全等模型专题7K字模型.docx

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全等模型专题7K字模型

K形图（三垂直模型）

模型图简介：

1、在△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：

DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：

DE=AD−BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?

请你直接写出这个数量关系，不要证明。

2、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：

①AF=DE；②AF⊥DE.（不需要证明）

（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？

（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

3、已知：

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F。

求证：

AC=2BF。

4、如图，在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90∘,AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD.,

（1）求证：

BE=AD；

（2）求证：

AC是线段ED的垂直平分线：

（3）△DBC是等腰三角形吗?

并说明理由。

5、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90∘,l是AD的垂直平分线,交AD于点M,以腰AB为边作正方形ABEF,EP⊥l于P.求证：

2EP+AD=2CD.

6、

（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形。

如图

（1）,已知：

在△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D.E.证明：

DE=BD+CE.

（2）组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?

如图

（2）,将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D.A. E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角。

请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：

I是EG的中点。

7、正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F.

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：

AF+BF=2OE；

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时。

线段 AF，BF与OE具有什么数量关系?

并说明理由。

（3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系?

请直接写出你的猜想。

8、

（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由．

（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有

（2）中的数量关系？

如果有，请说明

9、如图①，已知A,B为直线

上两点，C为直线

上方一动点，连接AC,BC,分别以AC,BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥

于点D1,过点E作EE1⊥

于点E1.

（1）如图②，当点E恰好在直线

上时（此时点E1与点E重合），试说明DD1=AB.

（2）在图①中，当D,E两点都在直线

的上方时，试探求三条线段DD1,EE1,AB之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，当点E在直线

的下方时，请直接写出三条线段DD1,EE1,AB之间的数量关系．（不需要证明）

8、如图

（1）AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图

（2），将图

（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？

若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

9、

（1）如图

（1），△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P。

请你补全图形，并求出∠APD的度数；

（2）如图

（2），Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC，BM=CN，连接AN、CM相交于点P。

请你猜想∠APM的度数，并写出你的推理过程。

10、在四边形ABCD中，点E在BC上，CD=BE，DA=DE，∠DCE=∠ADE。

（1）如图1，若∠ADE=60,求证：

∠ABC=60

（2）如图2，若∠ADE=90,点G在BD上，连接AC、GC，GC=GB，若DG=4,求AC的长。

（3）如图3，若∠ADE=90，延长EB到点M,使BM=BE,直线AM交直线CD于点N，若CD=4.DN=5,求CE的长。