广义积分概念引入的几何背景分析.docx

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广义积分概念引入的几何背景分析

广义积分概念引入的几何背景分析

宋榕荣

[摘要]咱们在研究定积分时都有直观的几何意义，定积分的被积函数的区间为有限区间，函数为该区间上的有界函数。

当咱们去掉这两个限制时，就取得广义积分，咱们就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景。

[关键字]定积分广义积分几何背景

一、广义积分与定积分之间的区别和联系

（1）形式上：

定积分的区间是有限区间，即上下限都是有限实数，且定积分的被积函数是有界函数，而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界。

（2）内容上：

定积分的被积函数是有界持续函数。

无穷区间[

）的广义积分

，假设

存在，那么广义积分

收敛，不然发散。

类似的有在概念在（

]上的广义积分的收敛发散性。

同时还有概念在（

）上的广义积分的收敛性。

二、无穷区间上的广义积分的几何背景

无穷区间上的广义积分也确实是被积函数的概念域无上限或无下限，这种的广义积分在形式上可分为三种，咱们用三个例子来加以说明：

例1求曲线f（x）=

的下方、

=1的右方、

轴上方的平面区域面积。

分析：

所求面积的区域如下图。

由于区域是不封锁的，故不可用定积分直接求其面积。

但所给区域是确信的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。

在x=1的右边做一条垂直于x轴的直线x=a（a>1）,则曲线f（x）=

、

=1、

=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部份所示），其面积用定积分表示为

。

要求其面积的不封锁区域可想象成右边界在无穷远处的曲边梯形。

该曲边梯形课由阴影部份曲边梯形的右边界x=a沿x轴正方向无穷远处平移取得，故其面积可从形式上类比

到

，而其实质为

（

对应于阴影部份曲边梯形的右边界x=a向右平移至无穷远处）。

故所求面积为

=

。

解：

设曲线f（x）=

的下方、

=1的右方、

轴上方的平面区域的面积为A，则

A=

=

=

=

（

）

=

（1

）

=1

因此曲线f（x）=

的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域的面积为1。

例2求曲线f（x）=

的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积。

分析：

所求面积的区域如下图。

由于区域是不封锁的，故不可用定积分直接求其面积。

但所给区域是确信的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。

在x=-1的左侧做一条垂直于x轴的直线x=a（a<-1）,则曲线f（x）=

、

=-1、

=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部份所示），其面积用定积分表示为

。

要求其面积的不封锁区域可想象成左边界在无穷远处的曲边梯形。

该曲边梯形课由阴影部份曲边梯形的右边界x=a沿x轴负方向无穷远处平移取得，故其面积可从形式上类比

到

，而其实质为

（

对应于阴影部份曲边梯形的右边界x=a向左平移至无穷远处）。

故所求面积为

=

。

解：

设曲线f（x）=

的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积为A，

A=

=

=

（

）

=

（1

）

=1

则曲线f（x）=

的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积为1

例3求曲线f（x）=

下方、x轴上方的平面区域的面积。

分析：

所求区域的面积如下图。

由于区域不是闭合区域，故无法用定积分直接表示其面积。

任作一条垂直于x轴的直线x=c，则区域被分成左、右两个部份。

依照例一、例2的方式，别离在x=c左、右作垂直于x轴的直线x=a与x=b，那么两部份的面积可别离表示为

、

=

。

而所求面积的区域可看成上下边界为曲线

与x轴左右边界别离在左右无穷远处的曲边梯形，故其面积可形式上记为

。

从而所求面积为

=

+

=

+

。

解：

设曲线f（x）=

下方、x轴上方的平面区域的面积为C，那么

C=

=

=

=

=

=

（

）+

+

（

）

=

=

则曲线f（x）=

下方、x轴上方的平面区域的面积为

。

三、无界函数的广义积分的几何背景

假设无界函数f（x）在（a,b]上成心义，在a点周围无界。

依照无界函数广义积分的概念，对任意的

>0，函数f（x）在[a+

b]上可积，当

趋向于0时，函数的广义积分为

=

。

由此可联想到广义积分的几何问题。

如以下图为无界函数f（x）的图像，f（x）在（a,b]上成心义，在a周围无界，曲线f（x）下方、x轴上方y=b右边的区域的面积为A。

分析：

咱们将x=0向左平移

（a<

由f（x），x=

x=b和x轴围成的图形的面积A为

，

当a趋向于0时，所求面积为S=

。

例1求曲线

下方、直线

右方、

轴上方、

轴左方的区域的面积。

分析：

所求面积区域如下图。

由于

为函数

的无穷中断点，故所给区域不闭合。

但平面区域是闭合的（即平面上的任一点在区域的内部、外部或边界上是明确的）。

由于区域不闭合，不能用定积分之直接表示其面积。

在直线

与

之间做一条垂直于

轴的直线

（-1<

<0）,得一曲边梯形（如阴影部份所示），其面积课表示为

。

需求面积的不封锁区域可看成由阴影部份所示的曲边梯形的右边界

从

左侧向直线

无穷平移取得。

故不封锁区域的面积可形式上记为

，其实质为

或

，即

=

。

解：

设所求曲线

下方、直线

右方、

轴上方、

轴左方的区域的面积为A。

A=

=

=

=

（

）

由上述计算结果可知

发散，故所求区域的面积为

。

例2求曲线

下方、直线

左方、

轴上方、

轴右方的区域的面积。

分析：

所求面积区域如下图。

由于

为函数

的无穷中断点，故所给区域不闭合。

但平面区域是闭合的。

由于区域不闭合，不能用定积分直接表示其面积。

在直线

与

之间作一条垂直于

轴的直线

（0<

<1）,得一曲边梯形（如阴影部份所示），其面积课表示为

。

需求面积的不封锁区域可看成由阴影部份所示的曲边梯形的右边界

从

右侧向直线

无穷平移取得。

故不封锁区域的面积可形式上记为

，其实质为

或

，即

=

。

详解法同例1。

例3求函数f（x）=

下方、x=-1右方、x=1左方、x轴上方的区域面积。

分析：

所求面积如图所示。

由

为函数f（x）=

，的无穷中断点知区域不封锁，故其面积不能用定积分来直接表示。

直线

将区域分成左右两个部份，由例一、例2分析知其对应面积别离表示为

＋

。

所求面积可形式上表示为

＝

＋

，故所求面积为

＝

＋

。

解：

设函数f（x）=

下方、x=-1右方、x=1左方、x轴上方的区域面积为S，

求得S为

，即所求面积为

。

例4求曲线f（x）=

（0

）、x=

左侧、

轴上方，

右边的区域的面积。

分析：

所求面积区域如下图。

所给区域不闭合，那么不能用定积分直接求其面积，在

与

之间作一条垂直于

轴的直线

（

）。

解：

令由f（x）=

与x=

，

轴，x=

，

轴所围成的图形面积为S，

S=

d（x）

=

=

=

=

（

）

求得S为

，即所求面积为

。

注：

，因此

，因此设

，那么

即

，因此

四、列举实例对两种广义积分的几何应用进行说明

例1求曲线

下方，

右方、

轴上方的区域的面积。

解：

令曲线

下方，

右方、

轴上方的区域的面积为S，那么

S=

=

=

=

=

例2求曲线

下方、左方

、x轴上方、y轴右方的区域的面积。

解：

令曲线

下方、左方

、x轴上方、y轴右方的区域的面积为S，那么

所求面积为

。

五、介绍广义积分的立体几何应用

例设有一不封锁曲边形，它是由持续曲线f（x）=

（x>0）、x轴、轴及x=a（a>0）所组成，它绕x轴旋转一圈而成立体，求旋转体的体积。

分析：

由于该旋转体不封锁，不能直接用定积分来求，咱们作一个垂直于x轴的平面

去截取该图形，让

无穷趋向于

平面。

解：

设平面

为

，那么在区间[m,a]内任何一个垂直与y轴的平面与那个旋转体相交的截面积

A（y）=

由此咱们取得该旋转体的体积为:

V（y）=

=

六、广义积分的几何意义

（一）无穷区间上的广义积分的几何意义

若

在[

）（或（

]）上概念存在，在

上

时,定积分

在几何上表示曲线

、两条直线

与

轴所围成的曲边梯形的面积。

咱们将直线

无穷向左平移（或将直线

无穷向右平移）取得广义积分

（或

）的几何意义。

在

上

时，同理可得其几何意义。

（二）无界函数的广义积分的几何意义

若

在（

]上有概念，在

点周围无界，且对任意小的

，在

上可积，那么广义积分

的几何意义是曲线

、两条直线

与

轴所围成的曲边梯形的面积。

当

时，即直线

无穷趋向于0时，即得广义积分

的几何意义。

同理可得

在b点周围无界的广义积分的几何意义。

[参考文献]

一、宋开泰、黄象鼎、朱方生微积分：

武汉大学出版社，2005

二、谢盛刚、李娟、陈秋桂微积分：

科学出版社，2004

3、欧阳光中、姚允龙数学分析,2002

4、王永安、广义积分：

定积分在极限思想下的自然延伸

Theconceptofgeneralizedintegralgeometrybackgroundanalysis

AbstractWestudythedefiniteintegralisintuitivegeometricmeaning,thedefiniteintegraloftheintervalforfiniteinterval,thefunctiontotheintervalonaboundedfunction.Whenwegetridoftheselimitations,theresultsinimproperintegrals,weusedtheminthelinksbetweentheGeneralintegralgeometrybackground.

Keyworddefiniteintegralgeneralizedintegralgeometrybackground