杆+导轨模型专题.docx
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杆+导轨模型专题
«"杆+导轨"模型》专题
永安一中吴庆堂
第一部分考情分析
电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶
于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力.通过
近年高考题的研究，此部分每年都有杆+导轨”模型的高考题出现。
涉及的问题主要有四个
方面：
一、电学问题：
主要包括等效电路、法拉第电磁感应定律E=nA砂△t、E=BLv、楞次定律、右手定则、闭合电路欧姆定律l=E/（R+r）、串并联电路基本规律、焦耳定律Q=l2Rt、电流定义式l=q/At、安培力公式F=BIL、左手定则等等。
解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即
把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路
感应电动势的大小相当于电源电动势。
其余部分相当于外电路，并画出等效电路图•此时，
处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端
有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。
变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法。
巧妙地运用类同”变
换，类似”变换，类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化。
二、力学问题：
主要包括受力分析、牛顿第二定律F合=ma、导体棒的运动状态变化过
程分析和运动性质判断（a和v变化情况）。
分析的基本思路是：
a与v方向相反或相同tv减小或增大tE、I、F安均减小或增大tF合变化ta变化t。
此类问题中力现象、电磁现象相互联系、相互制约和影响，其基本形式如下:
电磁感应
阻诣
闭合电■路
槪对电涼作用匾帧
三、能量问题：
主要包括动能定理、能量转化和守恒定律等等。
分析的基本思路有两条：
（一）是分析清楚整个过程中有哪几种形式的能量参与转化，哪些形式的能量增加了，哪些
形式的能量减少了。
再利用能量守恒建立方程式；
（二）是注意功不是能量，仅是能量转化
的量度。
而且不同的力做的功量度了不同形式的能量转化，如安培力做的负功，其绝对值（即
克服安培力做的功）量度了有多少其他形式的能转化为电能（如电磁阻尼），对纯电阻电路
来说，这些电能又通过电流做功全部转化为内能（即焦耳热）；相反，安培力做的正功量度
了有多少电能转化为其他形式的能（如电磁驱动）。
而合外力做的功量度的是物体动能的变
化，这就是动能定理。
所以，弄清了各种力做的功所量度的不同形式的能量转化，就可以利
用功能关系如动能定理建立方程。
四、图像问题：
主要包括电磁感应现象中所涉及的某个物理量与时间或位移的关系两种
形式。
女口B—t、0—t、E—t、i—t、u—t、F—t、v—t、E—x、i—x、u—x、F—x、v—x等等。
基本要求有识别图像、求作图像、灵活应用图像三个层面。
分析的基本思路将在图像专题中详细介绍，这里就不再赘述。
第二部分命题演变
杆+导轨”模型类试题命题的基本道具”：
导轨、金属棒、磁场，其变化点有:
1导轨
（1）导轨的形状：
常见导轨的形状为U形，还有圆形、三角形、三角函数图形等；
（2）导轨的闭合性：
导轨本身可以不闭合，也可闭合；
（3）导轨电阻：
不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻；
（4）导轨的放置：
水平、竖直、倾斜放置等等.
[例1]（2003上海22）如图1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，0、
C处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），Ri=4◎R2=8Q（导轨其它部分电阻不计）•导轨
OAC的形状满足方程y=2sin（n/3）（单位：
m）.磁感强度B=0.2T的匀强磁场方向垂直于
ffi1
导轨平面•一足够长的金属棒在水平外力恒定的速率v=5.0m/s水平向右在导轨上从点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC
计棒的电阻.求：
（1）外力F的最大值；
（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝
大功率；
（3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系.
思路点拨：
思路点拨：
本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时
间而变化，但第
（1）
（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度.解第
（3）问时可根据条件推导出外力F的表达式及电流I与时间t的关系式，由三角函数和其
他条件求出需要的量即可.
2.金属棒
（1）金属棒的受力情况：
受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力;
（2）金属棒的初始状态：
静止或运动;
（3）金属棒的运动状态：
匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动;
（4）金属棒切割磁感线状况：
单棒或双棒；整体切割磁感线或部分切割磁感线；出现"双棒”时，一般是一动一静或一棒切割磁感线运动另一棒作不切割磁感线的运动。
（5）金属棒与导轨的连接：
金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题.
两导轨间的距离为L,
［例2］如右图甲所示，MNPQ是两根足够长的固定平行金属导轨,
导轨平面与水平面的夹角为a,在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B,在导轨的MP端连接一个
阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m从静
止释放开始沿导轨下滑.求ab棒的最大速度.（要求画出ab棒的受力图，已知ab与导轨间的动摩擦因数为口，导轨和金属棒的电阻不计）
思路点拨：
本题考查电磁感应定律与力学知识的综合运用，涉及的知识面广，但物理状态可以分析清楚：
导体受力、运动速度变化t感应电动势变化t感应电流变化t安培力变化t合外力变化t加速度变化；直到加速度等于零时，导体达稳定运动状态，速度最大，列出平
衡方程求出最后结果.
题后反思：
解决此类冋题首先要建立一个“动T电T动”的思维顺序。
此类冋题中力现象、
电磁现象相互联系、相互制约和影响，其基本形式如下:
电磁感应
阻碍
闭合电■路
感应电流
分析方法和步聚可概括为：
（1）找准主动运动（即切割磁感线）者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动
势大小和方向.
（2）根据等效电路图，求解回路电流大小及方向
（3）分析导体棒的受力情况及导体棒运动后对电路中电学参量的“反作用”.
（4）从宏观上推断终极状态
（5）列出动力学方程或平衡方程进行求解.
3.磁场
（1）磁场的状态：
磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化.
（2）磁场的分布：
有界或无界.
电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式
E=n△砂△t=n△（BS）/△t，有下列四个模型转换：
I。
B变化，S不变
①B随时间均匀变化
如果B随时间均匀变化，则可以写出B关于时间t的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题.
【例3】如图（a）所示，一个电阻值为R匝数为n的圆形金属线圈与阻值R=2R的
电阻连接成闭合回路，线圈的半径为在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈
平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、
纵轴的截距分别为t0和B。
导线的电阻不计，求0至t,时间内
秒增量为k,同时棒保持静止.求棒中的感应电流.在图上标出感应电流的方向;
（2）在上述
（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？
（3）若t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中
不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？
思路点拨：
将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k的物理意义，写出可与
vt=v0+at相对照的B的表达式B=B0+kt;第（3）问中B、S均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题.
n.B不变，S变化
①金属棒运动导致S变化
金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为E=BLv,
X
X
X
X
r
m
X
J*
X
B
xf
L
X
X
X
O__X__X__
此类题型较常见，如例5.
[例5]（2002上海22）如图所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5Q的电阻，在x%处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度
B=0.5T.—质量为m=0.1kg的金属直杆垂
直放置在导轨上，并以v0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F的
共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反.设导轨和
金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好.求：
（1）电流为零时金属杆所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向；
（3）保持其他条件不变，而初速度vo取不同值，求开始时F的方向与初速度vo取值的关系.
思路点拨：
杆在水平外力F和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a方向向左.杆
的运动过程：
向右匀减速运动t速度为零t向左匀加速运动；外力F方向的判断方法：
先假设，再根据结果的正负号判断.
②导轨变形或线框转动导致S变化
常常根据法拉第电磁感应定律解题（略）。
另外还可在S不规则变化上做文章，如金属
棒旋转、导轨呈三角形等等.
4.双杆+导轨”模型
由于不涉及动量定理和动量守恒定律等内容，也不涉及电源反接、串联和并联等问题，故目
前涉及的“双棒+导轨”模型一般是双棒一动一静或一者切割磁感线运动而另一者做无切割磁感线运动。
量为m电阻为R与导轨垂直的金属杆ab、cd，其
［例6］如图所示，足够长的光滑平行金属导轨ef和gh水平放置且相距L,在其左端各固定个半径为r的四分之三金属光滑圆环，两圆环面平行且竖直。
在水平导轨和圆环上各放有一根质
余电阻不计。
整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。
当用水平向
右的恒力F-3mg拉细杆ab,并最终达到匀速运动时，杆cd恰好静止在圆环上某处，试
求：
（1）杆ab做匀速运动时，回路中的感应电流的大小和方向；
（2）杆ab做匀速运动时的速度；（3）杆cd静止的位置距圆环最低点的高度。
题后反思：
电磁感应中的双金属棒导轨问题，由于受到考试说明的要求限制，一般是双
棒一动一静或一者切割磁感线运动而另一者做无切割磁感线运动，问题的本质和分析方法与
单棒+导轨的情形类似。
［例7］如图相距为L的两光滑平行导轨，平行放置在倾角为0
的斜面上，导轨的右端接有电阻R（轨道电阻不计），斜面处在一
匀强磁场B中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为m,电阻为2R
的金属棒ab放在导轨上，与导轨接触良好，由静止释放，下滑距离S后速度最大，则
A.下滑过程电阻R消耗的最大功率为m2g2Rsin20B2L2；B.下滑过程电阻R消耗的最大功率为3m2g2Rsin20B2L2；
C•下滑过程克服安培力做功9m3g2R2sin202B4L4；
D.下滑过程克服安培力做功mgSsin-9m3g2R2sin20/2B4L4。
在只有动生电磁感应的
题后反思：
犹如滑动摩擦力对系统做功，使系统内能增加一样，
纯电阻电路中克服安培力做功也使系统内能增加。
当电源内阻不计时，系统焦耳热就是外电
路电阻上焦耳热。
否则外电阻焦耳热只是总焦耳热的一部分。
其次，安培力与摩擦力又有区别。
滑动摩擦力F=yF与压力成正比，通常表现为恒
力。
而安培力F=B2L2v/R总正比于速度v,通常为变力。
因此，求安培力做的功，除非恒力，一般不能用功的定义式计算，这时用能量知识（如动能定理或能量守恒）可方便求出W安
或Q,再依两者关系按题意求出答案。
第三部分预测
如火如荼的新课程改革体现了培养高素质人才的基本框架一一从知识与技能”、过程
与方法”、情感态度与价值观”三个方面设计课程目标、课程的内容、结构和实施机制.高考的命题趋势也必将体现新课改的精神.根据考纲要求掌握的知识，杆+导轨”模型试题往
往以选择题和计算题的题型出现，且多以计算题的面目出现，高考命题也不出乎以上所介绍
的四个模型转换的角度，将多个命题变化点进行不同的组合，从而能命出角度多样的新题.而
多个命题变化点的组合，凸现了对学生能力的考查.除考查学生的理解、分析、推理、综合、
计算等能力外，试题常常还可以借助函数图象，考查学生的读图、画图能力，以计算题的题
型加强对学生进行了这方面的考查.
［例8］（2004上海22）如图所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L,一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆与
XX
X
F
XX
*——
TXX
XX
导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下，用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动.当改变
拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F
的关系如右下图.（取重力加速度g=10m/s2）
（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？
（2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Q,磁感应强度B为多大？
（3）由v-F图线的截距可求得什么物理量？
其值为多
少？
题后反思：
试题可以杆+导轨”模型为载体，将力学、静电场（如电路中接入电容器）、电路、磁场及能量等知识进行整合，在考查学生的能力外，同时也考查了相关知识的掌握情况.
［例9］如图所示，一竖直放置的金属圆环，总电阻为R,有一金属杆长为L，一端绕环
心O自由转动，另一端固定一质量为m的金属球a，球套在环上可无摩擦地沿环滑动。
Ob
为电阻不计的导线，金属杆的电阻设为r，整个装置放在磁感强度为B的匀强磁场中，磁场方向如图。
当金属杆从水平位置由静止释放后运动至竖直位置时，a球的速度为V，求：
（1）杆运动至竖直位置时，磁场力的功率多大？
（2）在上述过程中有多少电能转化为内能？
（金属杆质量不计）
答案：
（1）B2L2v/（R+4r）;
（2）mgL-m//2。
［例10］如图所示，两根金属导轨平行放置在倾角为30°
的斜面上，导轨左端接有电阻R8，导轨自身电阻不计•匀
强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为B0.5T.质量为m0.1Kg，电阻为r2的金属棒ab由静止释放，沿导轨下滑，如图所示.设导轨足够长，导轨宽度L2m，金属棒ab下滑过
［例11］在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形
线圈abed，现在外力的作用下从静止开始向右运动,
磁场区域的宽度大于线圈边长。
测得线圈中产生的感应电
动势E的大小和运动时间变化关系如图。
已知图像中三段时间分别为AtAtAt，且在时间内外力为恒力。
（1）定性说明线圈在磁场中向右作何种运动？
（2）若线圈be边刚进入磁场时测得线圈速度v,be两点间电压U,求At寸间内，线圈中的平均感应电动势。
（3）若已知△*:
At:
A3=2:
2:
1，则线框边长与磁场宽度比值为多少？
（4）若仅给线圈一个初速度Vo使线圈自由向右滑入磁场，试画出线圈自be边进入磁场开始，其后可能出现的v-t图像。
（只需要定性表现出速度的变化，除了初速度Vo外，不需要标出关键点的坐标）
［例12］如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为I，左侧接一阻值为R
的电阻。
空间有竖直向下的磁感应强度为R的匀强磁场。
质量为m,电阻为r的导体棒CD
垂直于导轨放置，并接触良好。
棒CD在平行于MN向右的水平拉力作用下，从静止开始做
加速度为a的匀加速直线运动。
求
（1）导体棒CD在磁场中由静止开始运动到ti时刻的拉力Fi
（2）若撤去拉力后棒的速度v随位移x的变化规律满足，且棒在撤去拉力后在磁场中运
动距离s时恰好静止，则拉力作用的匀加速运动的时间为多少？
（3）请定性画出导体棒CD从静止开始运动到停止全过程的v-t图象。
图中横坐标上的t°为撤去拉力的时刻，纵坐标上的v0为棒CD在t0时刻的速度。
（本小题不要求写出计算过程）
7
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第四部分应试策略
学生在平时的学习中要重基础知识的理解和能力的培养。
（1）全面掌握相关知识•由于杆+导轨”模型题目涉及的知识点很多，如力学问题、电路问题、磁场问题、能量问题及图像问题等，学生要顺利解题需全面理解相关知识，常用的基本规律有法拉第电磁感应定律、楞次定律、左右手定则、欧姆定律、焦耳定律、串并联电路规律、电流定义式、安培力公式及力学中的运动学规律、动力学规律、动能定理、能量转化和守恒定律等。
（2）抓住解题的切入点：
受力分析，运动分析，过程分析，能量分析。
（3）自主开展研究性学习.学生平时应用研究性的思路考虑问题，可做一些不同类型、
不同变化点组合的题目，注意不断地总结，并可主动变换题设条件进行研究学习，在高考时
碰到自己研究过的不同变化点组合的题目就不会感到陌生了。
杆+导轨”模型问题的物理情境变化空间大，题目综合性强，所以该模型问题是高考的热点，同时也是难点，从这个意义上讲重视和加强此类问题的探究是十分必要和有意义的，另外还可起到触类旁通的效果，让学生同时具备解决杆+导轨”等其它模型问题的能力。
强化闯关：
1、如图甲所示，MNCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀
强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边MN（在水平面内）平行.一正方形金属框abed放在斜
面上，ab边平行于磁场边界•现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到
cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图乙所示•已知金属框电阻为R,质量为m，
重力加速度为g,图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求
（1）斜面倾角
的正弦值和磁场区域的宽度；
（2）金属框cd边到达磁场边界EF前瞬间的加速度；
2、如图，阻值不计的光滑金属导轨MN和PQ水平放置，其最右端间距d为1m，左端MP,
接有阻值，为4的电阻，右端NQ留与半径R为2m的
光滑竖直半圆形绝缘导轨平滑连接；一根阻值不计的长为
L=1.2m，质量m=5kg的金属杆ab放在导轨的EF处，
EF与NQ平行。
在平面NQDC的左侧空间中存在竖直向下的匀强磁场B，平面NQDC的右侧空间中无磁场。
现杆
ab以初速度vo=12m/s向右在水平轨道上做匀减速运动，进入半圆形导轨后，恰能通过最高位置CD并恰又落到EF位置。
（g取10m/s2）
求：
（1）杆ab刚进入半圆形导轨时，导轨对杆的支持力；
（2）EF到QN的距离；
（3）磁感应强度B的大小
3、如图甲所示是某同学设计的一处振动发电装置的示意图，它的结构是一个套在辐向形永久磁铁槽中的半径为r=0.1m、匝数n=20的线圈，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布（其
右视图如图乙所示）。
在线圈所在位置磁感应强度B的大小均为B=0.2T，线圈的电阻
R1=0.5，它的引线处接有R2=9.5的小电珠L。
外力推动线圈框架的P端，使线圈沿轴线做往复运动，便有电流通过电珠。
当线圈向右的位移x随时间t变化的规律如图丙所示时
（x取向右为正），求：
（1）线圈运动时产生的感应电动势E的大小；
（2）线圈运动时产生的感应电流I的大小，并在图丁中画出感应电流随时间变化的图像，
至少画出0—0.3s的图像（在图甲中取电流由C向上流过电珠L到D为正）；
（3）每一次推动线圈运动过程中作用力F的大小；
（4）该电机的输出功率P（摩擦等损耗不计）。
甲
S.O
4O・
.,,tr/s
CJ02030.40.50.6*
4、如图所示，光滑的平行水平金属导轨MN
PQ相距I,在M点和P点间连接一个阻值为R
的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁
感应强度为B。
一质量为m电阻为r、长度也刚好为I的导体棒ab垂直搁在导轨上，与
磁场左边界相距do。
现用一个水平向右的力F拉棒ab，使它由静止开始运动，棒ab离开
磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随ab与初
始位置的距离x变化的情况如图，Fo已知。
求:
（1）
棒ab离开磁场右边界时的速度
（2）
棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能
（3）
do满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动
s
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N
2Fo
Fo
O
5.如图所示，行导轨，其中ac、与水平面的夹角为
x
ace和bdf是间距为I的两根足够长平
bd段光滑，ce、df段粗糙，导轨平面
e.整个装置处在磁感应强度为B,方
ab两端连有阻值为
向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，R的电阻。
若将一质量为M的金属棒置于ef端，今用大小为F,方向沿斜面向上的恒力把金属棒从ef位置由静止推
至距ef端s处的cd位置（此时金属棒已经做匀速运动），现撤去恒力F,金属棒最后又回到ef端（此时金属棒也已经做匀速运动）。
若不计导轨和金属棒的电阻，且金属棒与ce、df段的动摩擦因数为口。
求：
（1）金属棒上滑过程中的最大速度；
（2）金属棒又回到ef端的速度；不一定是下滑过程中的最大速度！
（3）金属棒自ef端上滑再回到ef端的过程中，电阻R产生的焦耳热。
6.（10福建高考）如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为
轨上端连接一个定值电阻。
O
do
do+d
B的绝缘斜面上，导导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触。
斜面上水平
虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。
现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止。
当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时
b棒已滑离导轨。
当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动。
已知a棒、b棒和定值
电阻的阻值均为R，b棒的质量为m，重力加速度为g
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