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等差等比数列知识点梳理及经典例题推荐文档
A、等差数列知识点及经典例题一、数列
由an与Sn的关系求an
由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段
n⎨S-S
函数的形式表示为a=⎧S1
⎩nn-1
(n=1)
(n≥2)。
〖例〗根据下列条件,确定数列{an}的通项公式。
分析:
(1)可用构造等比数列法求解;
(2)可转化后利用累乘法求解;
(3)
将无理问题有理化,而后利用an与Sn的关系求解。
解答:
(1)
(2)
……
累乘可得,
故
(3)
二、等差数列及其前n项和
(一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,an-an-1=d(常数)(n≥2),第二种是利用等差中项,即2an=an+1+an-1(n≥2)。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断。
(1)通项法:
若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列;
(2)前n项和法:
若数列{an}的前n项和S是nS=nAn2+Bn的形式(A,B是常数),则{a}是n等
差数列。
注:
若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
1
〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2),a1=2
1
(1)
求证:
{
Sn
}是等差数列;
(2)求an的表达式。
分析:
(1)S
1
-Sn-1
+
2Sn
Sn-1
=0→1
Sn
1
与
Sn-1
的关系→结论;
(2)由
Sn
的关系式→Sn的关系式→an
11111
解答:
(1)等式两边同除以SnSn-1得S
-
n-1n
+2=0,即
Sn
-
Sn-1
=2(n≥2).∴{
Sn
}是以
11
==2为首项,以2为公差的等差数列。
S1a1
111
(2)由
(1)知
Sn
=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=
1
当n≥2时,
2n
⎧1(n=1)
11⎪2
an=2Sn·Sn-1=2n(n-1)。
又∵a1=2,不适合上式,故an=⎨1。
⎪
⎩2n(n-1)
(n≥2)
【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前n项和Sn满足2Sn=2pan2+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为
.
∵a1=1,∴2a1=2pa1+a1-p,即2=2p+1-p,得p=1.
于是2Sn=2an+an-1.
当n≥2时,有2Sn-1=2an-21+an-1-1,两式相减,得2an=2a2-2an-21+an-an-1,整理,得1
2(an+an-1)·(an-an-1-2)=0.
11n+1
又∵an>0,∴an-an-1=2,于是{an}是等差数列,故an=1+(n-1)·2=2.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a=a+(n-1)d及前n项和公式S=n(a1+an)=na
+
n(n-1)d,共涉及
n1n212
五个量a1,an,d,n,Sn,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
注:
因为Sn=dn+a-d=a+(n-1)d,故数列{Sn}是等差数列。
n21212n
〖例〗已知数列{x}的首项x=3,通项x=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x,x,x成等差数
n1n145
列。
求:
(1)p,q的值;
(2)数列{xn}的前n项和Sn的公式。
分析:
(1)由x1=3与x1,x4,x5成等差数列列出方程组即可求出p,q;
(2)通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:
(1)由x1=3得2p+q=3①
又x=24p+4q,x=25p+5q,且x+x=2x,得3+25p+5q=25p+8q②
45154
由①②联立得p=1,q=1。
(2)由
(1)得,xn=2n+n
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:
略
典型例题
1.等差数列{an}中,若Sn=25,S2n=100,则S3n=225;
2.(厦门)在等差数列{an}中,a2+a8=4,则其前9项的和S9等于(A)
A.18B27C36D9
3、(全国卷Ⅰ理)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=24
4、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C)(A)130(B)170(C)210(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列{a}和{b}的前n项和分别为A和B,且An=7n+45,则使得an为整
nn
数的正整数n的个数是(D)
nn+3bn
A.2B.3C.4D.5
6、在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=.
由an+1=2an+3,则有an+1+3=2(an+3),
an+1+3
即an+3=2.
所以数列{an+3}是以a1+3为首项、公比为2的等比数列,即an+3=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.
1
7、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为4的等差数列,则|m-n|的值等于.
如图所示,易知抛物线y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴x=1,它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
17
因为xA=4,则xD=4.
35
又|AB|=|BC|=|CD|,所以xB=4,xC=4.
17351
故|m-n|=|4×4-4×4|=2.
8、在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为.
设公差为d,则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,5
∴d=9.
∴数列{an}为递增数列.
532
令an≤0,∴-3+(n-1)·9≤0,∴n≤5,
∵n∈N*.
29
∴前6项均为负值,∴Sn的最小值为S6=-3.
6.
若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且满足Sn
+
=,则8=6.
7.(北京卷)(16)(本小题共13分)
已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0。
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
Tnn+3b8
(Ⅱ)若等差数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式
解:
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差d。
因为a3=-6,a6=0
⎧a1+2d=-6
所以⎨
⎩
a
1
+5d=0解得a1=-10,d=2
所以an=-10+(n-1)⋅2=2n-12
(Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为q
因为b2=a1+a2+a3=-24,b=-8
所以-8q=-24即q=3
b(1-qn)n
所以{bn}的前n项和公式为Sn=1=4(1-3)
1-q
★等差数列的最值:
若{an}是等差数列,求前n项和的最值时,
⎧an≥0
(1)
a≤0
若a1>0,d>0,且满足⎨,前n项和Sn最大;
⎩n+1
⎧an≤0
(2)
a≥0
若a1<0,d>0,且满足⎨,前n项和Sn最小;
⎩n+1
(3)除上面方法外,还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意n∈N*。
〖例〗已知数列{an}是等差数列。
(1)若am=n,an=m(m≠n),求am+n;
(2)若Sm=n,Sn=m(m>n),求Sm+n.
解答:
设首项为a1,公差为d,
n-m
(1)由am=n,an=m,d=m-n=-1
∴am+n=am+(m+n-m)d=n+n⨯(-1)=0.
⎧m=na+n(n-1)d⎧a=n2+m2+mn-m-n
12
解得⎨⎪1
mn.
(2)由已知可得⎨⎪n=ma+m(m-1)d
⎪d=-2(m+n)
⎪12⎪mn
∴Sm+n
=(m+n)a1
+(m+n)(m+n-1)d=-(m+n)
2
【例】已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,满足关系式2Sn=3an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
1
(2)设数列{bn}的通项公式是bn=log3an·log3an+1,前n项和为Tn,求证:
对于任意的正整数n,总有Tn<1.
(1)解①当n=1时,由2Sn=3an-3得,2a1=3a1-3,
∴a1=3.
②当n≥2时,由2Sn=3an-3得,2Sn-1=3an-1-3.
两式相减得:
2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,
∴an=3an-1,又∵a1=3≠0,∴{an}是等比数列,∴an=3n.
验证:
当n=1时,a1=3也适合an=3n.
∴{an}的通项公式为an=3n.
11
(2)证明∵bn=log3an·log3an+1=log33n·log33n+1111
=(n+1)n=n-n+1,
∴Tn=b1+b2+…+bn
11111
=(1-2)+(2-3)+…+(n-n+1)1
=1-n+1<1.
等差数列习题
Sn
1.设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,S7=7,S15=75,已知Tn为数列{n}的前n项数,求
Tn.
2.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=6,S3=12.
(1)求数列{an
}的通项公式;(2)求1+1
S1S2
1
++1.
Sn
12.解:
设数列{an}的公差为d,则Sn=na1+2n(n-1)d.
{){)
7a1+21d=7a1=-2
∵S7=7,S15=75,∴15a1+105d=75,∴d=1Sn11
∴n=a1+2·(n-1)d=-2+2·(n-1)
Sn+1Sn1Sn1
∴n+1-n=2∴数列{n}是等差数列,其首项为-2,公差为2,
n(n-1)119
∴Tn=n·(-2)+2·2=4n2-4n.
⎧a1+2d=6
14.解:
(1)设数列{an
}的公差为d,由题意得方程组⎪
⎨3a
+3⨯2
d=12
,解得
nn1n
⎧a1=2
⎩⎪12
⎩
⎨d=2
,∴数列{a}的通项公式为a=a+(n-1)d=2n,即a=2n.
(2)∵an
=2n,∴Sn
=n(a1+an)=n(n+1).
2
111111
∴+++
S1S2Sn
=+++
1⨯22⨯3n(n+1)
++
(-)+(-)++(-
1)=1-1.
1223nn1n1
B、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n项和
(一)等比数列的判定判定方法有:
(1)定义法:
若an+1=q(q为非零常数)an=常q(q数且n2≥),则{a}是等比数列;
a或为非零n
nan-1
(2)中项公式法:
若数列{an}中,an≠0且a2n+1=anan+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列;
(3)通项公式法:
若数列通项公式可写成an=cqn(c,q均为不为0的常数,n∈N*),则数列{a}n是等比数列;
(4)前n项和公式法:
若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列
{an}是等比数列;
注:
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定;
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*。
(1)证明数列{an-n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N*皆成立。
解答:
(1)由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*。
又a1-1=1,所以数列
{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列。
(2)由
(1)可知an-n=4n-1,于是数列{a}n的通项公式为a=4n-1+n。
所以数列{a}n的前n项
和Sn=
4n+1-1+
3
n(n+1)
。
2
(3)对任意的n∈N*,
4n+1-1(n+1)(n+2)4n-1n(n+1)12
Sn+1-4Sn=
+-4[+]=-(3n
+
n-4)≤0,所以不等式
32322
Sn+1≤4Sn对任意n∈N*皆成立。
(二)等比数列的的运算
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,显然,
“知三求二”,通常列方程(组)求解问题。
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
注:
在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。
〖例〗设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn;数列{an}为等差数列,且a6=14,a7=20。
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)
若c=ab(n∈N*),T为数列{c}的前n项和,求证:
T<7。
【放缩法】
nnnnnn2
2
解答:
(1)由bn=2-2Sn,得b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=
3
,由bn=2-2Sn①
得bn+1=2-2Sn+1②
②-①得b-b=-2b,∴
,∴{b}是以2为首项,以1为公比的等比
n+1nn+1n33
数列,所以b
=2·
(1)n。
n33
(2)∵{a}为等差数列,∴d=a7-a5=3,∴从而
n7-5
∴T=2[21+512+813++(3n-1)1n③
n(
)()()]
∴1T=2[2312+3513+3814++(3n3
1n+(3n-1
…………………④
3
3n()
③-④得
=
∴
()()
33
-
4)()
3
n+1
1)()]
3
∴
(三)等比数列性质的应用
★在等比数列中常用的性质主要有:
(1)对于任意的正整数若,则特别地,若
;
(2)对于任意正整数
有;
(3)若数列{a}是等比数列,则{ca(c≠0)},{a}{a2},⎧1⎫也是等比数列,若{b}是等比数列,
nnnn⎨⎩an⎭⎬n
则{anbn}也是等比数列;
(4)数列仍成等比数列;
(5)数列是等比数列(q≠-1);
★(6)等比数列的单调性
注:
等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。
1.(全国卷2理数)(4).如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+...+a7=
(A)14(B)21(C)28(D)35
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】a+a+a=3a=12,a=4,∴a+a++a=7(a1+a7)=7a=28
3454412724
2.
则
(辽宁理数)(6)设{a}是有正数组成的等比数列,Sn为其前n项和。
已知aa=1,S3=7S5=
n24
(A)
15
2(B)
31
4(C)
3317
4(D)2
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
1
【解析】由a2a4=1可得
a2q4=1
,因此
a1=1
q2
,又因为
S3=a1(1+q+q2)=7
,联力两式有
4-(1-1)
S=2531
(1+3)(1-2)=0
151-1=4
qq,所以q=2,所以2,
3.(辽宁卷)(14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=15。
⎧
解:
⎨
3=3a1
+3⨯2d=362⨯5
⎧a1=-1
解得⎨d=2
,∴a9=a1+8d=15.
⎪S=6a+d=24⎩
⎩2
4.(天津卷)(15)设{a}是等比数列,公比q=,S为{a}的前n项和。
记
T=17Sn-S2n,n∈N*.
naTTn
n+1设n0为数列{n}的最大项,则0=。
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题。
17a[1-
(2)n]a[1-
(2)2n]
1-1
1
(2)2n-17
(2)
n+16
n
T=1-
1-=
·
=
·
[
(2)n+-17]
(2)n+16
(2)n
因为≧8,当且仅当
=4,即n=4时取等号,所以当n=4时T有最大值。
0n
5.(上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*
{an-1}
(1)证明:
是等比数列;
(2)求数列{Sn}的通项公式,并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n.
a-1=5(a-1)
解析:
(1)当n=1时,a=-14;当n≥2时,a=S-S=-5a+5a+1,所以n6,
1nnn-1nn-1
又a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列;
⎛5⎫n-1⎛5⎫n-1⎛5⎫n-1
(2)由
(1)知:
an-1=-15⋅ç⎝6⎭⎪
an=1-15⋅ç⎪Sn=75⋅ç⎪+n-90
⎝⎭,从而⎝⎭(n∈N*);
⎛5⎫n-1<2
n>log52+1≈14.9
ç6⎪525
由Sn+1>Sn,得⎝⎭,6
【其他考点题】
,最小正整数n=15.
1、设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是
(C)
A.d<0B.a7=0
C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
解析:
由S50,又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,由S7>S8,得a8<0,而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0⇒2(a7+a8)>0,由题设a7=0,a8<0,显然C选项是错误
的。
2、lim1+2+3++n=(C)
n→∞n2
(A)2(B)4(C)1
2
(D)0
ac
3、已知a、b、c成等比数列,a、x、b和b、y、c都成等差数列,且xy≠0,那么+的值为(B)。
xy
(A)1(B)2(C)3(D)4
4、已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q(p,q∈R),n∈N
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,bn满足an=2log2bn,求