1990考研数二真题及解析.docx
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1990考研数二真题及解析
佃90年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
3
X=costt,宀十
2上对应于点
・3
y=sint
1tan_1
（2）设y=eXsin—，贝yyr=
X
1
（3）x.1-xdx=.
-J3-13
⑷下列两个积分的大小关系是：
ce^dxfexdx.
J_2J_2
1Ixl兰1
⑸设函数f（x）,则函数f[f（x）]=
[0,|x>1
二、选择题（每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
设函数f（x）在（-：
：
，=）上连续，则df（x）dx等于
2
⑶已知函数f（x）具有任意阶导数，且f（X）二[f（x）],则当n为大于2的正整数时，f（X）
的n阶导数f⑴（x）是
（）
（A）n!
[f（x）]n1
（B）
n[f（x）]n1
（C）[f（x）]2n
（D）
n!
[f（x）]2n
⑷设f（x）是连续函数，且F（x）
e
=i
X
f（t）dt，则F（x）等于（）
（A）-e"f（e"）-f（x）
（B）-e"f（e"）f（x）
是F（x）的
三、（每小题5分,满分25分.）
⑵求由方程2y「x=（x「y）ln（x「y）所确定的函数y=y（x）的微分dy.
1
⑶求曲线y2（x0）的拐点•
1+x
（4）计算為dx.
（5）求微分方程xlnxdy+（y—lnx）dx=0满足条件yx=e=1的特解•
四、（本题满分9分）
x2y2
在椭圆二2=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所
ab
围图形面积为最小（其中a0,b0）.
五、（本题满分9分）
1応证明：
当x0,有不等式arctanx•-.
x2
六、（本题满分9分）
xInt1
设f（x）dt,其中x0,求f（x）f（—）
11+tx
七、（本题满分9分）
过点P（1,0）作抛物线y=寸厂2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.
八、（本题满分9分）
求微分方程y4y4^eax之通解，其中a为实数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）
1
（1）【答案】y-丄
8
【解析】将t在代入参数方程得宀在匕处的函数值：
7得切点为（3J3,〔）•
88
过已知点（xo,y°）的法线方程为y-y°=k（x-冷），当函数在点（心丫。
）处的导数
”1兀
yx和时，k•所以需求曲线在点t处的导数.
xK
y（xo）6
由复合函数求导法则，可得
dy=dydxdt
dtdydx3sin21cost,,
2tant,
dxdtdt-3costsint
yx
法线斜率为k「3.所以过已知点的法线方程为y一1h：
j3（x-3\3）
88
【相关知识点】复合函数求导法则:
如果u=g（x）在点x可导，而y=f（x）在点u=g（x）可导，则复合函数y=flg（x）l
在点x可导,且其导数为
【解析】原函数对x求导，有
〔f（x）g（x）-f（x）g（x）f（x）g（x）.
2.复合函数的求导法则：
如果u=g（x）在点x可导，而y=f（x）在点u二g（x）可导，则复合函数y二flg（x）1
在点x可导,且其导数为
_1_1
d,1-x=dt=dtdxdx,则dx二-2tdt.
2J1—x2t
02
原式二（1-t2）t（-2tdt）
1
2t2-t4dtft5
1
515
22_J-
35一15
⑷【答案】
根据f（x）的定义知,当|xQ时,有f（x）=1.代入f[f（x）],又f
（1）=1.于是当|x^1
时,复合函数f[f（x）]=1；
当|x|1时,有f（x）=0.代入f[f（x）],又f（0）=1,即当|x|1时,也有f[f（x）]=1•
因此,对任意的X（」：
，=）,有f[f（X）]三1.
『—a=°，否则lim
「（1_a）x2_（a+b）x_b、
a+b=O,F
严0.
分析应有
所以解以上方程组，可得a=1,b二-1.所以此题应选C.
⑵【答案】B
【解析】由函数的不定积分公式：
若F（x）是f（x）的一个原函数,f（x）dx=F（x）C,dF（x）=f（x）dx,有
d[f（x）dx]=[f（x）dx]dx=f（x）dx.
所以本题应该选（B）.
⑶【答案】A
【解析】本题考查高阶导数的求法•
为方便记y=f（x）.由y#y2,逐次求导得
324
y=2yy=2y,y=3!
yy=3!
y，…，
由第一归纳法，可归纳证明y（n）二n!
yn1.
假设n=k成立，即y（k）=k!
yk1,则
y（f=[y（订珂k!
yk*=（k+1）!
ykV
二k1!
yk1d,
所以n二k・1亦成立，原假设成立.
⑷【答案】A
_x
e—
【解析】对F（x）f（t）dt两边求导数得
Lx
F（x）=f（e「（ej-f（x）（x）（ej-f（x）.
故本题选A.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
若F（t）「一.⑴f（x）dx,〉（t）,：
（t）均一阶可导，则
F（t）二1（t）f「：
（t）丨「（t）f（t）l.
2.复合函数求导法则：
如果u=g（x）在点x可导，而y=f（x）在点u=g（x）可导，则复合函数y=f〔g（x）1
在点x可导,且其导数为—=f（u）g（x）或dy=—y——.
dxdxdudx
⑸【答案】B
【解析】由于
limF（x）=limf（x）=limf（x）-f（0）,
XQx0xx》0x_0
由函数在一点处导数的定义
f（Xo）=limm=limf（x°rx）—f（x°）
Ax心T
得limF（x）=厂（0）式0=f（0）=F（0）,
【相关知识点】
所以函数不连续，且极限存在但不等于函数值，故为第一类（可去）间断点，故本题选B.
1.函数y二f（x）在点连续：
设函数f（x）在点的某一邻域内有定义
如果l^f（xHf（x0）,则称函数f（x）在点x0连续.
2.函数f（X）的间断点或者不连续点的定义：
设函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义只要满足一下三种情况之一即是间断点
（1）在X=x0没有定义；
（2）虽在=x0有定义，但limf（x）不存在；
（3）虽在=x0有定义，且limf（x）存在，但limf（x）=f（x0）;
通常把间断点分成两类：
如果怡是函数f（x）的间断点，但左极限f（x^）及右极限
f（x°）都存在，那么x0称为函数f（x）的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点•三、（每小题5分，满分25分.）
1
（1）【解析】此题考查重要极限：
lim
（1）x=巳
同理可得a=ln3.
（2）【解析】方程两边求微分，得
2dy-dx=ln（x-y）d（x-y）（x-y）dln（x-y）
二（dx-dy）ln（x「y）（x「y）dx—d^x—y
整理得dy=gdx.
’-2x,2（3x2-1）
y毛，y
（1+x）（1+x）
111
令y“=0得x：
——，y•在此变号,即是x•——时，y\O；x：
.——时,.0;
3-,3-'73
13
故拐点为（〒，一）.
434
【相关知识点】1.拐点的定义：
设函数f（x）在点x的某一邻域连续，函数f（x）的图形在点xo处的左右侧凹凸性相反，则称（xo,f（xo））为曲线f（x）的拐点.
2.拐点判别定理：
（1）设函数f（X）在（xo-：
Xo，）连续，在去心邻域（xo--：
xor）对,就是区间（x0-6,^+6）内不包括点x0二阶可导，且f"（x）（x-x0）在Ocx-xoC6上不变号，则（xo,f（X。
））为拐点•
（2）设函数f（x）在（xo-「X。
、•）二阶可导,f（X。
）=0,又f（Xo）=O,则（Xo,f（X。
））
为拐点•
本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了
⑷【解析】由一d（1_X）二d—有
（1—X）2（1—X）2（1—X）
腭dx—xd亡）分部法黑e七dx
C为任意常数•
如果选择不当可能引起更繁杂的计
积累经验•
xlnx
In|1-x|C,
1-x
注：
分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题算,最后甚至算不出结果来•在做题的时候应该好好总结
【相关知识点】分部积分公式：
假定u二u（x）与v=v（x）均具有连续的导函数，则
uvdx=uv-uvdx,或者udv二uv「vdu.
（5）【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程，其标准形式为
*11
yy=
xlnxx
四、（本题满分9分）
Inxx|,两边乘以Inx得（ylnx）・
x
lnx「dxC,
x
C
+.
lnx
1
1可得C,所求特解为y=
所以点（x,y）处的切线方程为Y-y二
孚（X-x）,化简得到
ay
2
a,b为常数，欲使得S的最小，则应使得
xy最大；从而问题化为求u=xy（y由椭圆方程所
确定）当x・（0,a）时的最大值点•
令u=xy,u=xyy=0,得y"=
22
—,再对x2y?
=1两边求导得
xab
a
合可得x（唯一驻点）,即在此点u
-xy取得最大，S取得最小值.
2
分别令X=0与Y=0,得切线在x,y上的截距分别为—
x
故所求面积为
又由椭圆的面积计算公式二ab,其中a,b为半长轴和半短轴
a
x必为最小
由于xin^4S（x^xlirn_0S（x^Hc,所以S（x）在（0,a）上存在最小值
点,所求P点为
五、（本题满分9分）
【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边，令其为f（x）,另一边剩下0,
再在给定区间内讨论f（x）的单调性即可证明原不等式•
4H11
令f（x）=arctanx,则f（x）22：
：
0（x0）.因此，f（x）在
x21+xx
n（0,•：
：
）上单调减；又有limarctanx,所以
j枫2
兀1兀1
limf（x）=lim（）=lim0,
x—Jj'2x2x厂：
x
故0：
：
：
x：
：
：
■:
:
时，f（x）•lim._f（x）=0,所以原不等式得证.
六、（本题满分9分）
由区间相同的积分式的可加性，有
1
方法2：
令F（x）二f（x）f
（一），则
x
由牛顿-莱布尼兹公式，有
xInx1
F（x）-F
（1）dxInx,
而F（1^11Inx
刃x2
112
：
dx=0,故F（x）二f（x）f（）Inx.xx2
F（x）为f（x）在［a,b］上
【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：
设函数f（x）在［a,b］上连续,的任意一个原函数，则有
bb
Lf（x）dx=F（x）a=F（b）-F（a）.
x-2y=1.
旋转体是由曲线y=f（x），直线x-2y=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所
形成的，求旋转体体积V:
方法2:
曲线表成
x是y的函数，并作水平分割，相应于〔y,ydy1小横条的体积微元，如上
图所示，
dV=2二y||_（y22）-（2y1）dy，
是，旋转体体积
V=2和1（y3-2y2+y）dy=2沢卩y^-y^-y2「
0「432.丿06
【相关知识点】1.由连续曲线y=f（x）、直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴
b2
旋转一周所得的旋转体体积为：
Vf2（x）dx.
La
2.设f（x）在［a,b］连续，非负，a0,则曲线y二f（x）,直线x二a,x二b及x轴围成的平
b
面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：
V=2二xf（x）dx（可用微元法导出）.
八、（本题满分9分）
【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程，特征方程r24r^0的根为
r1=r2--2,原方程右端e^x=e*中的〉=a.
--2时,可设非齐次方程的特解
1
Y=Ae,代入万程可得A=@.2）2,
y"■P（x）y'Q（x）y=0的通解，则y=Y（x）■y*（x）是非齐次方程的通解•
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y（x）,可用特征方程法求解：
即y'P（x）y：
Q（x）y=0中的P（x）、Q（x）均是常数，方程变为y'py'qy=o.其特征方程写为r2pr0,在复数域内解出两个特征根*,^；分三种情况：
（1）两个不相等的实数根ri,D,则通解为y=Ge*1C2er'x;
（2）两个相等的实数根*=r2,则通解为y二G•C2xerx1;
（3）一对共轭复根斤,2=口土iE,贝U通解为y=（C1cosPx+C2sinPx）.其中C1,C?
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程y_P（x）y：
Q（x）y=f（x）的一个特解y*（x）,可用待定
系数法，有结论如下：
7*IFY
如果f（x）=Pm（x）e",则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y（x）=xQm（x）e"
的特解,其中Qm（X）是与Pm（X）相同次数的多项式,而k按•不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
清代红顶商人”胡雪岩说：
做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。
”可见，一个人的心胸和眼光，决
定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。
人生能有几回搏，有生不搏待何时！
所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！
我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥
泞；走过了失败，就走向了成功！
一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。
正如郑板桥所具有的人格和精神：
咬定青山不放松，立根原在破岩中。
千磨万
击还坚劲，任尔东南西北风。
”
顺境，将梦想变为现实。
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