完整版数值分析第五版答案.docx
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完整版数值分析第五版答案
第一章绪论
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，
即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：
x1*1.1021,x2*
0.031,x3
385.6,
x456.430,x57
1.0.
解：
x11.1021是五位有效数字；
x2
0.031是二位有效数字；
x3
385.6是四位有效数字；
x4
56.430是五位有效数字；
x5
71.0.是二位有效数字。
4．利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限：
（1）x1x2
x4,
（2）
x1x2x3,（3）x2/x4.
其中x1*,x*2,x3*,x4*均为第3题所给的数。
解：
（x1*）
（x*2）
（x*3）
（x*4）
（x5）
1
2
1
2
1
2
1
2
1
10
10
10
10
10
（1）（x1
（x1*）
1
10
2
1.0510
x2x4）
（x*2）
1
2
3
10
（x*4）
1103
2
（2）（x1*x*2x3*）
x1x2（x3）
x2x3
（x1）x1x3（x2）
1
1.10210.031
101
0.031385.61104
1.1021
385.61103
0.215
（3）（x*2/x4*）
x2*（x*4）x*4（x2*）
*2
x4*
1313
0.03110356.430103
22
56.43056.430
105
5计算球体积要使相对误差限为1，
43
解：
球体体积为VR3
3
则何种函数的条件数为
问度量半径
R时允许的相对误差限是多少？
Cp
RgV'
Rg4R2
4R3
3
r（V*）
Cpgr（R*）3r（R*）
又Qr（V*）
故度量半径
R时允许的相对误差限为
6．设Y028，按递推公式YnYn
1
3
1783
100
r（R*）
10.33
n=1,2,⋯）
，试问计算Y100将有多大误差？
计算到Y100。
若取78327.982（5位有效数字）
1
解：
QYnYn1783
nn1100
Y100Y991783
10099100
1783
100
1783
100
Y99
Y98
Y1
Y98
Y97
Y0
1010783
依次代入后，
有Y100Y010017831000100
即Y100Y0
783，
若取783
27.982,Y100Y027.982
（Y10*0）（Y0）（27.982）
解：
x256x10，
故方程的根应为x1,228783
故x1287832827.98255.982
x1具有5位有效数字
x2具有5位有效数字
2
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2？
解：
正方形的面积函数为A（x）x2
（A*）2A*g（x*）.
当x*100时，若（A*）1,
12
则（x*）102
2
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm2
11．序列yn满足递推关系yn10yn11（n=1,2,⋯）,
若y021.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？
这个计算过程稳定吗？
解：
Qy021.41
10
又Qyn10yn11
y110y01
（y1*）10（y0*）
又Qy210y11
（y2*）10（y1*）
（y2*）102（y0*）
（y10*）
10101
2
1108
2
1010（y0*）
102
计算到y10时误差为
12．计算f（2
12108，这个计算过程不稳定。
1）6，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
1（2
1）6
（322）3,
（3
1，99702。
22）3，。
解：
设
（x
1）6，
若x
1.4，则
210。
若通过
1
16计算y值，则
（21）6
若通过
（x*11）7
6**
*7yx（x*1）7
**
y*x*
（322）3计算y值，则
gx
*2
（32x*）2gx
6*
*ygx
32x*
**
y*x*
若通过
1
13计算y值，则
（322）3
*4gx（32x*）4
1**
*7yx（32x*）7
**
y*x*
第二章插值法
2．给出f（x）lnx的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。
解：
由表格知，
x00.4,x10.5,x20.6,x30.7,x4
f（x0）
0.916291,f（x1）
0.693147
f（x2）
0.510826,f（x3）
0.356675
f（x4）
0.223144
若采用线性插值法计算ln0.54即f（0.54），
则0.5
0.540.6
l1（x）
xx210（x0.6）
x1x2
l2（x）
xx110（x0.5）
x2x1
L1（x）
f（x1）l1（x）f（x2）l2（x）
6.93147（x0.6）5.10826（x0.5）
f（x1）l1（x）f（x2）l2（x）
L1（0.54）0.62021860.620219若采用二次插值法计算ln0.54时，
l0（x）
（x
x1）（x
x2）
（x0
x1）（x0
x2）
l1（x）
（x
x0）（x
x2）
（x1
x0）（x1
x2）
l2（x）
（x
x0）（x
x1）
（x2
x0）（x2
x1）
L2（x）
50（x0.5）（x0.6）
100（x0.4）（x0.6）
50（x0.4）（x0.5）
f（x0）l0（x）
500.916291（x0.5）（x0.6）69.3147（x0.4）（x0.6）0.51082650（x0.4）（x0.5）
L2（0.54）0.615319840.615320
3．给全cosx,0ox90o的函数表，步长h1（1/60）o,若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解：
求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。
因此，总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当0ox90o时，
令f（x）cosx
11
取x00,h（）
0606018010800
令xix0ih,i0,1,...,5400
则x5400
90o
2
当xx
k,xk1时，线性插值多项式为
L1（x）f（xk）xxk1f（xk1）xxk
xkxk1xk1xk
插值余项为
R（x）
cosxL1（x）
1
12f（）（xxk）（xxk1）
又Q在建立函数表时，表中数据具有
5位有效数字，且cosx0,1，故计算中有误差传播
过程。
R2（x）
（f
（f
（f
（f
（xk））xxkxk1
xxk1
xkxk1
1
（xk））（xk1x
h
（xk））
（xk））（
xk1
（f*（xk1））xxk1xkx1k
xxk1
1xk
xk
xk）
总误差界为
105
2
5
0.50106105
4．设为互异节点，求证：
证明
又Qkn,
f（n1）（）0
Rn（x）0
kk
xkjlj（x）xk（k0,1,L,n）;
j0
n
k
（2）（xjx）klj（x）
j0
nn
（Ckjxij（x）ki）lj（x）
j0i0
nn
ikiiCki（x）ki（xijlj（x））
i0j0
又Q0in由上题结论可知
n
xkjlj（x）xij0
n
原式Cki（x）kixi
i0
（xx）k
0
得证。
ex的近似值，要使
6．在4x4上给出f（x）ex的等距节点函数表，若用二次插值求
截断误差不超过106，问使用函数表的步长h应取多少？
解：
若插值节点为xi1,xi和xi1，则分段二次插值多项式的插值余项为
1
R2（x）3!
f（）（xxi1）（xxi）（xxi1）3!
R2（x）
6（xxi1）（xxi）（xxi1）m4axx4
f（x）
设步长为h，即xi1xih,xi1xih
若截断误差不超过106，则
n44
7．若yn2,求yn及yn.，
解：
根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
f（8）（）
fx0,x1,L,x80
8!
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
（xk,xk1）
R3（x）f（4）（）（xxk）2（xxk1）2/4!
解：
若x[xk,xk1]，且插值多项式满足条件
H3（xk）f（xk）,H3（xk）f（xk）H3（xk1）f（xk1）,H3（xk1）f（xk1）插值余项为R（x）f（x）H3（x）由插值条件可知R（xk）R（xk1）0且R（xk）R（xk1）0
22
R（x）可写成R（x）g（x）（xxk）（xxk1）其中g（x）是关于x的待定函数，现把x看成［xk,xk1］上的一个固定点，作函数
22
（t）f（t）H3（t）g（x）（txk）2（txk1）2根据余项性质，有
（xk）0,（xk1）0
22
（x）f（x）H3（x）g（x）（xxk）2（xxk1）2
f（x）H3（x）R（x）
0
22
（t）f（t）H3（t）g（x）［2（txk）（txk1）22（txk1）（txk）2］（xk）0
（xk1）0
由罗尔定理可知，存在（xk,x）和（x,xk1），使
（1）0,
（2）0
即（x）在［xk,xk1］上有四个互异零点。
根据罗尔定理，（t）在（t）的两个零点间至少有一个零点，故（t）在（xk,xk1）内至少有三个互异零点，依此类推，（4）（t）在（xk,xk1）内至少有一个零点。
记为（xk,xk1）使
（4）（）f（4）（）H3（4）（）4!
g（x）0
又QH3（4）（t）0
f（4）（）g（x）4!
（xk,xk1）
其中依赖于x
R（x）f（44）（!
）（xxk）2（xxk1）2
4!
kk1
分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk（k0,1,L,n），设步长为h，即
xkx0kh,k0,1,L,n在小区间[xk,xk1]上
R（x）
R（x）
f（4）（）（x
4!
1
4!
xk）2（xxk1）2
（4）（
）（xxk）2（xxk1）2
1（x
4!
1[（x
4!
11h44!
24hh4
max
384axb
xk）2（xk1x）2maxaxbf
xkxk1x）2]2max
2axb
maxaxb
f（4）（x）
（4）（x）
f（4）（x）
16
．求一
个次数不高于4
次的多
P（0）P（0）
0,P
（1）P
（1）0,P
（2）
0
解：
利用埃米尔特插值可得到次数不高于
4的多项式
x0
0,x11
y0
0,y11
m0
0,m11
1
H3（x）yj
j0
1
j（x）mjj（x）
j0
（4）（x）
项式P（x），使它
满足
0（x）（12xx0）（xx1）2x0x1x0x1
（12x）（x1）2
1（x）（12xxxx1）（xxxx0）2x1x0x1x0
2
（32x）x2
20（x）x（x1）21（x）（x1）x2
2232
H3（x）（32x）x2（x1）x2x32x2
其中，A为待定常数
122
14x2（x3）2
A14
21．若f（x）
2
C2a,b,S（x）是三次样条函数，证明：
b
2b
2
（1）af（x）a
2dx
a
S（x）2dx
b
2
b
2
af（x）
a
S（x）dx2aS（x）f（x）
S（x）dx
（2）若f（xi）
S（xi）（i
0,1,L,n），式中xi为插值节点，且
b
aS（x）f
（x）S（x）dx
S（b）f（b）S（b）
S（a）f（a）S（a）
从而P（x）
ax0x1Lxnb，则
证明：
b
2
（1）af（x）a
S（x）dx
b
2
b
2
b
af（x）
dx
aS（x）
dx2
f（x）S（x）dxa
b
2
b
2
b
af（x）
dx
aS（x）
2dx2
S（x）f（x）S（x）dx
a
a
a
从而有
b2
b
2
af（x）
a
dx
a
S（x）dx
b
2
b
af（x）
a
S（x）
2dx2
aS（x）
a
f（x）S（x）dx
第三章函数逼近与曲线拟合
B1（f,x）及B3（f,x）。
1．f（x）sinx，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式解：
Qf（x）sin,x[0,1]伯恩斯坦多项式为
nk
Bn（f,x）
f（k）Pk（x）n
其中Pk（x）
knkxk（1x）nk
当n1时，
2．当f（x）x时，求证Bn（f,x）x
证明：
若f（x）x，则
nk
Bn（f,x）
k0
f（）Pk（x）n
nk
knkx（1x）
k0n
nkn（n1）L（nk1）xk（1x）nk
k0nk!
n（n1）L[（n1）（k1）1]xk（1x（1
k1
n
（k1）!
1
knk
x（1x）
nkx）nk
k1
n
x
k1
x[x
（1
1
1
n1
x）]
xk1（1x）（n1）（k1）
7。
令Tn（x）Tn（2x1）,x[0,1]，试证Tn*（x）
是在[0,1]上带权（x）12的正交
xx2
多项式，并求T0（x）,T1（x）,T2（x）,T3（x）。
解：
若Tn*（x）Tn（2x1）,x[0,1]，则
1
0Tn*（x）Tm*（x）P（x）dx
11
0Tn（2x1）Tm（2x1）12dx0xx2
令t（2x1），则t[1,1]，且x
t1，故
2
1**
0Tn*（x）Tm*（x）（x）dx
11
1Tn（t）Tm（t）
1nmt1t21
d（t
（t21）22）
2
1Tn（t）Tm（t）2dt
11t2
*1
又Q切比雪夫多项式Tk（x）在区间[0,1]上带权（x）正交，且
1x2
0,1,2,3.
0,nm
x
Tn（x）Tm（x）d2
n
m0
nm1t
2
n
m0
Tn（x）是在[0,1]上带权
（x）
1
的正交多项式。
xx2
又QT0（x）1,x[1,1]
T0（x）T0（2x1）1,x[0,1]
QT1（x）x,x[1,1]
T1*（x）T1（2x1）2x1,x[0,1]
QT2（x）2x21,x[1,1]
T2*（x）T2（2x1）
2（2x1）21
8x28x1,x[0,1]
QT3（x）4x3x,x[1,1]
T3*（x）T3（2x1）
4（2x1）33（2x1）
32x348x218x1,x[0,1]
n（xn（x）,n（x））/（n（x）,n（x））n（n（x）,n（x））/（n1（x）,n1（x））
0（x
1）/（1,1）
1
2
1x（1
x2）dx
1
1（1
x2）dx
0
1（x）
x
（x2,
x）/（x,x）
13
2
1x3（1
x）dx
12
2
1x2（1
x2）dx
0
（x,x
）/（1,1）
12
2
1x2（1
x2）dx
12
1（1x2）dx
16
152
85
3
2（x）x
3
22
22
22
2
2（x3
x,x
）/（x2
x
5
5
5
5
13
22
2
2
（x3
x）（x2
）（1
x2）dx
122222
1（x25）（x25）（1x2）dx
0
2222
2（x,x）/（x,x）
55
122222
1（x2）（x2）（1x2）dx
155
122x2（1x2）dx
136
52517
1670
15
3（x）x3
2217
xx
570
3x
9
x
14
12。
选取常数
a，使max
x3
ax
达到极小，又问这个解是否唯一？
0x1
解：
令f（x）x3ax
则f（x）在[1,1]上为奇函数
max
0x1
3
x
ax
max
1x1
3
x
ax
1
3（x）3T3（x）与0的偏差最小。
133
3（x）T3（x）x3x
44从而有a3
4
24
16。
f（x）x，在1,1上求关于span1,x2,x4的最佳平方逼近多项式。
解：
Qf（x）x,x1,1
24
且01,1x,2x，则
则法方程组为
2
2
2
3
5
a0
1
2
2
2
a1
1
3
5
7
2
2
2
2
a2
1
5
7
9
3
解得
a00.1171875
a11.640625
a20.8203125
故f（x）关于span1,x2,x4的最佳平方逼近多项式为
*24
S（x）a0a1xa2x
0.11718751.640625x20.8203125x4
18。
f（x）sinx，在[1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
Qf（x）sinx,x[1,1]
按勒让德多项式P0（x）,P1（x）,P2（x）,P3（x）展开
（f（x）,P0（x））
121sinxdxcosx
1221
（f（x）,P1（x））
（f（x）,P2（x））
（f（x）,P3（x））
1
xsinxdx
12
1321
（x）sinxdx0
1222
（5x33x）sinxdx
1222
2
48（210）
4
则
*
a0*
（f（x）,P0（x））/2
0
*
3（f（x）,P1（x））/2
12
a1*
2
*
a2
5（f（x）,P2（x））/2
0
*
a3
7（f（x）,P3（x））/2
2
168（10）
4
从而f（x）的三次最佳平方逼近多项式为
S3（x）a0P0（x）a1P1（x）a2P2（x）a3P3（x）
12168（210）533
2x4（2x2x）
420（210）x3120（2122）
4x4
3
1.5531913x0.5622285x3
第四章数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
h
（1）hf（x）dxA1f（h）A0f（0）A1f（h）;
2h
（2）2hf（x）dxA1f（h）A0f（0）A1f（h）;
1
（3）f（x）d
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