
r2r0R+h
rdr
⑩
⑫
⑬
⑭
L辭-鵲F+2GM一（尺+町同取参茲=-（K+"）'忧，b=2GM,C=VJ-^≤<0∙有R+h
∆=δ2-Aac
=（2+hγVI侶-鵲］
利用题给积分公式，完成积分得
R^h
2GM-υl（R+h）於鲁-说（2r7λ）A
+GΛ∕
2
2GM-vl（R+h）2
R^h
兀・ViR（R^h）-GKf（R-h）
—+arcsm-ξ-δ*
tGM（R^h）-υ}（R+hγ
当初始速度大小为临界值5彳（尺+篇篇+方）时，下落时间为（2R+h^
JgmI2丿
评分标准：
本题40分。
第
（1）问15分，解法（一〉①②®④⑤式各3分；
解法（二〉①式6分•②式1分，③式2分，④⑤式各3分。
第（2〉问25分，⑥（S）式各3分，⑦⑪⑫⑬式各2分，⑧式1分，⑭⑮各4分。
二、（40分）如图，一劲度系数为的轻弹簧左端固定，
右端连一质量为加的小球；弹黄水平，它处于自然状态时匸0
小球位于坐标原点O：
小球可在水平地面上滑动，它与地彳⅞B⅞g耸””—■面之间的动摩擦因数为“O初始时小球速度为零，将此时以0OX
弹赞相对于其原长的伸长记为-珀（4>>0,但厶并不是已知量九更力加速度大小为g,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1〉如果小球至多只能向右运动•求小球最终静止的位置•和此种情形下4>应满足的条件;
（2）如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止笊位置，和此种情形下九应满足的条件；
（3〉如果小球只能完成n次往返运动（向右经过原点，然后向左经过原点，算1次往返〉，求小球最终静止的位置，和此种情形下如应满足的条件）
（4>如果小球只能完成〃次往返运动，求小球从开始运动反至最终静止的过程中运动的总路程。
參考解答=
（1>若
A>—或kA^>μmg
K
小球能向右运动。
设小球第一次向右运动到速度为零时弹簧的伸长量为X（其符号暂未碓定〉，根据功能原理有
由此得
r-警
⅛x≤0∙即
k代一左
弹簧处于压缩或自由状态，且小球所受向右的弹力F=k∖B^=2μmg-kA^≤μmg故小球最终静止于原点左边或原点警≤0
k
④式中取等号时，⑤式也取等号。
当乂>0,即
弹簧处于伸长状态，小球所受向左的弹力
AX=MO-2pntg
若AXyμmg•即
W<λ≤⅛W⑥
kk
小球最终舒止于原点右边
JC=Ei=A0-卑鱼>0⑦
（2）解法
（一）
设在小球完成第一次向右运动后的瞬间，记弹簧的伸长为d。
按题意，此后小球至多只能向左运动。
若
R∕mg
Xk
小球能向左运动。
设小球第一次向左运动到速度为冬时弹簧的伸长疑为X（其符号暂未确定）>根据功能原理有
gkB：
-^kx2=μmg{Bx-x）
由此得
⅛x≥0,即
3pmg孑J±4jumg
k细-IC
弹簧处于伸长或自由状态，小球所受向左的弹力
kx=Wmg-fc40≤μmg
小球最终静止于原点右边或原点
“峥-Ao≥O
k
⑨式中取等号时，⑩式也取等号。
当xvθ,即
如果k∖x∖≤μmg•
弹簧处于压缩状态，且小球所受向右的弹力上Ixl=S—4“/Mg即当
4/W,J龙5∕≡g
~k~~k~
小球最终静止于
X十严警一血<0
解法
（二）
设在小球完成第一次向右运动后的瞬间，记弹簧的伸长为冃。
按題意，此后小球至多只能向左运动。
将将Bl视为利用
（1）的结果①②④⑤以及场的表达式⑦可知，当沁<心込⑧
时.小球最终静止于
⑧式取等号时，⑨式也取等号。
当
4“MgV心5∕≡g
时.小球垠终静止于
"-A=丝晋■一AI）VO
（3）设小球第1次向右运动至速度为零的位置为目（S1>0）,第1次返回至速度为零的位
置为-4（4>0〉；…；第n次向右运动至速度为零的位置为巧（耳>0），第”次返回至速度为零的位宜为-（Λ>0）∙由⑦⑪式并类推有
警,
目如警，
C=警，
Λ-l
由此得
将心视为初始压缩量竝，利用
（1）
（2）的结果①（g）④（§）⑥⑦®⑨（g）⑪式以及4的表达式⑫可知，小球最终静止于
X=^S-Af）Jc二舍"2并+l）ZWU0当⑷+"“mg二如2（2m+Mmg
X=^_2（2力+1）“哗>0当2（2z⅞+l）∕≡g讥S（4刃+3）∕≡g
広二4Q>+l）3ng恥0出（4刀+3）“加g一爼三4"4V）Mmg
⑭⑯式中当后式取等号时前式也取等号。
（4）设小球在由开始运动直至静止整个过程中通过的总路程为」设由功能原理有
式中，X的值如⑬⑭⑮⑯式所示。
由此得
当（4∕f+[）χ≡g<&£（4n+3）μmg
J当4npmg讥二（4n+Mmg
*2（2”】）仏-S+"驱
^4Cn÷iXA-2）,当（%+3）ZWc°m45+1）∕w
在弹丸撞击杆后的瞬间.杆的质心加速度的水平分量为
心0座
x22Λ√7
设瑚对杆的作用力的水平分量为E，由质心运动定理有
F-FX=MaX（3）
将②式代入③式，水平外力打击到杆的打击中心处，轴对杆的作用力的水平分量应为零
由此得，杆的打击中心到O点的距离为
（2）弹丸与杆的碰撞过程满足动呈守恒/WV0=（M+m）v
解得
WUO
V=—
M+m
设碰撞后带弹丸的杆的质心位置与O点的距离为Er则
（λ∕+∕w）Lc=
f.4m+3Mr
LC=1
C6（λ√÷m）
在《后的瞬间，杆转动的角速度为
V6mva
dh≡—=2
0LC（4m+W）/
带弹丸的杆的转动惯量为
I=LMI2+m
3
在杆从垂直位置转过&（0<&v兀）角的过程中，系统的机掠能守恒，有
磁=2+（Λ√+m）^Lc（l-COSθ）
解得
八2一22（M+加夙（1一COSe）
3=3qJ
将⑤®⑦式以及转动惯量/的表达式代入上式得
另一方面.杆由初始位遐转过&角时，由刚体定轴转动的动力学方程有（Λ∕+m）gLcSine=ZZr
式中0'是垂力矩产生的角加速度。
由此得
^=（Af÷m）gLcsin=⅛sm^
121
此时质心加速度的兀分虽G和y分量冷分别为aac=LC^rCO+LCafSinθacγ=Lcω2CoSe-Lc∕7zsinθ
其中角速度血由⑨式给出。
设撤除转轴前•杆被撞击后转过&角时转轴对杆的作用力的X分量和，分量分别为Njr和N,,由质心运动定理有
NX=（M+m）αcr=（M+TO）Lc（0'CoS<9+Ny=（Λ∕+m∖g+αςz）=（M+m∖g+Lc（d>2COS^-0'Sine）]⑫
将⑥®⑩式代入⑪⑫式得
必邛亦+严）g（3sin%ose一2sin&）+（J：
幕ysin&
（3）当杆转到竖直位置即&：
=兀时，由⑨式得，角速度少为
撤除转轴后，带弹丸的杆的质心做平抛运动.同时杆绕其质心以角速度0在竖直平面内做顺时计转动。
以撤除转轴的瞬间为计时毎点，在/时刻的质心坐标为
XC=VCt=
r12儿=L厂齐
建立如图所示的质心坐标系，由于杆同时绕质心以角速度6/在竖直
平面内顺时针转动，在f时刻杆的B端相对于其质心的坐标为
Xg=（Z-LC）Si∏Λ>7y9B=（I-LC）CoSω,t
在地面参考系中，r时刻杆的B端的坐标为
XB（O=XC+XB=（厶c"）r+（Z-厶C）SinfiXf⑯
yβ（0=Λ+>,B=厶一gr2+（/-ZJcoseY⑰
（4）撤除转轴后，经过时间“，杆再转了半圈，即
ω,tl=π
设此时O.B两点的高度差为"，即此时杆B端的，坐标的绝对值。
由⑰式得
兀经（4m+3M）2厂ml
12[6m2⅛-^（4m+3λ/）2/]3（M+m）
评分标准：
本题40分。
第
（2）问23分，⑤式3分，⑥⑦式各2分•⑧式3分，⑨式2分，⑩⑪⑫式各3分，⑬⑭式各1分;
第（3〉问7分，⑮式1分，（S）⑰式各3分:
第（4）问5分•⑱式3分，⑲或㉙式2分。
四、（40分）Ioflfe-Pritchard磁阱可用来束缚原子的运动•其主要部分如图所示。
四根均通有恒定电流/的长直导线1、2、3、4都垂直于xηy平面，它们与r平面的交点是边长为2“、中心在原点O的正方形的顶点，导线K2所在平面与兀轴平行，各导线中电流方向己在图中标出。
整个装宜置于匀强磁场BQ=BOk（公为2轴正方向单位矢量〉中。
己知真空磁导率为如。
（1）求电流在通电导线外产生的总磁场的空间分布；
（2）电流在原点附近产生的总磁场的近似表达式，保留至线性项：
（3〉将某原子放入磁阱中，该原子在磁阱中所受的磁作用束缚势能正比于其所在位置的总磁感应强度Btci的大小，即磁作用束缚势能V=μ∖Bιa∖.“为正的常量。
求该原子在原点O附近所受磁场的作用力；
（4）在磁阱中运动的原子最容易从X宁平面上什么位置逸出？
求刚好能够逸岀磁阱的原子
参考解答：
（1）四根通有直流电流/的导线在平面内的空间坐标依次是
（-α,α）,（α,α）,（α,-α）,（-α,-α）
取X轴和y轴方向单位矢虽为i和，考虑通电导线外任一点（Ay）-导线1、2、3、4上的电流在点（X丿）产生的磁场耳、B汀B「Bd为
B二“o（_DYy_α"+（x+叨
2π（x÷α）2+（y-α）2
吐二如】-（yγ）i+（Xy
2π（x-α）2÷（>>-α）2
B二“o（_D_（尸小+（—叨
32π（X-a）2+（y+a）2
B二-（y十a”+"+。
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