勾股定理全章导学案.docx

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勾股定理全章导学案

鸡西市第十九中学学案

班级姓名

学科

数学

课题

勾股定理

课型

新课

时间

年月日

人教版

八年级下

学习目标

1．探索勾股定理，记住勾股定理的内容.

2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边.

3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题

重点

难点

勾股定理的内容及证明。

勾股定理的证明

学习内容

【知识回顾】

①含有一个的三角形叫做直角三角形。

②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b,则S△ABC＝。

③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为。

④完全平方公式：

（a±b）2＝.

在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB＝。

【实验探究】

（1）、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长

问题：

发现+与，+和的关系吗？

，即+，+

【勾股定理的发现】

相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请同学们也观察一下，看看能发现什么？

结论1：

以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的等于

以为边长的大正方形的面积。

结论2：

等腰直角三角形三边之间的特殊关系：

斜边的等于两直角边的。

类比思考：

等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？

观察下面两幅图：

填表：

A的面积

B的面积

C的面积

左图

右图

你是怎样得到正方形C的面积的？

与同伴交流．

猜想命题：

如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________________

【试着填一填】在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=6，b=8，则c=______；

②若a=15，c=25，则b=______；③若c=61，b=60，则a=_____。

【勾股定理的验证】（赵爽弦图）

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

证明：

4S△+S小正=S大正=

根据的等量关系：

=

由此我们得出：

【归纳定理】直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方.

如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么________

除了这个证明，还有毕达哥拉斯的证法，有兴趣的同学可以试一下。

【当堂训练】

1、在Rt△ABC，∠C=90°

（1）已知a=b=5,求c。

（2）已知a=1,c=2,求b。

（3）已知c=17,b=8,求a。

（4）已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2、已知，AB=17AC=10,BC边上高AD=8，则BC长为。

3、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是

6和3.则斜边长是。

4、若直角三角形三边存在关系，则最长边是。

5、在，∠C＝90°AB=34,并且AC:

BC=8:

15,则AC=BC=

6、直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为．

7、一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为．

8、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为____．

9、已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是_____

10、如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别

为,且；

11、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为

12、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为

13、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?

14、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。

（1）求DC的长。

（2）求AB的长。

《勾股数与三角板》专题

班级姓名

冰冻三尺，非一日之寒；人生祸福，皆多年累积。

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a,b,c）。

满足,a,b,c则叫做勾股数，还曾叫做毕氏三元数。

任何一个勾股数组（a,b,c）内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组（na,nb,nc）仍然是勾股数。

常见勾股数：

3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13

连续的勾股数只有3，4，5

常用勾股数口诀记忆3，4，5：

三四五5，12，13：

5·12记一生

　8，15，17：

八月十五再一起7，24，25：

企鹅是二百五

练习

1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：

7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿

2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

252－242＝＿＿＿，　　　②52＋122＝＿＿＿，

③＝＿＿＿，④＝＿＿＿

3.判断下列数字能否构成直角三角形的三条边

3，4，5　　②，，　　③，，

④6，8，10　　⑤，2，　⑥，2，

【勾股定理与三角板】

左图，含的三角板三边关系：

1:

1：

（从小到大）

右图，含和的三角板三边关系：

1:

：

2（从小到大）

1.如图，在中，，，AD是的平分线。

已知，那么AD=____________。

2.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，

你能算出AM的长吗？

3.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，

∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．

《勾股定理的应用》专题

班级姓名

始终保持积极向上的精神状态，就会创造出惊人的成绩。

【类型一】高线的两种情况

1.在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC=　_________　．

2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　　）

A．42B．32C．42或32D．37或33

【类型二】梯子有关的测量

例：

如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.那么梯子底端B也外移0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

1．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动

2.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移米

3.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是米

4.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．

【类型三】过门的问题

例：

在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．

问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

1.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.

【类型四】池塘里的芦苇

例：

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

（参见教材88页）

1.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

2.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

【类型五】折了的大树

1.如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是____________米.

2．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

【类型六】小鸟飞树

1.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

2.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．

【类型七】圆杯插筷子

1.如图，是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒（直线型）最长可以是多长?

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

【类型七】旗杆和电线杆子

1.如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直,则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米.求旗杆的高度.

2.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

【类型八】其他烂七八糟的

1.如图,为测得到池塘两岸点和点间的距离,一个观测者在点设桩,使,并测得长20米、长16米,则、两点间距离是米｡

《勾股定理——翻折》专题

班级姓名

即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。

【翻折直角三角形】

1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。

2.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

将△ABC折叠,使点B于点A重合，折痕为DE,求CE的长。

还可以求哪些线段的长？

【翻折矩形】

1.已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，使AB与对角线AC重合,则可求哪些线段的长度？

2.已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将△ABC沿对角线AC折叠，点B落在E处，

CE交AD于F,则可求哪些线段的长度？

3.一矩形纸片，AB=6，BC=10，如图在BA上取一点E,将△EBC沿EC折叠，使点B落在AD边上的F处，则可求图中哪些线段的长度？

翻折的实质是全等，充分利用全等带来的等量关系。

恰当的设某条线段为x，尽可能的利用x表示多条线段。

寻求最佳的直角三角形，运用勾股定理列方程。

【提高训练】

1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

若将△ABC折叠,使点A与点C重合