考研高等数学模拟题库含答案解析.docx
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考研高等数学模拟题库含答案解析
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：
__________姓名：
__________班级：
__________考号：
__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．设,求常数,的值.
解：
要使成立，则,即
又
得
2．证明:
证:
（1）由得
解方程得,
因为,所以,
所以的反函数是
（2）由得,得;
又由得,
所以函数的反函数为
3．若,证明,并举反例说明反之不一定成立.
证:
由极限的定义知,,当时,恒有.
而
当时,恒有,
由极限的定义知
但这个结论的逆不成立.如但不存在.
4．解:
因为
由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是
且
解得.
5．设在上连续，且，证明：
至少存在一点，使.
证：
令,则在上连续，且
若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即.
综上所述，至少存在一点，使.
6．若，求.
解：
令，则
即
7．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为：
求：
⑴物体从t=1（s）到t=1.2（s）的平均速度：
解：
⑵速度函数v（t）；
解：
.
⑶物体何时到达最高.
解：
令,得,
即物体到达最高点的时刻为
8．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]内，转过角度，从而转角是t的函数：
.如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻的角速度？
解：
设此角速度值为,则
.
9．设表示重1单位的金属从加热到所吸收的热量，当金属从升温到时，所需热量为与之比称为到的平均比热，试解答如下问题：
⑴如何定义在时，金属的比热；
解：
⑵当（其中a,b均为常数）时，求比热.
解：
.
10．求下列函数在给定点处的导数：
⑴求；
解：
⑵求和；
解：
⑶求.
解：
故
11．求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：
;
解：
令，则得
分离变量，得
积分得
即
得方程通解为
以x=0，y=1代入上式得c=1.
故所求特解为.
.
解：
设，则
原方程可变为
积分得.
得方程通解为
以x=1，y=2代入上式得c=e2.
故所求特解为.
12．下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？
有没有满足定理结论中的？
⑴；
⑵；
⑶
解：
⑴在上不连续，不满足罗尔定理的条件.而，即在（0，1）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.
⑵
不存在，即在区间内不可导，不满足罗尔定理的条件.
而
即在（0，2）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.
⑶因,且在区间上不连续，不满足罗尔定理的条件.
而,取，使.有满足罗尔定理结论的.
故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.
13．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
;
解：
由得代入方程得
故是方程的解.
;
解：
代入方程得.
故是方程的解.
;
解：
代入方程得.
故不是方程的解.
解：
代入方程得
故是方程的解.
14．作出下列函数的图形：
；
解：
函数的定义域为（－∞，+∞）,且为奇函数,
令，可得，
令，得x=0，,
列表讨论如下：
x
0
（0，1）
1
（1，）
（，+∞）
y′
+
0
－
－
－
y″
0
－
－
－
0
+
y
0
极大
拐点
当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.
函数有极大值，极小值，有3个拐点，分别为（0，0），
，作图如上所示.
（2）f（x）=x－2arctanx
解：
函数定义域为（－∞，+∞），且为奇函数,
令y′=0，可得x=±1，
令y″=0，可得x=0.
列表讨论如下：
X
0
（0，1）
1
（1，∞）
y′
－
0
+
y″
0
+
+
Y
0
极小
又
且
故是斜渐近线，由对称性知亦是渐近线.函数有极小值，极大值.（0，0）为拐点.作图如上所示.
；
解：
函数的定义域为.
令得x=0，x=－2
当时，单调增加；
当时，单调减少；
当时，单调减少；
当时，单调增加,
故函数有极大值f（－2）=－4，有极小值f（0）=0
又，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.
又因，且，
故曲线另有一斜渐近线y=x－1.
综上所述，曲线图形为：
（4）.
解：
函数定义域为（－∞，+∞）.
令，得x=1.
令，得.
当时，函数单调增加；
当时，函数单调减少；
当时，，曲线是凹的；
当时，，曲线是凸的,
故函数有极大值f
（1）=1，两个拐点：
，
又，故曲线有水平渐近线y=0.
图形如下：
15．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x,y）处的切线斜率为2x－2，求该曲线方程.
解：
依题意知：
两边积分，有
又x=1时，y=0代入上式得c=1，故所求曲线方程为.
16．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：
;
解：
原式=
验证：
所以，结论成立.
;
解：
原式=
验证：
所以，结论成立.
;
解：
原式=.
验证：
所以，结论正确.
;
解：
原式=
验证：
所以，结论正确.
;
解：
所以，原式=
验证：
故结论成立.
;
解：
原式=
验证：
.
故结论成立.
;
解：
原式=
验证：
所以，结论成立.
;
解：
原式=
验证：
所以，原式成立.
;
解：
原式=
验证：
故结论成立.
（n>1，且为正整数）.
解：
故
验证：
故结论成立.
17．已知，求：
解：
（1）原式=
解：
18．已知电压u（t）=3sin2t，求
（1）u（t）在上的平均值；
解：
（2）电压的均方根值.
解：
均方根公式为
故
19．
（1）解：
相当于级数中
当时收敛，时，发散.
从而当时，收敛，时，发散.
从而的收敛域为
从而的收敛域为.
（2）解：
当时，收敛，则收敛.
当时，发散，
当时，收敛.（莱布尼兹型级数）
20．求下列函数的傅里叶积分：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
21．求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.
解：
22．设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：
，其中P（x,y）在L上连续．
证：
L：
，起点参数为x=a，终点参数为x=b．
故
23．求下列伯努利方程的通解：
解：
令，则有
即为原方程通解.
.
解：
令.
即为原方程通解.
24．计算抛物线y=4x－x2在它的顶点处的曲率.
解：
y=－（x－2）2+4，故抛物线顶点为（2，4）
当x=2时，，
故
25．利用全微分代替全增量，近似计算：
（1）（1.02）3·（0.97）2;
（2）;
（3）（1.97）1.05.
解：
（1）设f（x,y）=x3·y2，则
故df（x,y）=3x2y2dx+2x3ydy=xy（3xydx+2x2dy）
取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则
（1.02）3·（0.97）2=f（1.02,0.97）≈f（1,1）+df（1,1）
=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×（-0.03）]=1.
（2）设f（x,y）=,则
故
取,则
（3）设f（x,y）=xy,则df（x,y）=yxy-1dx+xylnxdy，
取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则
26．设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解：
a=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k
在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
27．已知向量a和b互相垂直，且.计算：
（1）|（a＋b）×（a－b）|；
（2）|（3a＋b）×（a－2b）|.
（1）
（2）
28．解：
设四面体的底为，从点到底面的高为，则
，
而
又所在的平面方程为:
则
故
29．确定下列方程中的l和m:
（1）平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;
（2）平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.
解：
（1）n1={2,l,3},n2={m,-6,-1}
（2）n1={3,-5,l},n2={1,3,2}
30．求点（3，-1，2）到直线的距离.
解：
过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量
即
故过已知点的平面方程为y+z=1.
联立方程组
解得
即为平面与直线的垂足
于是点到直线的距离为
31．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
解：
球的半径为
设（x,y,z）为球面上任一点，则（x-1）2+（y-3）2+（z+2）2=14
即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
32．指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：
（1）;
（2）;
（3）;（4）;
（5）.
解：
（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13.
（2）顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.
图7-13图7-14
（3）以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.
（4）单叶双曲面，如图7-16.
图7-15图7-16
（5）顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z轴，如图7-17.
图7-17
33．建立曲线x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.
解：
以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为
x2+y2=x+1即.
故曲线在xOy平面上的投影方程为
34．设,求.
解:
35．求下列各极限：
解：
（1）原式=
（2）原式=+∞.
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
36．一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解：
设此向量的起点A的坐标A（x,y,z），则
解得x=-2,y=3,z=0
故A的坐标为A（-2,3,0）.
37．解：
设水池的长宽深分别为
则有:
精确值为：
近似值为:
38．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
（1）求：
（2）求：
（3）其中f,g具有连续偏导数函数，求
（4）求
解：
（1）原方程组变为
方程两边对x求导，得
当
（2）设
故
（3）设
则
故
（4）是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得
整理得
解得
方程组两边对y求导得
整理得
解得
39．求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。
解：
的方向余弦为
故
40．求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。
解：
设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的
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