1、专题训练七 四种特殊的等腰三角形的运用专题训练(七)四种特殊的等腰三角形的运用 类型一等腰直角三角形定义:有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形性质:(1)两条直角边相等;(2)顶角是90,底角是45.判定:利用定义1如图7ZT1,轮船从B处以每小时50 n mile的速度沿南偏东30方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上,轮船航行半小时后到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上,则C处与灯塔A的距离是_n mile.图7ZT12如图7ZT2,ABC是等腰直角三角形,BAC90,BE是角平分线,EDBC于点D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形;(2)若BC10,求AB
2、AE的长图7ZT23如图7ZT3,在ABC中,ABAC,D是BC的中点,BEAC,垂足为E,ABE的平分线交AD于点F,判断DBF的形状,并证明你的结论图7ZT34如图7ZT4,在等腰三角形ABC中,ACBC,分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形BCD和ACE,AE与BD相交于点F,连接CF并延长交AB于点G.求证:CG垂直平分AB.图7ZT4类型二等边三角形定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形性质:(1)三边都相等;(2)三个角都是60.判定:(1)定义;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形5如图7ZT5所示,在ABC中,ABAC,A
3、120,BC6 cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为()图7ZT5A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm6.如图7ZT6,在ABC中,ABAC,D,E是ABC内两点,AD平分BAC,EBCE60.若BE6 cm,DE2 cm,则BC_cm.图7ZT67如图7ZT7,ABC是等边三角形,E是BC边上任意一点,AEF60,EF交ABC的外角ACD的平分线于点F.求证:AEEF.图7ZT7类型三有一个角是30的等腰三角形82017荆州如图7ZT8,在ABC中,ABAC,A30,AB的垂直平分线l交AC于点D,则CBD的度数
4、为()图7ZT8A30 B45 C50 D759如图7ZT9,在RtABC中,C90,B30,BC3,D是BC边上一动点(不与点B,C重合),过点D作DEBC交AB边于点E,将B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处,当AEF为直角三角形时,BD的长为_图7ZT910如图7ZT10,在ABC中,ABC45,D是ABC的边BC上一点,DC2DB,ADC60,CEAD,垂足为E,连接BE.求证:EAEBEC.图7ZT10类型四有一角是36的等腰三角形有一角是36的等腰三角形包括两种情况:(1)顶角是36的等腰三角形,此时底角是72;(2)底角是36的等腰三角形,此时顶角是108.这两类等腰三角
5、形具有一些共性11如图7ZT11,过正五边形ABCDE的顶点A作直线lBE,则1的度数为()图7ZT11A30 B36C38 D45122017益阳如图7ZT12,在ABC中,ABAC,BAC36,DE是线段AC的垂直平分线,若BEa,AEb,则用含a,b的式子表示ABC的周长为_图7ZT1213如图7ZT13所示,在ABC中,ABAC,D为BC上一点,且ABBD,ADDC,则BAC_度图7ZT1314如图7ZT14,在ABC中,ABAC,A36,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形请完成以下操作:(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC)图7ZT14(1)在图中画1条
6、线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是_度和_度;(2)在图中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;(3)继续按以上操作发现:在图中画n条线段,则图中有_个等腰三角形,其中有_个黄金等腰三角形教师详解详析1答案 25解析 由题意知ABC45,ACB90,于是A45,ABC是等腰直角三角形ACBC5025(n mile)2解:(1)如图,ABC是等腰直角三角形,BAC90,ABC845.又EDBC,EDC90,7845.DEDC,故DCE为等腰三角形;BE是ABC的平分线,BACEDB90,AEDE,故ADE为等腰三角形;BE是ABC的平分线,12.又BAEEDB
7、90,BEBE,ABEDBE.ABBD,故ABD为等腰三角形故图中所有的等腰三角形为ABC,DCE,ADE,ABD,共四个(2)由(1)可知ADE,ABD,DCE均为等腰三角形,ABBD,AEDECD.ABAEBDCDBC10.3解:DBF是等腰直角三角形证明:ABAC,D是BC的中点,ADBC,AD平分BAC.BF平分ABE,BEAC,DFBDABABF(BAEABE)(180AEB)45.DBF90DFB45.DBDF.DBF是等腰直角三角形4证明:ACBC,CABCBA.ACE和BCD均为等腰直角三角形,CAECBD45.FAGFBG.AFBF.在ACF和BCF中,ACFBCF(SSS)
8、ACFBCF.AGBG,CGAB(三线合一),即CG垂直平分AB.5C6答案 8解析 延长AD交BC于点M.由ABAC,AD平分BAC可得AMBC,BMMCBC.延长ED交BC于点N,则EBN是等边三角形,故ENBNBE6 cm,DN624(cm)在RtDMN中,MDN90DNM30,MNDN2 cm.BM624(cm)BC2BM8 cm.7证明:如图,在AB上截取AGCE,连接EG.ABC是等边三角形,ABBC,BACB60.BGBE.BEG是等边三角形BGE60.AGE120.CF平分ACD,ACF(180ACB)60.ECF120.AGEECF.AECBGAEAEFCEF,且AEFB60
9、,GAECEF.AGEECF(ASA)AEEF.8解析 BABAC,A30,ABCACB75.AB的垂直平分线交AC于点D,ADBD.AABD30.CBDABCABD753045.故选B.9答案 1或2解析 根据题意,得AEF2B60.(1)若AFE90,如图,则FAB90AEF30,FABB.AFBF.B30,BAC60.FAC30.在RtFAC中,FCAFBFBC1,BFBCFC2.BDBF1;(2)若EAF90,如图,同理可得FCAF.在RtBAF中,FABF.FCBFBC1.BFBCCF4.BDBF2.综上所述,BD的长为1或2.10证明:CEAD,ADC60,DCE30.DC2DE.
10、DC2DB,DEDB.EBCADC30.EBCECB30.EBEC.DABADCABC15,EBAABCEBC453015,DABEBA.EAEB.EAEBEC.11B12答案 2a3b解析 根据题意可知ACABab.ABAC,BAC36,BACB72.DE是线段AC的垂直平分线,BAC36,AECE.ACEBAC36.BBEC72.BCCEAEb.ABC的周长2(ab)b2a3b.1310814.解:(1)如图所示(画图不唯一)空格处分别填:108,36.提示:当AEBE时,AABE36,则AEB108,EBC36,这2个等腰三角形的顶角度数分别是108和36.(2)答案不唯一,如图所示(3)空格处分别填:2n,n.提示:画1条线段可得到2个等腰三角形;画2条线段可得到4个等腰三角形;画3条线段可得到6个等腰三角形在ABC中画n条线段,则图中有2n个等腰三角形,其中有n个黄金等腰三角形
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