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等差等比数列知识点梳理及经典例题推荐文档

A、等差数列知识点及经典例题一、数列

由an与Sn的关系求an

由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段

n⎨S-S

函数的形式表示为a=⎧S1

⎩nn-1

（n=1）

（n≥2）。

〖例〗根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。

分析：

（1）可用构造等比数列法求解；

（2）可转化后利用累乘法求解；

（3）

将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。

解答：

（1）

（2）

……

累乘可得，

故

（3）

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，an-an-1=d（常数）（n≥2），第二种是利用等差中项，即2an=an+1+an-1（n≥2）。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：

若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；

（2）前n项和法：

若数列{an}的前n项和S是nS=nAn2+Bn的形式（A，B是常数），则{a}是n等

差数列。

注：

若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

1

〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn-Sn-1+2SnSn-1=0（n≥2）,a1=2

1

（1）

求证：

{

Sn

}是等差数列；

（2）求an的表达式。

分析：

（1）S

1

-Sn-1

+

2Sn

Sn-1

=0→1

Sn

1

与

Sn-1

的关系→结论；

（2）由

Sn

的关系式→Sn的关系式→an

11111

解答：

（1）等式两边同除以SnSn-1得S

-

n-1n

+2=0，即

Sn

-

Sn-1

=2（n≥2）.∴{

Sn

}是以

11

==2为首项，以2为公差的等差数列。

S1a1

111

（2）由

（1）知

Sn

=+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n,∴Sn=

1

当n≥2时，

2n

⎧1（n=1）

11⎪2

an=2Sn·Sn-1=2n（n-1）。

又∵a1=2，不适合上式，故an=⎨1。

⎪

⎩2n（n-1）

（n≥2）

【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pan2＋an－p（p∈R），则{an}的通项公式为

．

∵a1＝1，∴2a1＝2pa1＋a1－p，即2＝2p＋1－p，得p＝1.

于是2Sn＝2an＋an－1.

当n≥2时，有2Sn－1＝2an－21＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a2－2an－21＋an－an－1，整理，得1

2（an＋an－1）·（an－an－1－2）＝0.

11n＋1

又∵an>0，∴an－an－1＝2，于是{an}是等差数列，故an＝1＋（n－1）·2＝2.

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式a=a+（n-1）d及前n项和公式S=n（a1+an）=na

+

n（n-1）d，共涉及

n1n212

五个量a1，an，d,n,Sn,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：

因为Sn=dn+a-d=a+（n-1）d，故数列{Sn}是等差数列。

n21212n

〖例〗已知数列{x}的首项x=3，通项x=2np+nq（n∈N*,p,q为常数），且x，x，x成等差数

n1n145

列。

求：

（1）p,q的值；

（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。

分析：

（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；

（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：

（1）由x1=3得2p+q=3①

又x=24p+4q,x=25p+5q,且x+x=2x，得3+25p+5q=25p+8q②

45154

由①②联立得p=1,q=1。

（2）由

（1）得，xn=2n+n

（三）等差数列的性质

1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：

略

典型例题

1．等差数列{an}中,若Sn=25,S2n=100，则S3n=225；

2.（厦门）在等差数列{an}中，a2+a8=4,则其前9项的和S9等于（A）

A．18B27C36D9

3、（全国卷Ⅰ理）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=72,则a2+a4+a9=24

4、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）（A）130（B）170（C）210（D）160

5.（湖北卷）已知两个等差数列{a}和{b}的前n项和分别为A和B，且An=7n+45，则使得an为整

nn

数的正整数n的个数是（D）

nn+3bn

A．2B．3C．4D．5

6、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3（n≥1），则该数列的通项an＝.

由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2（an＋3），

an＋1＋3

即an＋3＝2.

所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.

1

7、已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为4的等差数列，则|m－n|的值等于．

如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.

17

因为xA＝4，则xD＝4.

35

又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝4，xC＝4.

17351

故|m－n|＝|4×4－4×4|＝2.

8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为．

设公差为d，则11（－3＋4d）＝5（－3＋7d）－13，5

∴d＝9.

∴数列{an}为递增数列．

532

令an≤0，∴－3＋（n－1）·9≤0，∴n≤5，

∵n∈N*.

29

∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－3.

6.

若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且满足Sn

+

=，则8=6.

7．（北京卷）（16）（本小题共13分）

已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0。

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

Tnn+3b8

（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式

解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。

因为a3=-6,a6=0

⎧a1+2d=-6

所以⎨

⎩

a

1

+5d=0解得a1=-10,d=2

所以an=-10+（n-1）⋅2=2n-12

（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q

因为b2=a1+a2+a3=-24,b=-8

所以-8q=-24即q=3

b（1-qn）n

所以{bn}的前n项和公式为Sn=1=4（1-3）

1-q

★等差数列的最值：

若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，

⎧an≥0

（1）

a≤0

若a1>0,d>0,且满足⎨，前n项和Sn最大；

⎩n+1

⎧an≤0

（2）

a≥0

若a1<0,d>0，且满足⎨，前n项和Sn最小；

⎩n+1

（3）除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*。

〖例〗已知数列{an}是等差数列。

（1）若am=n,an=m（m≠n）,求am+n;

（2）若Sm=n,Sn=m（m>n）,求Sm+n.

解答：

设首项为a1，公差为d，

n-m

（1）由am=n,an=m，d=m-n=-1

∴am+n=am+（m+n-m）d=n+n⨯（-1）=0.

⎧m=na+n（n-1）d⎧a=n2+m2+mn-m-n

12

解得⎨⎪1

mn.

（2）由已知可得⎨⎪n=ma+m（m-1）d

⎪d=-2（m+n）

⎪12⎪mn

∴Sm+n

=（m+n）a1

+（m+n）（m+n-1）d=-（m+n）

2

【例】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.

（1）求数列{an}的通项公式；

1

（2）设数列{bn}的通项公式是bn＝log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：

对于任意的正整数n，总有Tn<1.

（1）解①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，

∴a1＝3.

②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，2Sn－1＝3an－1－3.

两式相减得：

2（Sn－Sn－1）＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，

∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.

验证：

当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.

∴{an}的通项公式为an＝3n.

11

（2）证明∵bn＝log3an·log3an＋1＝log33n·log33n＋1111

＝（n＋1）n＝n－n＋1，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11111

＝（1－2）＋（2－3）＋…＋（n－n＋1）1

＝1－n＋1<1.

等差数列习题

Sn

1.设｛an｝为等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛n｝的前n项数，求

Tn．

2.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=6,S3=12．

（１）求数列{an

}的通项公式；（２）求1+1

S1S2

1

++1．

Sn

12.解：

设数列｛an｝的公差为d，则Sn＝na1＋2n（n－1）d．

{）{）

7a1＋21d＝7a1＝－2

∵S7＝7，S15＝75，∴15a1＋105d＝75，∴d＝1Sn11

∴n＝a1＋2·（n－1）d＝－2＋2·（n－1）

Sn+1Sn1Sn1

∴n＋1－n＝2∴数列｛n｝是等差数列，其首项为－2，公差为2，

n（n－1）119

∴Tn＝n·（－2）＋2·2＝4n2－4n．

⎧a1+2d=6

14.解：

（１）设数列{an

}的公差为ｄ，由题意得方程组⎪

⎨3a

+3⨯2

d=12

，解得

nn1n

⎧a1=2

⎩⎪12

⎩

⎨d=2

，∴数列{a}的通项公式为a=a+（n-1）d=2n，即a=2n．

（２）∵an

=2n，∴Sn

=n（a1+an）=n（n+1）．

2

111111

∴+++

S1S2Sn

=+++

1⨯22⨯3n（n+1）

++

（-）+（-）++（-

1）=1-1．

1223nn1n1

B、等比数列知识点及练习题

等比数列及其前n项和

（一）等比数列的判定判定方法有：

（1）定义法：

若an+1=q（q为非零常数）an=常q（q数且n2≥），则{a}是等比数列；

a或为非零n

nan-1

（2）中项公式法：

若数列{an}中，an≠0且a2n+1=anan+2（n∈N*），则数列{an}是等比数列；

（3）通项公式法：

若数列通项公式可写成an=cqn（c,q均为不为0的常数，n∈N*），则数列{a}n是等比数列；

（4）前n项和公式法：

若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k（k为常数且k≠0,q≠0,1），则数列

{an}是等比数列；

注：

（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；

（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。

〖例〗在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*。

（1）证明数列{an-n}是等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn；

（3）证明不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N*皆成立。

解答：

（1）由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-（n+1）=4（an-n）,n∈N*。

又a1-1=1,所以数列

{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列。

（2）由

（1）可知an-n=4n-1，于是数列{a}n的通项公式为a=4n-1+n。

所以数列{a}n的前n项

和Sn=

4n+1-1+

3

n（n+1）

。

2

（3）对任意的n∈N*，

4n+1-1（n+1）（n+2）4n-1n（n+1）12

Sn+1-4Sn=

+-4[+]=-（3n

+

n-4）≤0，所以不等式

32322

Sn+1≤4Sn对任意n∈N*皆成立。

（二）等比数列的的运算

等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，显然，

“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。

解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

注：

在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。

〖例〗设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a6=14,a7=20。

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）

若c=ab（n∈N*），T为数列{c}的前n项和，求证：

T<7。

【放缩法】

nnnnnn2

2

解答：

（1）由bn=2-2Sn，得b1=2-2S1，又S1=b1，所以b1=

3

，由bn=2-2Sn①

得bn+1=2-2Sn+1②

②-①得b-b=-2b，∴

，∴{b}是以2为首项，以1为公比的等比

n+1nn+1n33

数列，所以b

=2·

（1）n。

n33

（2）∵{a}为等差数列，∴d=a7-a5=3，∴从而

n7-5

∴T=2[21+512+813++（3n-1）1n③

n（

）（）（）]

∴1T=2[2312+3513+3814++（3n3

1n+（3n-1

…………………④

3

3n（）

③-④得

=

∴

（）（）

33

-

4）（）

3

n+1

1）（）]

3

∴

（三）等比数列性质的应用

★在等比数列中常用的性质主要有：

（1）对于任意的正整数若，则特别地，若

；

（2）对于任意正整数

有；

（3）若数列{a}是等比数列，则{ca（c≠0）},{a}{a2},⎧1⎫也是等比数列，若{b}是等比数列，

nnnn⎨⎩an⎭⎬n

则{anbn}也是等比数列；

（4）数列仍成等比数列；

（5）数列是等比数列（q≠-1）；

★（6）等比数列的单调性

注：

等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。

1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+...+a7=

（A）14（B）21（C）28（D）35

【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】a+a+a=3a=12,a=4,∴a+a++a=7（a1+a7）=7a=28

3454412724

2.

则

（辽宁理数）（6）设{a}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。

已知aa=1,S3=7S5=

n24

（A）

15

2（B）

31

4（C）

3317

4（D）2

【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。

1

【解析】由a2a4=1可得

a2q4=1

，因此

a1=1

q2

，又因为

S3=a1（1+q+q2）=7

，联力两式有

4-（1-1）

S=2531

（1+3）（1-2）=0

151-1=4

qq，所以q=2,所以2，

3.（辽宁卷）（14）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=15。

⎧

解：

⎨

3=3a1

+3⨯2d=362⨯5

⎧a1=-1

解得⎨d=2

，∴a9=a1+8d=15.

⎪S=6a+d=24⎩

⎩2

4.（天津卷）（15）设{a}是等比数列，公比q=，S为{a}的前n项和。

记

T=17Sn-S2n,n∈N*.

naTTn

n+1设n0为数列{n}的最大项，则0=。

【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

17a[1-

（2）n]a[1-

（2）2n]

1-1

1

（2）2n-17

（2）

n+16

n

T=1-

1-=

·

=

·

[

（2）n+-17]

（2）n+16

（2）n

因为≧8，当且仅当

=4，即n=4时取等号，所以当n=4时T有最大值。

0n

5.（上海卷）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*

{an-1}

（1）证明：

是等比数列；

（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n.

a-1=5（a-1）

解析：

（1）当n=1时，a=-14；当n≥2时，a=S-S=-5a+5a+1，所以n6，

1nnn-1nn-1

又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；

⎛5⎫n-1⎛5⎫n-1⎛5⎫n-1

（2）由

（1）知：

an-1=-15⋅ç⎝6⎭⎪

an=1-15⋅ç⎪Sn=75⋅ç⎪+n-90

⎝⎭，从而⎝⎭（n∈N*）；

⎛5⎫n-1<2

n>log52+1≈14.9

ç6⎪525

由Sn+1>Sn，得⎝⎭，6

【其他考点题】

，最小正整数n=15．

1、设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论错误的是

（C）

A.d＜0B.a7＝0

C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值

解析：

由S50，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>0⇒2（a7+a8）>0，由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误

的。

2、lim1+2+3++n＝（C）

n→∞n2

（A）2（B）4（C）1

2

（D）0

ac

3、已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么+的值为（B）。

xy

（A）1（B）2（C）3（D）4

4、已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q（p,q∈R）,n∈N

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求