将军饮马模型.docx

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将军饮马模型

将军饮马模型

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一

位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？

这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．

【问题原型】将军饮马造桥选址费马点

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；

三角形两边三边关系；轴对称；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直

二、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：

两定点到一动点的距离和最小

例1：

在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB

作法：

连接AB，与直线l的交点Q，

最小.

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，

PA+PB最小，且最小值等于AB.

原理：

两点之间线段最短。

证明：

连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：

AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取

例2：

在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.

关键：

找对称点

作法：

作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.

原理：

两点之间，线段最短

证明：

连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：

AP+PC≧AC（当且仅当PQ重合时取﹦）

2.两动一定型

例3：

在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．

作法：

作点A关于OM的对称点A'，作点A关于ON的对称点A''，连接A'A''，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．

原理：

两点之间，线段最短

例4：

在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：

作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B'，连接A'B'，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．

原理：

两点之间，线段最短

3.两定两动型最值

例5：

已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+N的B值最小.

提示：

存在定长的动点问题一定要考虑平移

作法一：

将点A向右平移长度d得到点A'，作A'关于直线l的对称点A''，连接A''B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

作法二：

作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

原理：

两点之间，线段最短，最小值为A''B+MN

例6：

（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

例6：

直线l1∥l2，在直线l1上找一个点

C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且

AC＋BD＋CD最短．

作法：

将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A'，连接A'B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A'B+CD

原理：

两点之间，线段最短，

4.垂线段最短型

例7：

在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．

原理：

垂线段最短

点A是定点，OM，ON是定线，

点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

例8：

在定直线l上找一个动点

P，使动点P到两个定点

A与B的距离之差最小，即

PA-PB

最小.

作法：

连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P此时|PA-PB|=0

原理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例9：

在定直线l上找一个动点

C，使动点C到两个定点

A与B的距离之差最大，即

|PA-PB

|最大

作法：

延长BA交l于点C，点C即为所求，即点B、A、C三点共线时，最大值为原理：

三角形任意两边之差小于第三边例10：

在定直线l上找一个动点C，使动点最大

作法：

作点A关于OM的对称点A'，过点A'作A'C⊥ON，交OM于点B，B、C即为所求。

作法：

作点B关于l的对称点B，连接AB，交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。

原理：

三角形任意两边之差小于第三边

典型例题

三角形

1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=

2，求EM+EC的最小值

解：

点C关于直线AD的对称点是点B，连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，

则EH=AH–AE=3–2=1，BH=BC2-CH2=62-32=33

在直角△BHE中，BE=BH2+HE2=（33）2+12=27