武汉市中考数学复习难题突破专题一规律归纳探索问题.docx

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武汉市中考数学复习难题突破专题一规律归纳探索问题

难题突破专题一　规律归纳探索问题

近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自

主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．

类型1　数字规律

12019·淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

图Z1－1

则2019在第________行．

例题分层分析

（1）观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________；

（2）可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2019在第_______行

解题方法点析

解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．

类型2　数式规律

2我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：

两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a＋b）3展开式中的系数等．

（1）根据上面的规律，写出（a＋b）5的展开式；

（2）利用上面的规律计算：

25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.

图Z1－2

例题分层分析

（1）你能写出（a＋b）1，（a＋b）2，（a＋b）3，（a＋b）4的展开式吗？

（2）25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和（a＋b）1，（a＋b）2，（a＋b）3，（a＋b）4，（a＋b）5中哪个的展开式比较类似？

此时a等于什么？

b等于什么？

解题方法点析

数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．

类型3　图形规律

3[2019·衢州]如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为__________．

图Z1－3

例题分层分析

（1）首先求出B点坐标________，

（2）根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；

（3）追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为、1、1，又2019÷3＝672……1，故其运动路径长为________．

图Z1－4

4[2019·酒泉]下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2019个图形的周长为________．

图Z1－5

例题分层分析

（1）根据图形变化规律可知：

图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；

（2）第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8.

（3）第2019个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．

专题训练

1．[2019·自贡]填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（　　）

图Z1－6

A．180B．182

C．184D．186

2．[2019·重庆A]下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

图Z1－7

A．73B．81

C．91D．109

3．[2019·温州]我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线（如图Z1－8），已知点P1（0，1），P2（－1，0），P3（0，－1），则该折线上点P9的坐标为（　　）

图Z1－8

A．（－6，24）B．（－6，25）

C．（－5，24）D．（－5，25）

4．[2019·宁波]用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：

图Z1－9

则第⑦个图案有________个黑色棋子．

5．[2019·郴州]已知a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，a5＝－，…，则a8＝________．

6．[2019·潍坊]如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

图Z1－10

7．[2019·菏泽]如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去，若点B的坐标是（0，1），则O12的纵坐标为________．

图Z1－11

8．[2019·衡阳]正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2019的纵坐标是________．

图Z1－12

9．[2019·天门]如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（－1，1），B（0，－2），C（1，0）．点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2019的坐标为________．

图Z1－13

10．[2019·内江]观察下列等式：

第一个等式：

a1＝＝－；

第二个等式：

a2＝＝－；

第三个等式：

a3＝＝－；

第四个等式：

a4＝＝－.

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：

a6＝________＝________；

（2）用含n的代数式表示第n个等式：

an＝________＝________；

（3）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________（得出最简结果）；

（4）计算：

a1＋a2＋…＋an.

参考答案

类型1　数字规律

例1　【例题分层分析】

（1）1　4　9　16　25　

（2）n2　1936　最大数为2025　45

[答案]45

类型2　数式规律

例2　【例题分层分析】

（1）（a＋b）1＝a＋b；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；

（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；

（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.

（2）（a＋b）5，a＝2，b＝－1.

解：

（1）（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.

（2）原式＝25＋5×24×（－1）＋10×23×（－1）2＋10×22×（－1）3＋5×2×（－1）4＋（－1）5＝（2－1）5＝1.

类型3　图形规律

例3　【例题分层分析】

（1）（－1，）　

（2）6　不变　（5，）　（3）（＋896）π

[答案]（5，）　（＋896）π

例4　【例题分层分析】

梯　平行四边形　3　1　梯形　3025　3026　1　6053

[答案]8　6053

专题训练

1．C　[解析]观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝（11＋2）×（11＋4），解得m＝184.

2．C　[解析]整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现：

第①个

第②个

第③个

第④个

…

第个

上半部分

1＝12

4＝22

9＝32

16＝42

…

n2

下半部分

2＝1＋1

3＝2＋1

4＝3＋1

5＝4＋1

…

n＋1

由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：

n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91.

3．B

4．19　[解析]第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有（1＋3）个黑色棋子；第3个图形中共有（1＋2×3）个黑色棋子；第4个图形中共有（1＋3×3）个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3（n－1）＋1]＝（3n－2）个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19.

5.

6．9n＋3　[解析]由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3.

7．（－9－9，9＋3）　[解析]过点O2作O2C⊥x轴于点C，

∵AB⊥y轴，点B的坐标是（0，1），且点A在直线y＝－x上，

∴点A的坐标为（－，1），即OB＝1，AB＝，

∴OA＝2.由题意知，AB1＝AB＝，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋，

∵tan∠O2OC＝，∴∠O2OC＝30°，

∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝（3＋）×＝，

O2C＝O2Osin∠O2OC＝（3＋）×＝，

∴O2（－，），O4（－，），O6（－，），

…，O12（－，），

即O12（－9－9，9＋3）．

8．22019　[解析]由图知，点B1的坐标为（1，1）；点A2的坐标为（1，2）；点B2的坐标为（3，2）；点A3的坐标为（3，4）；点B3的坐标为（7，4）；点A4的坐标为（7，8），……寻找规律知B2019的纵坐标为22019.

9．（－2，0）　[解析]根据旋转可得P1（－2，0），P2（2，－4），P3（0，4），P4（－2，－2），P5（2，－2），P6（0，2），故6个循环一次，2019÷6＝336…1，故P2019（－2，0）．

10．解：

（1）a6＝＝－.

（2）an＝＝－.

（3）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－＋－＋…＋－

＝－＝.

（4）a1＋a2＋…＋an＝－＋－＋…＋－＝－＝.

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）

A.B.C.D.

2．数据-5,-1,0,1,x的众数为0,则方差为（　　）

A．0B．C．D．

3．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S1