《指数函数》高中数学教案.docx
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《指数函数》高中数学教案
《指数函数》高中数学教案
《指数函数》高中数学教案1
一.教材分析
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质之后系统学习的第一个函数，为今后进一步熟悉函数的性质和应用，进一步研究等比数列的性质打下坚实的基础.因此本节课的内容是至关重要的.它对知识起到了承上启下的作用。
二.学情分析
根据这几年的教学我发现学生在后面学习中一遇到指对数问题就发蒙,原因是什么呢?
问题就出在学生刚刚学完函数的性质，应用又是初中比较熟悉的一次二次函数。
一下子出现了一个非常陌生的函数而且需要记很多性质。
学生感觉很吃力，也就没有了兴趣，当然就学不好了。
三.教学目标
1.知识与技能:
（1）掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.
（2）能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.（3）能根据单调性解决基本的比较大小的问题.
2.过程与方法：
引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是
，的性质。
3.情感、态度、价值观：
使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.
四.教学重点与难点
教学重点：
指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：
如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
五：
教法：
探究式教学法通过学生自主探索、合作学习，让学生成为学习的主人，加深对所得结论的理解
六.教学过程：
（一）创设情景、提出问题
师：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，能写出x与y之间的函数关系式吗?
生：
y与x之间的关系式，可以表示为（）
师：
有1根长1米的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为y米，试写出y与x之间的函数关系式。
生：
（）
（二）师生互动、探究新知
1.指数函数的定义
⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：
①（）和（）这两个解析式有什么共同特征?
②它们能否构成函数?
③是我们学过的哪个函数?
如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成的形式。
自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。
对于底数的分类，可将问题分解为：
①若会有什么问题?
（如，则在实数范围内相应的函数值不存在）
②若会有什么问题?
（对于，都无意义）
为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数?
教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如，，。
这样设计的目的是学生可能存在对指数函数形式上的一种误解，即只看指数位置是否为自变量。
通过以上的三个小例子，学生就完成对指数函数彻底的认识，解决的问题。
2.指数函数性质
⑴提出两个问题
①目前研究函数一般可以包括哪些方面;
可以从图象和解析式列表这三个不同的角度进行研究;可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）;当然也可以用列表法研究函数，
⑵分组活动，合作学习
让学生分为三大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数;一组借助列表利用计算器和坐标网格研究指数函数;
⑶交流、总结
教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。
这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质?
（4）交换角色
请同学们交换任务，检查一下你能否发现别人没有发现的性质。
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。
通过这一环节，可以使学生对指数函数的性质得到自然、完善的整合，这个过程中，学生时主动的投入到学习中去，体现了教改“以学生为主，教师为辅”的思想。
加深的学生对所得结论的理解，也培养了学生数形结合的思想。
（三）巩固训练、提升能力
例1：
已知指数函数的图象经过点，求的值。
解：
因为的图象经过点，所以
即，解得，于是。
所以。
例2.利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7a与1.7a+1
（2）0.8-0.1与0.8-0.2
（3）已知（4/7）a>（4/7）b,比较a,b的大小.
练习：
⑴在同一平面直角坐标系中画出和的大致图象，并说出这两个函数的性质;
⑵求下列函数的定义域：
①，②。
七：
小结
通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识?
你有什么收获?
八：
作业：
课本93页习题3-1A组第4题。
九：
板书设计：
《指数函数》高中数学教案2
教学目标：
1.进一步理解指数函数的性质;
2.能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题;
教学重点：
指数函数的性质的应用;
教学难点：
指数函数图象的平移变换.
教学过程：
一、情境创设
1.复习指数函数的概念、图象和性质
练习：
函数y=ax（a0且a1）的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为.若a1，则当x0时，y1;而当x0时，y
1.若00时，y1;而当x0时，y1.
2.情境问题：
指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢?
我们知道对任意的a0且a1，函数y=ax的图象恒过（0，1），那么对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过哪一个定点呢?
二、数学应用与建构
例1解不等式：
（1）;
（2）;
（3）;（4）.
小结：
解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围.
例2说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）;
（2）;（3）;（4）.
小结：
指数函数的平移规律：
y=f（x）左右平移y=f（x+k）（当k0时，向左平移，反之向右平移），上下平移
y=f（x）+h（当h0时，向上平移，反之向下平移）.
练习：
（1）将函数f（x）=3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数的图象.
（2）将函数f（x）=3x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数的图象.
（3）将函数图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是.
（4）对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过的定点的坐标是.函数y=a2x—1的图象恒过的定点的坐标是.
小结：
指数函数的定点往往是解决问题的突破口!
定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口.
（5）如何利用函数f（x）=2x的图象，作出函数y=2x和y=2x2的图象?
（6）如何利用函数f（x）=2x的图象，作出函数y=2x—1的图象?
小结：
函数图象的对称变换规律.
例3已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x0时，f（x）=1—2x，试画出此函数的图象.
例4求函数的最小值以及取得最小值时的x值.
小结：
复合函数常常需要换元来求解其最值.
练习：
（1）函数y=ax在【0，1】上的最大值与最小值的和为3，则a等于;
（2）函数y=2x的值域为;
（3）设a0且a1，如果y=a2x+2ax—1在【—1，1】上的最大值为14，求a的值;
（4）当x0时，函数f（x）=（a2—1）x的值总大于1，求实数a的取值范围.
三、小结
1.指数函数的性质及应用;
2.指数型函数的定点问题;
3.指数型函数的草图及其变换规律.
四、作业：
课本P55—6，7.
五、课后探究
（1）函数f（x）的定义域为（0，1），则函数的定义域为。
（2）对于任意的x1，x2R，若函数f（x）=2x，试比较的大小。
《指数函数》高中数学教案3
教材分析：
“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的.作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础.指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究.
学情分析：
通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想.另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会.
教学目标：
知识与技能：
理解指数函数的概念和意义，能正确作出其图象，掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、中介值）比较大小.
过程与方法：
（1）
（2）从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质.
情感、态度与价值观：
（1）体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣;
（2）让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣。
教学重点：
指数函数的图象和性质
教学难点：
指数函数概念的引入及指数函数性质的应用
教法研究：
利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想，本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的.性质，这样便于学生研究其变化规律，理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法
同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题，帮助学生理解新只是。
教学过程：
一、问题情境：
问题1：
某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么?
问题2：
一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的，设该物质的初始质量为1，经过年后的剩余质量为，你能写出
之间的函数关系式吗?
分析可知，函数的关系式分别是与
这就需要对函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数.
二、数学建构：
1】定义：
一般地，函数叫做指数函数，其中.
问题4：
为什么规定?
问题5：
你能举出指数函数的例子吗?
阅读材料（“放射性碳法”测定古物的年代）：
在动植物体内均含有微量的放射性，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不在产生，且原有的会自动衰变.经过5740年（
的半衰期），它的残余量为原来的一半.经过科学测定，若的原始含量为1，则经过x年后的残留量为=.
这种方法经常用来推算古物的年代.
练习1：
判断下列函数是否为指数函数.
（1）
（2）
（3）（4）
说明：
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k（a>0且a1，kZ）;
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=（a>0，且a1），因为它可以化为y=，其中>0，且1
2】通过图象探究指数函数的性质及其简单应用：
利用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成
问题6：
我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质?
一般如何去研究?
函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等;
利用函数图象研究函数的性质
问题7：
作函数图象的一般步骤是什么?
列表，描点，作图
探究活动1：
用列表描点法作出，的图像（借助几何画板演示），观察、比较这两个函数的图像，我们可以得到这两个函数哪些共同的性质?
请同学们仔细观察.
引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质（底数大于1）：
（1）定义域?
R
（2）值域?
函数的值域为
（3）过哪个定点?
恒过点，即
（4）单调性?
时，为上的增函数
（5）何时函数值大于1?
小于1?
当时，;当时，
问题8：
：
是否所有的指数函数都是这样的性质?
你能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗?
（引导学生自我分析和反思，培养学生的反思能力和解决问题的能力）.
根据学生的发现，再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.
问题9：
到现在，你能自制一份表格，比较及两种不同情况下的图象和性质吗?
（学生完成表格的设计，教师适当引导）
《指数函数》高中数学教案4
一、教学目标：
知识与技能：
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
过程与方法：
通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。
领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观：
在指数函数的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教学重点、难点：
教学重点：
指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：
对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
三、教学过程：
（一）创设情景
问题1：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，能写出x与y之间的函数关系式吗?
学生回答：
y与x之间的关系式，可以表示为y=2x。
问题2：
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%。
求出这种物质的剩留量随时间（单位：
年）变化的函数关系。
设最初的质量为1，时间变量用x表示，剩留量用y表示。
学生回答：
y与x之间的关系式，可以表示为y=0.84x。
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
1.指数函数的定义
一般地，函数y?
a?
a?
0且a?
1?
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
x
问题：
指数函数定义中，为什么规定“a?
0且a?
1”如果不这样规定会出现什么情况?
（1）若a<0会有什么问题?
x1则在实数范围内相应的函数值不存在）2
（2）若a=0会有什么问题?
（对于x0，a无意义）
师：
为了避免上述各种情况的发生，所以规定a?
0且a?
1。
练1：
指出下列函数那些是指数函数：
1?
（1）y?
4x
（2）y?
x4（3）y?
?
4x（4）y?
?
?
4?
（5（转载于：
，n的大小：
设计意图：
这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。
（五）课堂小结
（六）布置作业
《指数函数》高中数学教案5
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）结合实例，了解正整数指数函数的概念.
（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质.
2、过程与方法：
（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法.
（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫.
3、情感.态度与价值观：
使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心.
二、教学重点：
正整数指数函数的定义.教学难点：
正整数指数函数的解析式的确定.
三、学法指导：
学生观察、思考、探究.教学方法：
探究交流，讲练结合。
四、教学过程
（一）新课导入
【互动过程1】：
（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数;
（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n（）与得到的细胞个数y之间的关系;
（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数.
解：
（1）利用正整数指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1，2，3，4，5，6，7，8次后，得到的细胞个数
分裂次数12345678
细胞个数248163264128256
（2）1个细胞分裂的次数与得到的细胞个数之间的关系可以用图像表示，它的图像是由一些孤立的点组成
（3）细胞个数与分裂次数之间的关系式为，用科学计算器算得，所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576.
探究：
从本题中得到的函数来看，自变量和函数值分别是什么?
此函数是什么类型的函数?
细胞个数随着分裂次数发生怎样变化?
你从哪里看出?
小结：
从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数，而且指数是变量，取值为正整数.细胞个数与分裂次数之间的关系式为.细胞个数
随着分裂次数的增多而逐渐增多.
【互动过程2】：
问题2.电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00.9975
t，其中Q0是臭氧的初始量，t是时间（年），这里设Q0=1.
（1）计算经过20，40，60，80，100年，臭氧含量Q;
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化;
（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少.
解：
（1）使用科学计算器可算得，经过20，40，60，80，100年，臭氧含量Q的值分别为0.997520=0.9512，
0.997540=0.9047，0.997560=0.8605，0.997580=0.8185，0.9975100=0.7786;
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像是由一些孤立的点组成.
（3）通过计算和观察图形可以知道，随着时间的增加，臭氧含量Q在逐渐减少.
探究：
从本题中得到的函数来看，自变量和函数值分别又是什么?
此函数是什么类型的函数?
，臭氧含量Q随着时间的增加发生怎样变化?
你从哪里看出?
小结：
从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0.9975的指数，而且指数是变量，取值为正整数.臭氧含量Q近似满足关系式Q=0.9975t，
随着时间的增加，臭氧含量Q在逐渐减少.
【互动过程3】：
上面两个问题所得的函数有没有共同点?
你能统一吗?
自变量的取值范围又是什么?
这样的函数图像又是什么样的?
为什么?
正整数指数函数的定义：
一般地，函数叫作正整数指数函数，其中是自变量，定义域是正整数集.
说明：
1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点，这是因为函数的定义域是正整数集.2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数.
（二）、例题：
某地现有森林面积为1000，每年增长5%，经过年，森林面积为.写出，间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积.
分析：
要得到，间的函数关系式，可以先一年一年的增长变化，找出规律，再写出，间的函数关系式.
解：
根据题意，经过一年，森林面积为1000（1+5%）;经过两年，森林面积为1000（1+5%）2;经过三年，森林面积为1000（1+5%）3
;所以与之间的函数关系式为，经过5年，森林的面积为1000（1+5%）5=1276.28（hm2）.
练习：
课本练习1，2
补充例题：
高一某学生家长去年年底到银行存入2000元，银行月利率为2.38%，那么如果他第n个月后从银行全部取回，他应取回钱数为y，请写出n与y之间的关系，一年后他全部取回，他能取回多少?
解：
一个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%），二个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%）2;，三个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%）3，，
n个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%）n;所以n与y之间的关系为y=2000（1+2.38%）n
（nN+），一年后他全部取回，他能取回的钱数为y=2000（1+2.38%）12.
补充练习：
某工厂年产值逐年按8%的速度递增，今年的年产值为200万元，那么第n年后该厂的年产值为多少?
（三）、小结：
1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点，这是因为函数的定义域是正整数集.2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。
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