量子力学习题.docx

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量子力学习题

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量子力学习题

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河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别A

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？

4、简述能量的测不准关系；

5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？

解释各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场中运动（）。

求其定态能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态，求此时粒子的平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即。

在不含时微扰作用下，总哈密顿算符在表象下为。

求受微扰后的能量至一级。

五（20分）对电子，求在表象下的、、的矩阵表示。

A—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别B

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

2、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？

采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？

4、简述定态微扰理论。

5、Stern—Gerlach实验证实了什么？

二（20分）设粒子在三维势场中运动，求粒子定态能量和波函数。

三（20分）一维运动的粒子在态中运动，其中。

求

四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

五（20分）对自旋为的粒子，求在表象中、、的矩阵表示。

B—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别C

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？

2、两个对易的力学量是否一定同时确定？

为什么？

3、测不准关系是否与表象有关？

4、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一般地不能直接作为的零级近似波函数？

5、在自旋态中，和的测不准关系是多少？

二（20分）求在三维势场中运动的粒子的定态能量和波函数。

三（20分）求氢原子基态的最可几半径。

四（20分）已知哈密顿算符在某表象下

且知其基态E0=－3，求实数a，b，c。

五（20分）求在表象下，的本征值及本征函数。

当体系处于态时，求的几率为多少？

C—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别D

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？

同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态方程的解？

2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？

举例说明。

3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

4、何谓选择定则。

5、能否由方程直接导出自旋？

二（20分）求在一维势阱中运动的粒子的定态能级和波函数。

三（20分）当体系处在状态时，（这里为角坐标）。

求角动量z分量Lz的可能值及其平均值。

四（20分）转动惯量为，电偶极矩为的空间转子，处在均匀电场中，如电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。

五（20分）已知，为角动量算符，为共同本征态，试证明：

D—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别E

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、叙述量子力学的态迭加原理。

2、厄米算符是如何定义的？

3、据[，]=1，，，证明：

。

4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？

写出其适用条件。

5、自旋，问是否厄米算符？

是否一种角动量算符？

二（20分）粒子在势场中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）氢原子处于基态。

求

（1）的平均值；

（2）动量的平均值

四（20分）已知哈密顿算符

求：

（1）能量本征值；

（2）当a很小时，能量修正至二级。

五（20分）设，其中分别为轨道角动量和自旋的自旋角动量。

分别为的量子数。

求证：

在确定的态中，当时；当时。

E—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别F

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、波函数的量纲是否与表象有关？

举例说明。

2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？

予以简述。

3、知，问能否得到？

为什么？

4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。

5、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在？

二（20分）求在辏力场势中运动的粒子，当l=0时的定态能级与波函数。

（l为角量子数）

三（20分）证明[，]=。

其中为轨道角动量x分量，为动量y分量。

四（20分）已知哈密顿算符在某表象下。

求：

（1）实数a，b；

（2）能级和本征态。

五（20分）已知，其中为自旋的自旋角动量，为轨道角动量。

求体系的定态能级与波函数。

F—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别G

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级的简并度是多少？

若粒子自旋为s，问的简并度又是多少?

2、根据说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。

3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？

4、简述氢原子的一级stark效应。

5、写出的计算公式。

二（20分）已知粒子在势场中运动，，求束缚态能级所满足的方程。

三（20分）证明：

[，]=

四（20分）求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。

五（20分）已知体系，其中为轨道角动量，为自旋（）角动量。

求体系的定态能级与波函数。

G—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别H

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、由，说明波函数的量纲。

2、、为厄米算符，问[，]与[，]是否厄米算符？

3、据[，]=1，，证明：

。

4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？

5、什么是耦合表象？

二（20分）粒子在势场中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）球谐振子基态为，求动能平均值和最可几半径。

四（20分）某体系存在三个非简并能级：

E01，E02，E03，相应波函数为，，。

受微扰下，求其能量至二级，波函数至一级。

（注：

是在表象下给出的）。

五（20分）求在表象下，的本征值及本征函数。

当体系处于态时，求的几率为多少？

H—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别I

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符是否为线性厄米算符？

为什么？

2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。

3、已知，，且，，试推出线性谐振子波函数的递推公式。

4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。

5、何谓无耦合表象？

二（20分）粒子在中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）证明：

，其中。

四（20分）在某表象下矩阵形式为，求其本征值及本征函数。

五（20分）证明。

其中为与对易的矢量算符，为的自旋算符。

I—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别J

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。

2、，是否线性算符？

3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？

4、何谓选择定则？

5、写出公式。

二、（20分）已知粒子在中运动，求束缚态能级满足的关系式。

三、（20分）设粒子在一维无限深势阱中运动，其基态能量为，现体系处在由归一化波函数所表示的状态，求：

（1）包含区间[0,]的势阱位置；

（2）写出测量基态的几率的计算公式。

四、（20分）当＝1时，求在表象中与的矩阵表示。

五、（20分）求在中，算符与的本征值。

J—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别K

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

2、写出位置表象中，，和的表示式。

3、对于定态问题，试从含时方程推导出定态方程；

4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n是否存在限制？

为什么？

5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？

二、（20分）求在一维势场（A＞0）中，运动的粒子的定态能级和波函数。

三、（20分）一粒子在一维无限深势阱中运动，求其处于定态时的平均动能。

四、（20分）设尝试函数为，c为归一化系数，为与无关的变分参数，试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。

五、（20分）求在自旋态中的测不准关系

K—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别L

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？

2、试写出动量表象中，，，的表式

3、幺正算符是怎样定义的？

4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？

5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？

二、（20分）试求三维各向同性谐振子的基态波函数。

三、（20分）推导对易关系，其中为坐标分量算符，为轨道角动量分量算符。

四、（20分）已知某表象下力学量，求其本征值及本征函数。

五、（20分）在自旋态中，其测不准关系

L—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别M

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。

2、一维线性谐振子基态归一化波函数为，试计算积分；

3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量F的可能值及其几率的方法；

4、已知氢原子径向方程无简并，微扰项只与有关，问非简并定态微扰论能否适用？

5、自旋是否意味着自转？

二、（20分）一体系哈氏量为其中c为常数，求其定态能级及波函数。

三、（20分）试证明

四、一粒子在一维势场中运动，b很小，试用微扰论求其定态能量至二级，波函数至一级。

五、（20分）已知角动量，求在态中的的值。

M—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别N

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、光到底是粒子还是波；

2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？

在什么情况下才同时具有确定值？

3、不考虑自旋，求球谐振子能级En的简并度；

4、我们学过，氢原子的选择定则，这是否意味着的跃迁绝对不可能发生？

5、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？

二、（20分）设粒子在二维势场中运动，其中常数，．求其定态能级和波函数。

三、（20分）在一维无限深势阱中运动的粒子，求它处在定态时的平均坐标。

四、（20分）求氢原子处于基态时，在恒定外弱电场作用下，其定态能级至二级和波函数至一级。

五、（20分）根据在表象下的矩阵表示，求自旋的本征值及对应本征函数（粒子s=）。

N—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别O

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、在球坐标系下，波函数为什么应是进动角的周期函数？

2、设当和时，势能为常数，试将此区域内的二维方程分离变量（不求解）；

3、何谓力学量完全集？

4、定性说明为什么在氢原子的Stark效应中，可将视为微扰项？

5、Pauli算符是否满足角动量的定义式？

二、（20分）有一粒子在一维势场中运动，求其定态能级及波函数。

三、（20分）已知，其中、均为厄米算符，利用关系证明测不准关系。

四、（20分）已知、的伴随表示分别为及

求的矩阵表示。

五、（20分）求在自旋态的测不准关系

O—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别P

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、简述量子力学产生的背景；

2、写出位置表象中直角坐标系下、、、的表示式；

3、为有心力场中的径向波函数，问是否成立？

为什么？

4、定态微扰论是否适用于主量子数n很大的氢原子情况？

为什么？

5、有关角动量的定义，我们学过哪两种？

哪一种更广泛？

自旋角动量是按哪一种定义的？

二、（20分）电子在三维势场中运动，其中D为常数，求其定态能级及波函数。

三、（20分）试推导的对易关系。

四、（20分）在各向同性三维谐振子中加入微扰项，其中为很小的常数，求第一激发态能量的一级修正。

五、（20分）求在态中的的值，其中角动量。

P—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别Q

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、说明的量纲；

2、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值；

3、简述占有数表象；

4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；

5、何为偶极近似？

二、（20分）一粒子的哈密顿算符为，其中B为常数，求其定态能级及本征函数。

三、（20分）已知、分别为坐标和角动量的分量算符，推导其对易关系。

四、（20分）在各向同性三维谐振子的哈氏算符中加入微扰项，其中为很小的常数，求其第一激发态能量的一级近似。

五、（20分）求在表象下，的本征值及对应本征函数（粒子s=）。

Q—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别R

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？

2、写出的本征值及对应本征函数；

3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？

4、简述态的表象变换的方法；

5、已知总角动量，试说明。

二、（20分）令为氢原子哈密顿算符，已知一粒子，求此粒子的定态能级及波函数（其中A为常数）。

三、（20分）设粒子在一维线性谐振子势中运动，求其基态的测不准关系

四、（20分）已知，其中已精确求出，试推导、、、（分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修正）所满足的方程组。

五、（20分）已知总角动量，、的角量子数分别为、，的角量子数和磁量子数分别为、，当体系处在态时，问的值为多少？

R—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别S

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、旧量子论存在哪些不足？

2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？

3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？

举例说明；

4、简述变分法的思想；

5、写出电子在表象下的三个Pauli矩阵。

二、（20分）已知一粒子在三维势场中运动，求其定态能级及波函数。

三、（20分）求线性谐振子基态的动能平均值。

四、（20分）已知，其中为三维各向同性谐振子的哈氏算符，为很小的常数，试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。

五、（20分）已知，为角动量算符，为、共同本征态，证明：

S—1—1

河北大学课程考核试卷

—学年第学期级专业（类）

考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别T

（注：

考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：

（共20分，每小题4分）

1、简述波函数的Born统计解释；

2、设是定态方程的解，说明也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数；

3、引入Dirac符号的意义何在？

4、定态微扰论的适用范围是什么？

5、简述两个角动量耦合的三角形关系。

二、（20分）一粒子在一维势场中运动，求其束缚态能级所满足的方程（＞0）。

三、（20分）试求线性谐振子基态的势能平均值。

四、（20分）已知哈密顿函数，求：

（1）能量本征值；

（2）当很小时，能量修正至二级。

五、（20分）令为轨道角动量，为电子自旋角动量，如体系哈氏算符，其中、、均为常数，试求体系定态能级和波函数。

T—1—1