广义积分概念引入的几何背景分析.docx

1、广义积分概念引入的几何背景分析广义积分概念引入的几何背景分析宋榕荣摘要 咱们在研究定积分时都有直观的几何意义，定积分的被积函数的区间为有限区间，函数为该区间上的有界函数。当咱们去掉这两个限制时，就取得广义积分，咱们就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景。关键字 定积分 广义积分 几何背景 一、广义积分与定积分之间的区别和联系（1）形式上：定积分的区间是有限区间，即上下限都是有限实数，且定积分的被积函数是有界函数，而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界。（2）内容上：定积分的被积函数是有界持续函数。无穷区间 ）的广义积分，假设存在，那么广义积分收敛，不然发散。类似的有在概念在（上的广

2、义积分的收敛发散性。同时还有概念在（）上的广义积分的收敛性。二、无穷区间上的广义积分的几何背景无穷区间上的广义积分也确实是被积函数的概念域无上限或无下限，这种的广义积分在形式上可分为三种，咱们用三个例子来加以说明：例1 求曲线f(x)= 的下方、=1的右方、轴上方的平面区域面积。 分析：所求面积的区域如下图。由于区域是不封锁的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确信的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=1的右边做一条垂直于x轴的直线x=a(a1),则曲线f(x)= 、=1、=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部份所示），其面积用定积分表示为。要求其面积的不封锁区

3、域可想象成右边界在无穷远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部份曲边梯形的右边界x=a沿x轴正方向无穷远处平移取得，故其面积可从形式上类比到，而其实质为（对应于阴影部份曲边梯形的右边界x=a向右平移至无穷远处）。故所求面积为=。解：设曲线f(x)= 的下方、=1的右方、轴上方的平面区域的面积为A，则 A= = = = () = (1) = 1因此曲线f(x)= 的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域的面积为1。 例2 求曲线f(x)= 的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积。分析：所求面积的区域如下图。由于区域是不封锁的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确信的（即坐标面上任何一

4、点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=-1的左侧做一条垂直于x轴的直线x=a(a0，函数f(x)在a+,b上可积，当趋向于0时，函数的广义积分为= 。由此可联想到广义积分的几何问题。如以下图为无界函数f(x)的图像，f(x) 在(a, b上成心义，在a周围无界，曲线f(x)下方、x轴上方y=b右边的区域的面积为A。分析： 咱们将x=0向左平移(ab),现在问题就转化为定积分的问题。由f(x)，x= ,x=b和x轴围成的图形的面积A为，当a趋向于0时，所求面积为S=。例1 求曲线下方、直线右方、轴上方、轴左方的区域的面积。分析：所求面积区域如下图。由于为函数的无穷中断点，故所给区域不闭

5、合。但平面区域是闭合的（即平面上的任一点在区域的内部、外部或边界上是明确的）。由于区域不闭合，不能用定积分之直接表示其面积。在直线与之间做一条垂直于轴的直线(-10),得一曲边梯形（如阴影部份所示），其面积课表示为。需求面积的不封锁区域可看成由阴影部份所示的曲边梯形的右边界从左侧向直线无穷平移取得。故不封锁区域的面积可形式上记为，其实质为或，即=。解：设所求曲线下方、直线右方、轴上方、轴左方的区域的面积为A。A= = () 由上述计算结果可知发散，故所求区域的面积为。例2 求曲线下方、直线左方、轴上方、轴右方的区域的面积。分析：所求面积区域如下图。由于为函数的无穷中断点，故所给区域不闭合。但平

6、面区域是闭合的。由于区域不闭合，不能用定积分直接表示其面积。在直线与之间作一条垂直于轴的直线(01),得一曲边梯形（如阴影部份所示），其面积课表示为。需求面积的不封锁区域可看成由阴影部份所示的曲边梯形的右边界从右侧向直线无穷平移取得。故不封锁区域的面积可形式上记为，其实质为或，即=。详解法同例1。例3 求函数f(x)= 下方、x=-1右方、x=1左方、 x轴上方的区域面积。分析：所求面积如图所示。由为函数f(x)= ，的无穷中断点知区域不封锁，故其面积不能用定积分来直接表示。直线将区域分成左右两个部份，由例一、例2分析知其对应面积别离表示为。所求面积可形式上表示为，故所求面积为。解：设函数f(

7、x)= 下方、x=-1右方、x=1左方、 x轴上方的区域面积为S， 求得S为，即所求面积为。例4 求曲线f(x)=(0x0）、x轴、轴及x=a(a0)所组成，它绕x轴旋转一圈而成立体，求旋转体的体积。 分析：由于该旋转体不封锁，不能直接用定积分来求，咱们作一个垂直于x轴的平面去截取该图形，让无穷趋向于平面。解：设平面为，那么在区间m ,a内任何一个垂直与y轴的平面与那个旋转体相交的截面积A(y) = 由此咱们取得该旋转体的体积为: V(y) = =六、广义积分的几何意义（一）无穷区间上的广义积分的几何意义 若在)（或（）上概念存在，在上时,定积分在几何上表示曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的

8、面积。咱们将直线无穷向左平移（或将直线无穷向右平移）取得广义积分（或）的几何意义。在上时，同理可得其几何意义。（二）无界函数的广义积分的几何意义若在(上有概念，在点周围无界，且对任意小的，在上可积，那么广义积分的几何意义是曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积。当时，即直线无穷趋向于0时，即得广义积分的几何意义。同理可得在b点周围无界的广义积分的几何意义。参考文献 一、宋开泰、黄象鼎、朱方生 微积分：武汉大学出版社，2005二、谢盛刚、李娟、陈秋桂 微积分：科学出版社，20043、欧阳光中、姚允龙 数学分析, 20024、王永安、广义积分：定积分在极限思想下的自然延伸The concept

9、of generalized integral geometry background analysisAbstract We study the definite integral is intuitive geometric meaning, the definite integral of the interval for finite interval, the function to the interval on a bounded function. When we get rid of these limitations, the results in improper integrals, we used them in the links between the General integral geometry background.Keyword definite integral generalized integral geometry background