九年级数学北师大版上册教案13 正方形的性质与判定2课时.docx
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九年级数学北师大版上册教案13正方形的性质与判定2课时
1.3正方形的性质与判定
第1课时
【教学目标】
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理.
【教学重难点】
重点:
探索正方形的性质定理.
难点:
掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.
【教学过程】
一、探究导入
【显示投影片】
显示内容:
展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题:
1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？
正方形四条边有什么关系？
四个角呢？
正方形是矩形吗？
是菱形吗？
为什么？
正方形具有哪些性质呢？
学生活动:
观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：
1.正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）.
实验活动：
教师拿出矩形按左图折叠.然后展开，
让学生发现:
只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生
发现：
只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形.
教师活动:
组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图:
学生活动：
观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义:
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形性质：
（1）边的性质:
对边平行，四条边都相等.
（2）角的性质：
四个角都是直角.
（3）对角线的性质:
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
（4）对称性:
是轴对称图形，有四条对称轴.
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.
二、探究新知
【课堂演练】（投影显示）
演练题1：
如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于0，MN//AB，且分别与OA、OB相交于M、N.
求证：
（1）BM=CN；
（2）BM⊥CN.
分析：
本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在ΔBOM与ΔCON是否全等.
（2）在
（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN.只需证∠5+∠CMG=90°就可以了.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学
生上台演示，交流.
学生活动：
课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题.
证明：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB.
∵MN//AB，∴∠1=∠2,∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，
∴OM=ON，
∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN.
（2）由
（1）知ΔBOM≌ΔCON,
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN.
演练题2:
如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证:
ΔCEF是直角三角形.
分析：
本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解决问题.这里应用到正方形性质.
【活动方略】
教师活动:
用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析，并请同学上讲台分析思路，板演.
学生活动:
先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.
证明：
设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，
AF=FB=2a，AE=a，DE=3a.
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2.
由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形.
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力.
三、范例点击
例：
已知：
如图，四边形ABCD是正方形，矩形PECF的顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,E在BC上，F在CD上，连接AC、AP、PC、EF，若EC=4，CF=3,求PA的长.
分析：
本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC，运用正方形的性质可得AP=PC，进而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.
解：
∵四边形PECF是矩形，∴PC=EF.在RtΔEFC中，
EC=4，CF=3,∴EF='
∴PC=5.∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分线.∵点P在BD上，∴PA=PC=5.
【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题，主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质，借助第三条线段作“媒介”求线段的长.
四、巩固练习
教材P21随堂练习
五、课堂小结
本节课应掌握：
正方形的概念：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.
六、布置作业
教材P22习题1.7第1、2、3题
第2课时
【教学目标】
1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.
3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
【教学重难点】
重点:
掌握正方形的判定条件.
难点:
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
【教学过程】
―、创设情境，引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？
请填入下图中.
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
1.怎样判断一个四边形是平行四边形？
2.怎样判断一个四边形是矩形？
3.怎样判断一个四边形是菱形？
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议:
你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、探究新知
1.探索正方形的判定条件：
学生活动：
四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.
（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:
有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.
2.正方形判定条件的应用
例1:
判断下列命题是真命题还是假命题？
并说明理由.
（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
⑵四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
师生共析：
是真命题，因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.
⑵真命题,由四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.
（3）假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，
对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图①，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形.
（4）假命题，它可能是任意四边形.如上图②，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.
（5）真命题.
方法一:
对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.
方法三：
由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.
总结:
通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.
例2:
如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠AFE=45°，试说明EF=BE+DF.
师生共析:
要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。
此时可依靠全等三角形来解决.
像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法.
解:
将ΔADF旋转到ΔABC，则ΔADF≌ ΔABG
∴AF=AG，∠ADF=∠ABG,DF=BG，
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF+∠BAE=45°,
∴∠GAB+∠BAE=45°,
即∠GAE=45°，
∴ΔAEF≌ΔAEG（SAS），∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
讨论:
你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗?
说出你的做法.
你怎么检验它是一个正方形呢？
小组讨论一下.
三、范例点击
例3:
如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ΔACE是等边三角形.
求证：
四边形ABCD是菱形；
若∠AED=2∠EAD，求证：
四边形ABCD是正方形.
分析:
⑴由已知可得BE垂直平分AC,进而可得AB=BC，再用菱形定义可判定.
（2）由菱形性质可得∠DAC=∠BAC，由已知得∠AED=30°，∠EAO=60°，∠DAE=15°，∠DAO=45°，从而得出∠BAD=90°，问题得解.
证明：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC.
又∵ΔACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.
∵ΔACE为等边三角形，
∴∠AEO=∠OEC=30〇,∠EAC=60〇.
∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=45°.又∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB=90°，∴菱形ABCD为正方形.
四、巩固练习
教材P24随堂练习
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.
五、课堂小结
本节课应掌握：
正方形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）
对角线相等的菱形是正方形.
对角线垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
六、布置作业
教材P25习题1.8第1、3题.
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