将军饮马模型.docx

1、将军饮马模型将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦 一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营 A 出发， 先到河边饮马， 然后再去河岸同侧的军营 B 开会， 应该怎样走 才能使路程最短？这个问题的答案并不难， 据说海伦略加思索就解决了它 从此以后， 这个 被称为“ 将军饮马 ”的问题便流传至今【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1. 两定一动型： 两定点到一动

2、点的距离和最小例 1：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB作法 ：连接 AB，与直线 l 的交点 Q，最小 .Q即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q处，PA+PB最小，且最小值等于 AB.原理： 两点之间线段最短。证明 ：连接 AB，与直线 l 的交点 Q，P为直线 l 上任意一点， 在 PAB中，由三角形三边关系可知： AP+PB AB（当且仅当 PQ重合时取例 2：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A与 B的距离之和最小， 即 PA+PB的和最小 .关键：找对称点作法：作定点 B 关于定直线 l 的

3、对称点 C，连接 AC，与直线 l 的交点 Q即为所要寻找的点， 即当动点 P跑到了点 Q处， PA+PB和最小，且最小值等于 AC.原理： 两点之间，线段最短证明 ：连接 AC，与直线 l 的交点 Q，P为直线 l 上任意一点， 在 PAC中，由三角形三边关系可知： AP+PC AC（当且仅当 PQ重合时取 ）2. 两动一定型例 3：在 MON的内部有一点 A，在 OM上找一点 B，在 ON上找一点 C，使得 BAC周长最短作法： 作点 A关于 OM的对称点 A，作点 A 关于 ON的对称点 A ，连接 A A， 与 OM交于点 B，与 ON交于点 C，连接 AB，AC， ABC即为所求原理

4、： 两点之间，线段最短例 4：在 MON的内部有点 A 和点 B，在 OM上找一点 C，在 ON上找一点 D，使得四边形 ABCD 周长最短作法： 作点 A关于 OM的对称点 A，作点 B关于 ON的对称点 B ，连接 A B ，与 OM 交于点 C，与 ON交于点 D，连接 AC， BD， AB，四边形 ABCD即为所求原理： 两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例 5：已知 A、B 是两个定点，在定直线 l 上 找两个动点 M与 N，且 MN长度等于定长 d（动 点 M位于动点 N左侧），使 AM+MN+N的B 值最小 .提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一： 将点 A向右平移长

5、度 d得到点 A， 作 A关于直线 l 的对称点 A，连接 A B，交直线 l 于点 N，将点 N 向左平移长度 d，得到点 M。作法二 ：作点 A关于直线 l 的对称点 A1，将点 A1向右平移长度 d 得到点 A2，连接 A2 B， 交直线 l 于点 Q，将点 Q 向左平移长度 d，得到点 Q。原理： 两点之间，线段最短，最小值为 A B+MN例 6： （造桥选址 ）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河 流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？例 6：直线 l 1 l 2，在直线 l 1 上找一个点C，直线 l 2 上找一个点 D，使得

6、CD l 2, 且ACBDCD最短作法： 将点 A沿 CD方向向下平移 CD长度 d 至点 A，连接 AB，交 l 2于点 D，过点 D 作 DC l 2于点 C，连接 AC则桥 CD即为所求此时最小值为 AB+CD原理： 两点之间，线段最短，4. 垂线段最短型例 7：在 MON的内部有一点 A，在 OM上找一点 B，在 ON上找一点 C，使得 AB BC最短原理： 垂线段最短点 A 是定点， OM， ON是定线，点 B、点 C是 OM、 ON上要找的点，是动点例 8：在定直线 l 上找一个动点P，使动点 P 到两个定点A与 B的距离之差最小，即PA-PB最小 .作法： 连接 AB，作 AB的

7、中垂线与 l 的交点，即为所求点 P 此时 | PA-PB |=0原理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例 9：在定直线 l 上找一个动点C，使动点 C 到两个定点A与 B的距离之差最大，即| PA-PB| 最大作法：延长 BA交l 于点 C，点 C即为所求， 即点 B、A、C 三点共线时，最大值为 原理： 三角形任意两边之差小于第三边 例 10 ：在定直线 l 上找一个动点 C，使动点 最大作法： 作点 A 关于 OM的对称点 A，过点 A作 A C ON， 交 OM于点 B，B、 C即为所求。作法 ：作点 B关于 l 的对称点 B，连接 AB， 交交 l 于点 P 即为所求，最大值为 AB的长度。原理： 三角形任意两边之差小于第三边典型例题三角形1如图，在等边 ABC中， AB = 6， AD BC， E是 AC上的一点， M是AD上的一点，且 AE =2，求 EM+EC的最小值解：点 C 关于直线 AD的对称点是点 B，连接 BE，交 AD于点 M，则 ME+MD最小， 过点 B 作 BHAC于点 H，则 EH = AH AE = 3 2 = 1 ，BH = BC2 - CH 2 = 62 - 3 2 = 3 3在直角 BHE中， BE = BH2 + HE 2 = (3 3) 2 + 1 2 = 2 7