高中数学直线的倾斜角和斜率教案三.docx

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高中数学直线的倾斜角和斜率教案三

两条直线的平行与垂直

一、教学目标

（一）知识教学点

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．

（二）能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

（三）学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

二、教材分析

1．重点：

两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

2．难点：

启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．

3．疑点：

对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．

三、活动设计

提问、讨论、解答．

四、教学过程

（一）特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；

（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

（二）斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是

l1：

　y=k1x+b1；　l2：

　y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．

∴tgα1=tgα2．

即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

eq\x（

）

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出　α1=90°+α2．

l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

eq\x（

）

（三）例题

例1　已知两条直线

l1：

　2x-4y+7=0，　L2：

　x-2y+5=0．

求证：

l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：

（1）两直线斜率相等；

（2）两直线不重合．

证明：

把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

例2求过点　A（1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即　2x+3y+10=　0．

解法2　因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A（1，-4）代入有m=10，故所求直线方程为

2x+3y+10=0．

例3　已知两条直线

l1：

　2x-4y+7=0，　l2：

　2x+y-5=0．

求证：

l1⊥l2．

∴l1⊥l2．

例4　求过点A（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．

解法1　已知直线的斜率k1=-2．

∵所求直线与已知直线垂直，

根据点斜式得所求直线的方程是

就是　x-2y=0．

解法2　因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1）代入方程得m=0，所求直线的方程是

x-2y=0．

（四）课后小结

（1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；

（3）与已知直线平行的直线的设法；

（4）与已知直线垂直的直线的设法．

五、布置作业

1．（1．7练习第1题）判断下列各对直线是否平行或垂直：

（1）y=3x+4和2x-6y+1=0；

（2）y=x与3x十3y-10=0；

（3）3x+4y=5与6x-8y=7；

解：

（1）平行；

（2）垂直；（3）不平行也不垂直；（4）垂直．

2．（1．7练习第2题）求过点A（2，3），且分别适合下列条件的直线方程：

（1）平行于直线2x+5-5=0；

（2）垂直于直线x-y-2=0；

解：

（1）2x+y-7=0；

（2）x+y-5=0．

3．（1．7练习第3题）已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：

（1）平行；

（2）垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．

解：

（1）另一条也没有斜率．逆命题：

两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．

（2）另一条斜率为零．逆命题：

两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．

4．（习题三第3题）已知三角形三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3），求这个三角形的三条高所在的直线方程．

也就是　2x+7y-21=0．

同理可得BC边上的高所在直线方程为

3x+2y-12=0．

AC边上的高所在的直线方程为

4x-3y-3=0．

六、板书设计

两条直线所成的角　

一、教学目标

（一）知识教学点

一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．

（二）能力训练点

通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．

（三）学科渗透点

训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．

二、教材分析

1．重点：

前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．

2，难点：

公式的记忆与应用．

3．疑点：

推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．

三、活动设计

分析、启发、讲练结合．

四、教学过程

（一）引入新课

我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．

（二）l1到l2的角正切

两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2（θ1+θ2=180°）．

l1到l2的角有三个要点：

始边、终边和旋转方向．

现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是

l1∶y=k1x+b1　l2∶y=k2x+b2

如果1+k1k2=0，那么θ=90°，

下面研究1+k1k2≠0的情形．

由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．

设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2（图1-32），甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．

tgα1=k1，　tgα2=k2．

∵θ=α2-α1（图1-32），

或θ=π-（α1-α2）=π+（α2-α1），

∴tgθ=tg（α2-α1）．

或tgθ=tg[π（α2-α1）]=tg（α2-α1）．

可得

即

eq\x（

）

上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．

（三）夹角公式

从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角，简称夹角）就可以了，这时可以用下面的公式

（四）例题

解：

k1=-2，k2=1．

∴θ=arctg3≈71°34′．

本例题用来熟悉夹角公式．

例2　已知直线l1：

　A1x+B1y+C1=0和l2：

　A2x+B2y+C2=0（B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0），l1到l2的角是θ，求证：

证明：

设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则

这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．

例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．

解：

先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．

设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则

．

因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以

θ1=θ2．

tgθ2=tgθ1=-3．

解得　k3=2．

因为l3经过点（-2，0），斜率为2，写出点斜式为

y=2[x-（-2）]，

即　2x-y+4=0．

这就是直线l3的方程．

讲此例题时，一定要说明：

无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．

（五）课后小结

（1）l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；

（2）l1到l2的角的正切公式；

（3）l1与l2的夹角的正切公式；

（4）等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．

五、布置作业

1．（教材第32页，1．8练习第1题）求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：

∴θ1=45°．

l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．

2．（教材第32页，1．8练习第2题）求下列直线的夹角：

∵k1·k2=-1，

∴l1与l2的夹角是90°．

（2）k1=1，　k2=0．

两直线的夹角为45°．

∴l1与l2的夹角是90°．

3．（习题三第10题）已知直线l经过点P（2，1），且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o，求直线l的方程．

即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．

4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程．

解：

这是本课例3将l1与l3互换的变形题，解法与例3相同，所求方程为：

x-2y-2=0．

六、板书设计