人教版数学七年级上册第4章 余角和补角同步练习解析版.docx

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人教版数学七年级上册第4章余角和补角同步练习解析版

人教版数学七年级上册第4章4.3.3余角和补角同步练习

一、单选题（共12题；共24分）

1、在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数（ ）

A、60°

B、90°

C、120°

D、60°或120°

2、如图，已知∠B=30°，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠B=40°，则图中互余的角有（ ）对．

A、4对

B、5对

C、6对

D、7对

3、下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（  ）

A、

B、

C、

D、

4、下列说法：

①35=3×3×3×3×3；②﹣1是单项式，且它的次数为1；③若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角；④对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若

 =

，则x=y．其中不正确的有（  ）

A、3个

B、2个

C、1个

D、0个

5、如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（  ）

A、60°

B、50°

C、40°

D、30°

6、时钟显示为9：

30时，时针与分针所夹角度是（  ）

A、90°

B、100°

C、105°

D、110°

7、如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（   ）

A、互为余角

B、互为补角

C、互为对顶角

D、互为邻补角

8、如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（  ）

A、

B、

C、

D、不能确定

9、已知：

如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（  ）

A、相等

B、互余  

C、互补

D、互为对顶角

10、如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角之间关系为（  ）

A、相等

B、互补

C、相等或互补

D、不能确定

11、如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1互余的角有（  ）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

12、已知下列命题：

①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（  ）

A、3个

B、2个

C、1个

D、0个

二、填空题（共5题；共6分）

13、如果两个角互补，并且它们的差是30°，那么较大的角是________．

14、若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少2°，则这个角等于________．

15、如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为________．

16、如果∠1+∠2=90°，而∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是________．

17、看图填空，并在括号内说明理由：

如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明∠E=∠F．

∵∠BAP与∠APD互补，________

∴∠E=∠F．________．

三、解答题（共3题；共15分）

18、一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？

19、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？

为什么？

20、已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：

DE⊥AC．

四、综合题（共3题；共31分）

21、如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD．

（1）写出图中与∠EOB互余的角；

（2）若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数．

22、如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．

（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；

（2）若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．

23、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：

∠ABD=∠C；

（3）如图3，在

（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

答案解析部分

一、单选题

1、【答案】D

【考点】余角和补角，垂线

【解析】【解答】解：

由OC⊥OD，可得∠DOC=90°，如图1，当∠AOC=30°时，∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；

如图2，当∠AOC=30°时，∠AOD=90°﹣30°=60°，此时，∠BOD=180°﹣∠AOD=120°．

故选D

【分析】根据题意可知，射线OC、OD可能在直线AB的同侧，也可能在直线AB的异侧，分两种情况进行讨论即可．

2、【答案】A

【考点】余角和补角，垂线

【解析】【解答】解：

图中互余的角有：

∠B与∠BAD，∠C，∠C与∠DAC，∠E与∠F，共4对．故选A

【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．

3、【答案】B

【考点】余角和补角

【解析】【解答】解：

四个选项中，只有选项B满足∠1+∠2=90°，即选项B中，∠1与∠2互为余角．

故选B．

【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．

4、【答案】B

【考点】单项式，等式的性质，余角和补角，有理数的乘方

【解析】【解答】解：

35=3×3×3×3×3，①说法正确，不符合题意；﹣1是单项式，且它的次数为0，②说法错误，符合题意；

若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角，③说法正确，不符合题意；

对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若

 =

，则x与y不一定线段，④说法错误，符合题意，

故选：

B．

【分析】根据有理数的乘方的意义、单项式的概念、余角的定义、等式的性质进行判断即可．

5、【答案】A

【考点】余角和补角，平行线的性质

【解析】【解答】解：

∵∠1=30°，∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°，

∵直尺两边互相平行，

∴∠2=∠3=60°．

故选：

A．

【分析】根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．

6、【答案】C

【考点】钟面角、方位角

【解析】【解答】解：

9：

30时，时针与分针所夹角度是30×

=105°，

故选：

C．

【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．

7、【答案】A

【考点】余角和补角，对顶角、邻补角

【解析】【解答】解：

图中，∠2=∠COE（对顶角相等），又∵AB⊥CD，

∴∠1+∠COE=90°，

∴∠1+∠2=90°．

故选：

A．

【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．

8、【答案】C

【考点】余角和补角，对顶角、邻补角

【解析】【解答】解：

∵∠α与∠β是邻补角，∴∠α+∠β=180°，

∴

（∠α+∠β）=90°，

∴∠β的余角是：

90°﹣∠β=

（∠α+∠β）﹣∠β=

（∠α﹣∠β），

故选：

C．

【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到

（∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：

90°﹣∠β再利用等量代换可得

（∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可．

9、【答案】B

【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，垂线

【解析】【解答】解：

图中，∠2=∠COE（对顶角相等），又∵AB⊥CD，

∴∠1+∠COE=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴两角互余．

故选：

B．

【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．

10、【答案】C

【考点】余角和补角，平行线的性质

【解析】【解答】解：

两个角的两边互相平行，如图

（1）所示，∠1和∠2是相等关系，

如图

（2）所示，则∠3和∠4是互补关系．

故选：

C．

【分析】根据两个角的两边互相平行及平行线的性质，判断两角的关系即可，注意不要漏解．

11、【答案】C

【考点】余角和补角，垂线，平行线的性质

【解析】【解答】解：

∵CE⊥BD，∴∠CBD=∠EBD=90°，

∴∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，

即∠ABC、∠EBF与∠1互余；

∵AB∥CD，

∴∠1=∠D，

∵∠C+∠D=90°，

∴∠C+∠1=90°，

即∠C与∠1互余；

图中与∠1互余的角有3个，

故选：

C．

【分析】由垂线的定义得出∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，得出∠ABC、∠EBF与∠1互余；由平行线的性质和余角关系得出∠C+∠1=90°，得出∠C与∠1互余．

12、【答案】B

【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，平行公理及推论，命题与定理

【解析】【解答】解：

①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角，故①错误；②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误；③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误；④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确；⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤正确．所以真命题有④⑤两个．

故选：

B．

【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．

二、填空题

13、【答案】

【考点】余角和补角

【解析】【解答】解：

设较大角为x，则其补角为180°﹣x，由题意得：

x﹣（180°﹣x）=30°，

解得：

x=105°．

故答案为：

105°．

【分析】设较大角为x，则其补角为180°﹣x，根据它们的差是30°可列出方程，解出即可．

14、【答案】71.6°

【考点】余角和补角

【解析】【解答】解：

设这个角为x，由题意得，3x=2（180°﹣x）﹣2°，

解得，x=71.6°

故答案为：

71.6°．

【分析】设这个角为x，根据题意和补角的概念列出方程，解方程即可．

15、【答案】50°

【考点】余角和补角，平行线的性质

【解析】【解答】解：

∵∠1=40°，∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°，

∵a∥b，

∴∠2=∠3=50°．

故答案为：

50°．

【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．

16、【答案】相等

【考点】余角和补角

【解析】【解答】解：

∵∠2与∠3互余，∴∠2+∠3=90°，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

故答案为：

相等．

【分析】根据同角的余角相等解答．

17、【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等

【考点】余角和补角，平行线的判定与性质

【解析】【解答】证明：

∵∠BAP与∠APD互补（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2（已知），

∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2（等量代换），即∠3=∠4，

∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行），

∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

【分析】先根据题意得出AB∥CD，再由平行线的性质得出∠BAP=∠APC，根据∠1=∠2可得出∠3=∠4，进而得出AE∥PF，据此可得出结论．

三、解答题

18、【答案】解：

设这个角的度数为x°，则根据题意得：

180﹣x=3（90﹣x），

解得：

x=45，

即这个锐角为45°．

【考点】余角和补角

【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则根据题意得出180﹣x=3（90﹣x），求出方程的解即可．

19、【答案】解：

∠1=∠2，

理由：

∵∠A=∠C=90°，根据四边形的内角和得，∠ADC+∠ABC=180°，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠EBC=

∠ABC，∠2=

∠ADC，

∴∠EBC+∠2=

∠ABC+

∠ADC=90°，

∵FG⊥BE，

∴∠FGB=90°，

∴∠1+∠EBC=90°，

∴∠1=∠2

【考点】余角和补角，角平分线的性质，多边形内角与外角

【解析】【分析】先根据四边形的内角和求出∠ADC+∠ABC=180°，再结合角平分线得出∠EBC+∠2=90°，再利用直角三角形的两锐角互余得出，∠1+∠EBC=90°，即可得出结论．

20、【答案】证明：

如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥HF，

∴∠2+∠3=180°，

又∵∠1与∠2互补，

∴∠2+∠1=180°，

∴∠1=∠3，

∴DE∥BC，

∵AC⊥BC，

∴DE⊥AC．

【考点】余角和补角，平行线的判定与性质

【解析】【分析】根据AC⊥BC，DE⊥AC，易证DE∥BC，那么∠2+∠3=180°，而∠1与∠2互补，从而可证∠1=∠3，即可得出DE∥BC，结合AC⊥BC，易得DE⊥AC．

四、综合题

21、【答案】

（1）解：

∵OA平分∠COF，∴∠COA=∠FOA=∠BOD，

∵OE⊥CD，

∴∠EOB+∠BOD=90°，

∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°，

∴与∠EOB互余的角是：

∠COA，∠FOA，∠BOD

（2）解：

∵∠AOF=30°，由

（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°，

∵OE⊥CD，

∴∠BOE=90°﹣30°=60°

【考点】角平分线的定义，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线

【解析】【分析】

（1）由于OA平分∠COF和∠COA与∠BOD是对顶角，得到∠COA=∠FOA=∠BOD，根据垂直定义有∠EOB+∠BOD=90°，根据互为余角的定义即可得到结论；

（2）由

（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，由平角的意义可求得∠DOF，根据垂直定义可求得∠BOE．

22、【答案】

（1）解：

（1）BF∥DE，理由如下：

∵∠AGF=∠ABC，

∴GF∥BC，

∴∠1=∠3，

∵∠1+∠2=180°，

∴∠3+∠2=180°，

∴BF∥DE；

（2）解：

∵BF∥DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，

∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，

∴∠1=30°，

∴∠AFG=90°﹣30°=60°．

【考点】余角和补角，垂线

【解析】【分析】

（1）由于∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1+∠2=180°得出∠3+∠2=180°判断出BF∥DE；

（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2=150°得出∠1=30°，得出∠AFG的度数

23、【答案】

（1）∠A+∠C=90°；

（2）解：

如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG=90°，

∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN，

∴∠C=∠CBG，

∴∠ABD=∠C；

（3）解：

如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

由

（2）可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，

设∠DBE=α，∠ABF=β，则

∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，

∴∠AFC=3α+β，

∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，

∴∠FCB=∠AFC=3α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得

（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组，解得α=15°，

∴∠ABE=15°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

【考点】余角和补角，平行线的判定与性质

【解析】【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．