高二数学综合习题.docx

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高二数学综合习题

“新起点教育”统一备课纸

教师

科目

时间

2016年7月日

学生

罗文彬

年级

课题

强化点

1

2

3

针对此学生的教学操作过程设计

专题一　函数、不等式及导数的应用

真题体验·引领卷

一、选择题

1．（2015·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1，0}B．{0，1}

C．{－1，0，1}D．{0，1，2}

2．（2015·全国卷Ⅰ）设命题p：

∃n∈N，n2>2n，则綈p为（　　）

A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n

3．（2015·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（　　）

A．3B．6C．9D．12

4．（2015·山东高考）已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝（　　）

A．3B．2C．－2D．－3

5．（2015·全国卷Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（0，1）

B．（－1，0）∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（－1，0）

D．（0，1）∪（1，＋∞）

6．（2015·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

二、填空题

7．（2015·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则实数a＝________．

8．（2015·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件则的最大值为________．

9．（2015·湖南高考）已知函数f（x）＝若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，则a的取值范围是________．

三、解答题

10．（2015·北京高考）已知函数f（x）＝ln.

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求证：

当x∈（0，1）时，f（x）>2；

（3）设实数k使得f（x）>k对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．

11.（2015·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝emx＋x2－mx.

（1）证明：

f（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f（x1）－f（x2）|≤e－1，求m的取值范围．

12．（2015·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝x3＋ax＋，g（x）＝－lnx.

（1）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数．

经典模拟·演练卷

一、选择题

1．（2015·济南模拟）已知集合P＝{1，m}，Q＝{1，3，5}，则“m＝5”是“P⊆Q”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．（2015·西安模拟）已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝3x－1，则f＝（　　）

A.＋1B.－1

C．－－1D．－＋1

3．（2015·安徽“江南十校”联考）已知向量a＝（3，－2），b＝（x，y－1），且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是（　　）

A.B.C．8D．24

4．（2015·潍坊三模）当a>0时，函数f（x）＝（x2＋2ax）ex的图象大致是（　　）

5．（2015·东北三省四市联考）在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（　　）

A.B.C.D.

6．（2015·郑州模拟）函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：

①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y＝f（x）的k级“理想区间”．

下列结论错误的是（　　）

A．函数f（x）＝－x2（x∈R）存在1级“理想区间”

B．函数f（x）＝ex（x∈R）不存在2级“理想区间”

C．函数f（x）＝（x≥0）存在3级“理想区间”

D．函数f（x）＝loga（a>0，a≠1）不存在4级“理想区间”

二、填空题

7．（2015·保定联考）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．

8．（2015·西安八校联考）已知函数f（x）＝

若关于x的不等式f（x）≥m2－m有解，则实数m的取值范围是________．

9．（2015·郑州调研）曲线C：

y＝在点B处的切线为l，则曲线C、直线l与x轴所围成的几何图形的面积是________．

三、解答题

10．（2015·唐山质量检测）已知函数f（x）＝aex＋x2，g（x）＝sin＋bx.直线l与曲线y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线y＝g（x）切于点（1，g

（1））．

（1）求a，b的值和直线l的方程；

（2）证明：

f（x）>g（x）．

11．（2015·日照模拟）设函数f（x）＝x2＋ax－lnx（a∈R）．

（1）当a＝3时，求函数f（x）的极值；

（2）当a>1时，讨论函数f（x）的单调性；

12．（2015·西安模拟）设函数f（x）＝（x＋a）lnx，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线2x－y＝0平行．

（1）求a的值；

（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？

如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

（3）设函数m（x）＝min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

20．（本小题满分12分）（2015·广东高考）设a>1，函数f（x）＝（1＋x2）ex－a.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：

f（x）在（－∞，＋∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y＝f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：

m≤－1.

参考答案

第一部分　专题集训

专题一　函数、不等式及导数的应用

真题体验·引领卷

1．A　[由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<0}＝{x|－2

2．C　[量词“∃”改为“∀”；“n2>2n”改为“n2≤2n”，

∴綈p为“∀n∈N，n2≤2n”．]

3．C　[∵f（－2）＝1＋log24＝1＋2＝3，f（log212）＝2log212－1＝6.

∴f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9.]

4．B　[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A（2，0），由得B（1，1）．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O（0，0）处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A（2，0）处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，只有B项满足．]

5．A　[因为f（x）（x∈R）为奇函数，f（－1）＝0，所以f

（1）＝－f（－1）＝0.当x≠0时，令g（x）＝，则g（x）为偶函数，且g

（1）＝g（－1）＝0.当x>0时，g′（x）＝′＝<0，故g（x）在（0，＋∞）上为减函数，在（－∞，0）上为增函数．所以在（0，＋∞）上，当0g

（1）＝0⇔>0⇔f（x）>0；在（－∞，0）上，当x<－1时，g（x）0.]

6．D　[由题意可知存在唯一的整数x0，使得ex0（2x0－1）－时，g′（x）>0，所以当x＝－时，[g（x）]min＝－2e－.∵h（x）＝a（x－1）恒过定点（1，0），且g

（1）＝e>0在同一坐标系中作出y＝g（x）与y＝h（x）的大致图象．结合图象，应有则解之得≤a<1.故实数a的取值范围是.]

7．1　[f（x）为偶函数，则ln（x＋）为奇函数，所以ln（x＋）＋ln（－x＋）＝0，即ln（a＋x2－x2）＝0，则lna＝0，a＝1.]

8．3　[作出不等式组表示的平面区域（如图），易知的最大值为kOA＝3.]

9．（－∞，0）∪（1，＋∞）　[若0≤a≤1时，函数f（x）＝在R上递增，其与直线y＝b至多有一个公共点，若a>1或a<0时，由图象知y＝f（x）－b存在b使之有两个零点，故a∈（－∞，0）∪（1，

＋∞）．]

10．

（1）解　因为f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），

f′（x）＝＋，f′（0）＝2.

又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x.

（2）证明　令g（x）＝f（x）－2，

则g′（x）＝f′（x）－2（1＋x2）＝.

因为g′（x）>0（0

所以g（x）>g（0）＝0，x∈（0，1），

即当x∈（0，1）时，f（x）>2.

（3）解　由

（2）知，当k≤2时，f（x）>k对x∈（0，1）恒成立．

当k>2时，令h（x）＝f（x）－k，

则h′（x）＝f′（x）－k（1＋x2）＝.

所以当0

因此函数h（x）在区间上单调递减．

故当0

所以当k>2时，f（x）>k并非对x∈（0，1）恒成立．

综上可知，k的最大值为2.

11．

（1）证明　f′（x）＝m（emx－1）＋2x.

若m≥0，则当x∈（－∞，0）时，emx－1≤0，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，emx－1≥0，f′（x）>0.

若m<0，则当x∈（－∞，0）时，emx－1>0，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，emx－1<0，f′（x）>0.

所以，f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．

（2）解　由

（1）知，对任意的m，f（x）在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f（x）在x＝0处取得最小值．

所以对于任意x1，x2∈[－1，1]时，|f（x1）－f（x2）|≤e－1的充要条件是即①

设函数g（t）＝et－t－e＋1，则g′（t）＝et－1.

当t<0时，g′（t）<0；当t>0时，g′（t）>0.故g（t）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．

又g

（1）＝0，g（－1）＝e－1＋2－e<0，故当t∈[－1，1]时，g（t）≤0.

当m∈[－1，1]时，g（m）≤0，g（－m）≤0，即①式成立；

当m>1时，由g（t）的单调性，g（m）>0，即em－m>e－1；

当m<－1时，g（－m）>0，即e－m＋m>e－1.

综上，m的取值范围是[－1，1]．

12．解　

（1）设曲线y＝f（x）与x轴相切于点（x0，0），则f（x0）＝0，

f′（x0）＝0.即解得

因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f（x）的切线．

（2）当x∈（1，＋∞）时，g（x）＝－lnx<0，从而h（x）＝

min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，故h（x）在（1，＋∞）上无零点．

当x＝1时，若a≥－，

则f

（1）＝a＋≥0，h

（1）＝

min{f

（1），g

（1）}＝g

（1）＝0，故x＝1是h（x）的零点；

若a<－，则f

（1）<0，h

（1）＝min{f

（1），g

（1）}＝f

（1）<0，故x＝1不是h（x）的零点．当x∈（0，1）时，g（x）＝－lnx>0.

所以只需考虑f（x）在（0，1）上的零点个数．

（ⅰ）若a≤－3或a≥0，则f′（x）＝3x2＋a在（0，1）上无零点，故f（x）在（0，1）上单调．而f（0）＝，f

（1）＝a＋，所以当a≤－3时，f（x）在（0，1）上有一个零点；当a≥0时，f（x）在（0，1）上没有零点．

（ⅱ）若－3

故在（0，1）内，当x＝时，f（x）取得最小值，且最小值为

f＝＋.

①若f>0，即－

②若f＝0，即a＝－，则f（x）在（0，1）上有唯一零点；

③若f<0，即－3

（1）＝a＋.

所以当－

综上，当a>－或a<－时，h（x）有一个零点；当a＝－或a＝－时，h（x）有两个零点；当－