初二下册数学知识点最新版 Microsoft Word 文档.docx

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初二下册数学知识点最新版

第一章证明

（二）

1、你能证明它吗？

（1）三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等

判定：

SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性质及推论

性质：

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

推论：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）

（3）等边三角形的性质及判定定理

性质定理：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

3、线段的垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线

（1）角平分线的性质及判定定理

性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：

在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

（2）三角形三条角平分线的性质定理

性质：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作出角平分线

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

一.不等关系

※1.一般地,用符号“<”（或“≤”）,“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.

¤2.要区别方程与不等式:

方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

※3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数<===>大于等于0（≥0）<===>0和正数<===>不小于0

非正数<===>小于等于0（≤0）<===>0和负数<===>不大于0

二.不等式的基本性质

※1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式,不等号的方向不变,即:

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,

.

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac

※2.比较大小:

（a、b分别表示两个实数或整式）

一般地:

如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a

即:

a>b<===>a-b>0

a=b<===>a-b=0

aa-b<0

（由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

三.不等式的解集:

※1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

※2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.

¤3.不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:

①边界:

有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;

②方向:

大向右,小向左

四.一元一次不等式:

※1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.

※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.

※3.解一元一次不等式的步骤:

①去分母;

②去括号;

③移项;

④合并同类项;

⑤系数化为1（不等号的改变问题）

※4.一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax

①当a>0时,解为

;

②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;

当a=0时,且b≥0,则无解;

③当a<0时,解为

;

¤5.不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题）

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:

①审:

认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;

②设:

设出适当的未知数;

③列:

根据题中的不等关系,列出不等式;

④解:

解出所列的不等式的解集;

⑤答:

写出答案,并检验答案是否符合题意.

五.一元一次不等式与一次函数

六.一元一次不等式组

※1.定义:

由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.

※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.

几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.

※3.解一元一次不等式组的步骤:

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集;

（2）利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数,且a

一元一次不等式

解集

图示

叙述语言表达

x>b

两大取较大

x>a

两小取小

a

大小交叉中间找

无解

大小分离没有解

（是空集）

第三章图形的平移与旋转

【知识要点】

（1）图形平移的基本要素及特点是什么？

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定单位距离，这样的图形运动称为平移．

要素1：

沿某一个方向移动；

要素2：

移动一定的单位距离．

平移的特点：

平移不改变图形的形状和大小．

（2）图形平移的作图中应注意什么问题？

因为图形经过平移后，对应点所连的线段平行，（或在同一条线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等．

如图1所示，对应点所连的线段AD∥BE∥CF，且AD=BE=CF，

BC∥EF，BC=EF．AC∥DF，AC=DF；

对应角的关系是∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠GAB=∠FDE．

所以在图形平移的作图中要注意以下几点：

①首先确定图形中的关键点；

②将这些关键点沿指定的方向移动指定的单位距离；

③然后连接对应的部分形成相应的图形．

（3）图形旋转的基本要素及特点是什么？

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．

要素1：

绕一个定点（旋转中心）

要素2：

沿某个方向向旋转一定的角度．

图形旋转的特点：

旋转不改变图形的形状和大小．

（4）图形旋转的作图中应注意什么问题？

因为图形经过旋转后，对应点旋转的角度都相等，方向都相同，对应点到旋转中心的距离相等，且对应线段、对应角相等．

如图所示，旋转中心与对应点所连的线段的关系是OA=OD，

OB=OE，OC=OF；对应线段的关系是AB=DE，BC=EF，CA=FD；

图2

对应角的关系是∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠CAB=∠FDE

所以在图形旋转的作图中要注意以下几个问题：

①首先确定旋转中心；

②其次确定图形的关键点；

③将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；

④然后连接对应的部分，形成相应的图形．

（5）中心对称图形的基本要求是什么？

他有什么特点？

中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形．

在平面内，将一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，则这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．

要素1：

绕一个定点（对称中心）

要素2：

旋转180°后与自身重合．

中心对称图形的特点：

图形绕着它自身的中心旋转180°后能与自身重合．

第四章分解因式

一.分解因式

※1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

※2.因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

（1）整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

二.提公共因式法

※1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:

※2.概念内涵:

（1）因式分解的最后结果应当是“积”;

（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式;

（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

※3.易错点点评:

（1）注意项的符号与幂指数是否搞错;

（2）公因式是否提“干净”;

（3）多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

三.运用公式法

※1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

※2.主要公式:

（1）平方差公式:

（2）完全平方公式:

¤3.易错点点评:

因式分解要分解到底.如

就没有分解到底.

※4.运用公式法:

（1）平方差公式:

①应是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方;

③二项是异号.

（2）完全平方公式:

①应是三项式;

②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

※5.因式分解的思路与解题步骤:

（1）先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

（2）再看能否使用公式法;

（3）用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

四.分组分解法:

※1.分组分解法:

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如:

※2.概念内涵:

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

※3.注意:

分组时要注意符号的变化.

五.十字相乘法:

※1.对于二次三项式

将a和c分别分解成两个因数的乘积,

且满足

往往写成

的形式,将二次三项式进行分解.

如:

※2.二次三项式

的分解:

※3.规律内涵:

（1）理解:

把

分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.

（2）如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

※4.易错点点评:

（1）十字相乘法在对系数分解时易出错;

（2）分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

第五章分式

一.分式

※1.两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成

的形式.如果除式B中含有字母,那么称

为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

※2.整式和分式统称为有理式,即有:

※3.进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变.

※4.一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二.分式的乘除法

※1.分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

即:

※2.分式乘方,把分子、分母分别乘方.

即:

逆向运用

当n为整数时,仍然有

成立.

※3.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

三.分式的加减法

※1.分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

※2.分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

（1）同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:

（2）异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

※3.概念内涵:

通分的关键是确定最简分母,其方法如下:

最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.

四.分式方程

※1.解分式方程的一般步骤:

①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.

※2.列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意;

②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出（分式）方程;

④解方程,并验根;

⑤写出答案.

第6章四边形知识点归纳

平行四边形

平行四边形定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

平行四边形性质1：

平行四边形的两组对边分别相等。

平行四边形性质2：

平行四边形的两组对角分别相等。

平行四边形性质3：

平行四边形的两条对角线互相平分。

平行四边形判定1：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形判定2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定3：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定4：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形判定5：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行线之间的距离及特征

平行线之间的距离定义：

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离特征1：

平行线之间的距离处处相等。

平行线之间的距离特征2：

夹在两条平行线之间的平行线段相等。

矩形

矩形定义1：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

矩形定义2：

有三个角是直角的四边形叫做矩形

矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。

矩形性质1：

矩形的四个角都是直角。

矩形性质2：

矩形的对角线相等且互相平分。

（注意：

矩形具有平行四边形的一切性质）

直角三角形的性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

矩形判定1：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形判定2：

有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形判定3：

对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形

菱形定义1：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

菱形定义2：

四条边都相等的四边形叫做菱形。

菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

菱形性质1：

菱形的四条边都相等。

菱形性质2：

菱形的对角线互相垂直平分。

菱形性质3：

菱形的每一条对角线平分一组对角。

菱形的面积：

菱形的面积等于对角线乘积的一半。

推广：

对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。

菱形判定1：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形判定2：

四条边都相等的四边形是菱形。

菱形判定3：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

菱形判定4：

每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

（注意：

菱形具有平行四边形的一切性质）

正方形

正方形定义1：

有一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形定义2：

有一个角是直角的菱形叫做正方形。

正方形定义3：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。

正方形性质1：

正方形的四个角都是直角。

正方形性质2：

正方形的四条边都相等。

正方形性质3：

正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。

正方形判定1：

有一组邻边相等的矩形是正方形。

正方形判定2：

有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形判定3：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

正方形判定4：

对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。

（注意：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）

梯形

梯形定义：

只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

梯形判定1：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

梯形判定2：

一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

直角梯形定义：

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

等腰梯形定义：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。

等腰梯形性质1：

等腰梯形的两腰相等、两底平行。

等腰梯形性质2：

等腰梯形同一底边上的两个内角相等。

等腰梯形性质3：

等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形判定1：

两腰相等的梯形是等腰梯形。

等腰梯形判定2：

在同一地上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

等腰梯形判定3：

对角线相等的梯形是等腰梯形。

中位线

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（三角形有三条中位线）

三角形中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线定义：

连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。

（梯形的中位线有且只有一条）

梯形中位线性质：

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

梯形面积：

梯形面积等于中位线与高的乘积。