专题训练七 四种特殊的等腰三角形的运用.docx

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专题训练七四种特殊的等腰三角形的运用

专题训练（七）　四种特殊的等腰三角形的运用　　　　　　　　　　　　　　　　

►　类型一　等腰直角三角形

定义：

有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．

性质：

（1）两条直角边相等；

（2）顶角是90°，底角是45°.

判定：

利用定义．

1．如图7－ZT－1，轮船从B处以每小时50nmile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时后到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________nmile.

图7－ZT－1

2．如图7－ZT－2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是角平分线，ED⊥BC于点D.

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）若BC＝10，求AB＋AE的长．

图7－ZT－2

3．如图7－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F，判断△DBF的形状，并证明你的结论．

图7－ZT－3

4．如图7－ZT－4，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形BCD和ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G.

求证：

CG垂直平分AB.

图7－ZT－4

►　类型二　等边三角形

定义：

三边都相等的三角形叫做等边三角形．

性质：

（1）三边都相等；

（2）三个角都是60°.

判定：

（1）定义；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

5．如图7－ZT－5所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

图7－ZT－5

A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm

6.如图7－ZT－6，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝________cm.

图7－ZT－6

7．如图7－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

求证：

AE＝EF.

图7－ZT－7

►　类型三　有一个角是30°的等腰三角形

8．2017·荆州如图7－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）

图7－ZT－8

A．30°B．45°C．50°D．75°

9．如图7－ZT－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为________．

图7－ZT－9

10．如图7－ZT－10，在△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC的边BC上一点，DC＝2DB，∠ADC＝60°，CE⊥AD，垂足为E，连接BE.求证：

EA＝EB＝EC.

图7－ZT－10

►　类型四　有一角是36°的等腰三角形

有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：

（1）顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；

（2）底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．

11．如图7－ZT－11，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（　　）

图7－ZT－11

A．30°B．36°

C．38°D．45°

12．2017·益阳如图7－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的式子表示△ABC的周长为________．

图7－ZT－12

13．如图7－ZT－13所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________度．

图7－ZT－13

14．如图7－ZT－14，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：

（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）

图7－ZT－14

（1）在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；

（2）在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

（3）继续按以上操作发现：

在图③中画n条线段，则图中有________个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．

教师详解详析

1．[答案]25

[解析]由题意知∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，于是∠A＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC＝BC＝50×

＝25（nmile）．

2．解：

（1）如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠8＝45°.

又∵ED⊥BC，

∴∠EDC＝90°，∠7＝∠8＝45°.∴DE＝DC，

故△DCE为等腰三角形；

∵BE是∠ABC的平分线，∠BAC＝∠EDB＝90°，

∴AE＝DE，故△ADE为等腰三角形；

∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2.

又∵∠BAE＝∠EDB＝90°，BE＝BE，

∴△ABE≌△DBE.∴AB＝BD，

故△ABD为等腰三角形．

故图中所有的等腰三角形为△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共四个．

（2）由

（1）可知△ADE，△ABD，△DCE均为等腰三角形，

∴AB＝BD，AE＝DE＝CD.

∴AB＋AE＝BD＋CD＝BC＝10.

3．解：

△DBF是等腰直角三角形．

证明：

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.

∵BF平分∠ABE，BE⊥AC，

∴∠DFB＝∠DAB＋∠ABF＝

（∠BAE＋∠ABE）＝

（180°－∠AEB）＝45°.

∴∠DBF＝90°－∠DFB＝45°.∴DB＝DF.

∴△DBF是等腰直角三角形．

4．证明：

∵AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA.

∵△ACE和△BCD均为等腰直角三角形，

∴∠CAE＝∠CBD＝45°.∴∠FAG＝∠FBG.

∴AF＝BF.

在△ACF和△BCF中，

∴△ACF≌△BCF（SSS）．

∴∠ACF＝∠BCF.

∴AG＝BG，CG⊥AB（三线合一），

即CG垂直平分AB.

5．C

6．[答案]8

[解析]延长AD交BC于点M.由AB＝AC，AD平分∠BAC可得AM⊥BC，BM＝MC＝

BC.延长ED交BC于点N，则△EBN是等边三角形，故EN＝BN＝BE＝6cm，∴DN＝6－2＝4（cm）．在Rt△DMN中，∵∠MDN＝90°－∠DNM＝30°，∴MN＝

DN＝2cm.∴BM＝6－2＝4（cm）．∴BC＝2BM＝8cm.

7．证明：

如图，在AB上截取AG＝CE，连接EG.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°.∴BG＝BE.

∴△BEG是等边三角形．∴∠BGE＝60°.

∴∠AGE＝120°.

∵CF平分∠ACD，

∴∠ACF＝

（180°－∠ACB）＝60°.

∴∠ECF＝120°.∴∠AGE＝∠ECF.

∵∠AEC＝∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，且∠AEF＝∠B＝60°，

∴∠GAE＝∠CEF.

∴△AGE≌△ECF（ASA）．∴AE＝EF.

8．[解析]B　∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°.∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD.∴∠A＝∠ABD＝30°.∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－30°＝45°.故选B.

9．[答案]1或2

[解析]根据题意，得∠AEF＝2∠B＝60°.

（1）若∠AFE＝90°，如图①，则∠FAB＝90°－∠AEF＝30°，∴∠FAB＝∠B.∴AF＝BF.∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∴∠FAC＝30°.在Rt△FAC中，FC＝

AF＝

BF＝

BC＝1，∴BF＝BC－FC＝2.∴BD＝

BF＝1；

（2）若∠EAF＝90°，如图②，同理可得FC＝

AF.在Rt△BAF中，FA＝

BF.

∴FC＝

BF＝

BC＝1.∴BF＝BC＋CF＝4.

∴BD＝

BF＝2.

综上所述，BD的长为1或2.

10．证明：

∵CE⊥AD，∠ADC＝60°，

∴∠DCE＝30°.∴DC＝2DE.

∵DC＝2DB，∴DE＝DB.

∴∠EBC＝

∠ADC＝30°.

∴∠EBC＝∠ECB＝30°.∴EB＝EC.

∵∠DAB＝∠ADC－∠ABC＝15°，∠EBA＝∠ABC－∠EBC＝45°－30°＝15°，

∴∠DAB＝∠EBA.∴EA＝EB.

∴EA＝EB＝EC.

11．B

12．[答案]2a＋3b

[解析]根据题意可知AC＝AB＝a＋b.

∵AB＝AC，∠BAC＝36°，

∴∠B＝∠ACB＝72°.

∵DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝36°，

∴AE＝CE.

∴∠ACE＝∠BAC＝36°.

∴∠B＝∠BEC＝72°.

∴BC＝CE＝AE＝b.

∴△ABC的周长＝2（a＋b）＋b＝2a＋3b.

13．108

14.

解：

（1）如图①所示（画图不唯一）．空格处分别填：

108，36.

提示：

当AE＝BE时，∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，∠EBC＝36°，

∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°和36°.

（2）答案不唯一，如图②所示．

（3）空格处分别填：

2n，n.

提示：

画1条线段可得到2个等腰三角形；

画2条线段可得到4个等腰三角形；

画3条线段可得到6个等腰三角形……

∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．