广东省新高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》专题高考中的三角函数与解三角形问题.docx

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广东省新高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》专题高考中的三角函数与解三角形问题

2021年广东省新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》

高考专题突破二　高考中的三角函数与解三角形问题

题型一　三角函数的图象和性质

例1（2016·山东）设f（x）＝2

sin（π－x）sinx－（sinx－cosx）2.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g

的值．

解　

（1）由f（x）＝2

sin（π－x）sinx－（sinx－cosx）2

＝2

sin2x－（1－2sinxcosx）

＝

（1－cos2x）＋sin2x－1

＝sin2x－

cos2x＋

－1

＝2sin

＋

－1.

由2kπ－

≤2x－

≤2kπ＋

（k∈Z），

得kπ－

≤x≤kπ＋

（k∈Z）．

所以f（x）的单调递增区间是

（k∈Z）

.

（2）由

（1）知f（x）＝2sin

＋

－1，

把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到y＝2sin

＋

－1的图象，

再把得到的图象向左平移

个单位长度，

得到y＝2sinx＋

－1的图象，

即g（x）＝2sinx＋

－1.

所以g

＝2sin

＋

－1＝

.

思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．

跟踪训练1已知函数f（x）＝5sinxcosx－5

cos2x＋

（其中x∈R），求：

（1）函数f（x）的最小正周期；

（2）函数f（x）的单调区间；

（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

解　

（1）因为f（x）＝

sin2x－

（1＋cos2x）＋

＝5

＝5sin

，

所以函数的最小正周期T＝

＝π.

（2）由2kπ－

≤2x－

≤2kπ＋

（k∈Z），

得kπ－

≤x≤kπ＋

（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递增区间为

（k∈Z）．

由2kπ＋

≤2x－

≤2kπ＋

（k∈Z），

得kπ＋

≤x≤kπ＋

（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递减区间为

（k∈Z）．

（3）由2x－

＝kπ＋

（k∈Z），得x＝

＋

（k∈Z），

所以函数f（x）的对称轴方程为x＝

＋

（k∈Z）．

由2x－

＝kπ（k∈Z），得x＝

＋

（k∈Z），

所以函数f（x）的对称中心为

（k∈Z）．

题型二　解三角形

例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋

cosA＝0，a＝2

，b＝2.

（1）求角A和边长c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解　

（1）∵sinA＋

cosA＝0，

∴tanA＝－

，

又0

，

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，

即28＝4＋c2－2×2c×

，

即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6（舍去）或c＝4，故c＝4.

（2）∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴16＝28＋4－2×2

×2×cosC，

∴cosC＝

，∴CD＝

＝

＝

，∴CD＝

BC，

∴S△ABC＝

AB·AC·sin∠BAC＝

×4×2×

＝2

，

∴S△ABD＝

S△ABC＝

.

思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

跟踪训练2（2017·北京）在△ABC中，∠A＝60°，c＝

a.

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

解　

（1）在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝

a，

所以由正弦定理得sinC＝

＝

×

＝

.

（2）因为a＝7，所以c＝

×7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得

72＝b2＋32－2b×3×

，

解得b＝8或b＝－5（舍去）．

所以△ABC的面积S＝

bcsinA＝

×8×3×

＝6

.

题型三　三角函数和解三角形的综合应用

例3（2018·南通考试）如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝2

米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：

点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF

平方米）．

（1）求f（θ）关于θ的函数关系式，求出定义域；

（2）当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．

解　

（1）过点F作FM⊥BE，垂足为M.

在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝

，∠FEM＝θ，

所以EF＝

，ME＝

，

故AF＝BM＝EF－EM＝

－

，

所以f（θ）＝

（AF＋BE）×AB

＝

×

×2＝

－

，

由题意可知，AF

，

且当点E重合于点C时，EF＝EB＝2

，FM＝2，θ＝

，

所以函数f（θ）＝

－

的定义域为

.

（2）由

（1）可知，

f（θ）＝

－

＝

－

＝2

－

＝3tan

＋

≥2

＝2

，

当且仅当3tan

＝

时，等号成立，

又θ∈

，

∈

，

故当tan

＝

，即

＝

，θ＝

时，四边形ABEF的面积最小，

此时BE＝

＝

，AF＝

－

＝

，f（θ）＝

－

＝2

.

答　当BE，AF的长度分别为

米，

米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2

平方米．

思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB－bcosC＝ccosB.

（1）判断△ABC的形状；

（2）若f（x）＝

cos2x－

cosx＋

，求f（A）的取值范围．

解　

（1）因为asinB－bcosC＝ccosB，

由正弦定理可得sinAsinB－sinBcosC＝sinCcosB.

即sinAsinB＝sinCcosB＋cosCsinB，

所以sin（C＋B）＝sinAsinB.

因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinA＝sinAsinB，

又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝

，

所以△ABC为直角三角形．

（2）因为f（x）＝

cos2x－

cosx＋

＝cos2x－

cosx＝

2－

，

所以f（A）＝

2－

，

因为△ABC是直角三角形，

所以0

，且0

所以当cosA＝

时，f（A）有最小值－

.

所以f（A）的取值范围是

.

1.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）

的部分图象如图．

（1）求函数f（x）的解析式．

（2）求函数f（x）在区间

上的最值，并求出相应的x值．

解　

（1）由题干图象可知|A|＝2，

又A>0，故A＝2.

周期T＝

×

＝

×

＝π，

又T＝

＝π，∴ω＝2.∴f（x）＝2sin（2x＋φ），

由题干图象知f

＝2sin

＝2，

∴

＋φ＝

＋2kπ，k∈Z，φ＝－

＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<

，∴φ＝－

，故f（x）＝2sin

.

（2）∵x∈

，∴2x－

∈

，

∴sin

∈

，2sin

∈[－1，2].

当2x－

＝

，即x＝

时，f（x）取得最大值，

f（x）max＝f

＝2.

当2x－

＝－

，即x＝0时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（0）＝－1.

2．（2018·天津联考）设函数f（x）＝2tan

·cos2

－2cos2

＋1.

（1）求f（x）的定义域及最小正周期．

（2）求f（x）在[－π，0]上的最值．

解　

（1）f（x）＝2sin

cos

－cos

＝sin

－cos

＝sin

－

cos

＋

sin

＝

sin

.

由

≠

＋kπ（k∈Z），

得f（x）的定义域为{x|x≠2π＋4kπ（k∈Z）}，

故f（x）的最小正周期为T＝

＝4π.

（2）∵－π≤x≤0，∴－

≤

－

≤－

.

∴当

－

∈

，

即x∈

时，f（x）单调递减，

当

－

∈

，

即x∈

时，f（x）单调递增，

∴f（x）min＝f

＝－

，

又f（0）＝－

，f（－π）＝－

，

∴f（x）max＝f（0）＝－

.

3.已知函数f（x）＝sin

＋sin

－2cos2

，x∈R（其中ω>0）．

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为

，求函数y＝f（x）的单调递增区间．

解　

（1）f（x）＝

sinωx＋

cosωx＋

sinωx－

cosωx－（cosωx＋1）

＝2

－1＝2sin

－1.

由－1≤sin

≤1，得－3≤2sin

－1≤1，

所以函数f（x）的值域为[－3,1]．

（2）由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y＝f（x）的周期为π，所以

＝π，即ω＝2.

所以f（x）＝2sin

－1，

再由2kπ－

≤2x－

≤2kπ＋

（k∈Z），

解得kπ－

≤x≤kπ＋

（k∈Z）．

所以函数y＝f（x）的单调递增区间为

（k∈Z）．

4．已知点P（

，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）＝

·

.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若A为△ABC的内角，f（A）＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解　

（1）由已知，得

＝（

，1），

＝（

－cosx,1－sinx），

所以f（x）＝

·

＝3－

cosx＋1－sinx

＝4－2sin

，

所以函数f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为f（A）＝4，所以sin

＝0，

又0

<

，A＝

.

因为BC＝3，

所以由正弦定理，得AC＝2

sinB，AB＝2

sinC，

所以△ABC的周长为3＋2

sinB＋2

sinC

＝3＋2

sinB＋2

sin

＝3＋2

sin

.

因为0

，所以

<

，

所以当B＋

＝

，即B＝

时，

△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2

.

5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋

asinC－b－c＝0.

（1）求A；

（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝

，AD＝

，求△ABC的面积．

解　

（1）acosC＋

asinC－b－c＝0，

由正弦定理得sinAcosC＋

sinAsinC＝sinB＋sinC，

即sinAcosC＋

sinAsinC＝sin（A＋C）＋sinC，

亦即sinAcosC＋

sinAsinC

＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC，

则

sinAsinC－cosAsinC＝s