高考数学一轮复习步步高第二章 22 第2课时 奇偶性对称性与周期性.docx

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高考数学一轮复习步步高第二章22第2课时奇偶性对称性与周期性

第2课时　奇偶性、对称性与周期性

题型一函数奇偶性的判定

例1判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝

；

（3）f（x）＝

（4）f（x）＝log2（x＋

）．

解　

（1）由

得x2＝3，解得x＝±

，

即函数f（x）的定义域为{－

，

}，关于原点对称．

从而f（x）＝

＋

＝0.

因此f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），

所以函数f（x）既是奇函数又是偶函数．

（2）由

得定义域为（－1,0）∪（0,1），关于原点对称．

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f（x）＝

.

又∵f（－x）＝

＝－

＝－f（x），

∴函数f（x）为奇函数．

（3）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

∵当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；

当x>0时，－x<0，

则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）；

综上可知，对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，∴函数f（x）为奇函数．

（4）显然函数f（x）的定义域为R，

f（－x）＝log2[－x＋

]

＝log2（

－x）

＝log2（

＋x）－1

＝－log2（

＋x）＝－f（x），

故f（x）为奇函数．

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立．

跟踪训练1

（1）下列函数是偶函数的是（　　）

A．f（x）＝x3－sinx

B．f（x）＝3x－

C．f（x）＝x2＋tanx

D．f（x）＝x·ln（

－x）

答案　D

解析　由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数，D中函数为偶函数．

（2）设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）g（x）是偶函数

B．|f（x）g（x）|是奇函数

C．|f（x）|g（x）是偶函数

D．f（|x|）g（x）是奇函数

答案　C

解析　令F1（x）＝f（x）g（x），

∴F1（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－F1（x），

∴F1（x）为奇函数，故A错误；

令F2（x）＝|f（x）g（x）|，

∴F2（x）＝|f（－x）g（－x）|＝|－f（x）g（x）|

＝|f（x）g（x）|＝F2（x），

故F2（x）为偶函数，故B错误；

令F3（x）＝|f（x）|g（x），

∴F3（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|f（x）|g（x）＝F3（x），

∴F3（x）为偶函数，故C正确；

令F4（x）＝f（|x|）g（x），

∴F4（－x）＝f（|－x|）g（－x）＝f（|x|）g（x）＝F4（x），

∴F4（x）为偶函数，故D错误．

题型二函数奇偶性的应用

命题点1　利用奇偶性求参数的值

例2若函数f（x）＝x3

为偶函数，则a的值为________．

答案　

解析　方法一　（定义法）∵f（x）为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），

∴（－x）3

＝x3·

，

∴2a＝－

＝1，

∴a＝

.

方法二　（特值法）f（x）为偶函数，

∴f（－1）＝f

（1），

又f（－1）＝－a＋2，f

（1）＝a＋1，

∴－a＋2＝a＋1，∴a＝

.

命题点2　利用奇偶性求解析式

例3（2019·全国Ⅱ）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－1，则当x<0时，f（x）等于（　　）

A．e－x－1B．e－x＋1

C．－e－x－1D．－e－x＋1

答案　D

解析　当x<0时，－x>0，

∵当x≥0时，f（x）＝ex－1，

∴f（－x）＝e－x－1.

又∵f（x）为奇函数，

∴f（x）＝－f（－x）＝－e－x＋1.

命题点3　利用奇偶性求函数值

例4已知函数f（x）＝ax3＋bx5＋2.若f（x）在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

答案　4

解析　令g（x）＝ax3＋bx5，

则g（x）为奇函数，

当x∈[－t，t]时，g（x）max＋g（x）min＝0，

又f（x）＝g（x）＋2，

∴M＝g（x）max＋2，m＝g（x）min＋2，

∴M＋m＝g（x）max＋2＋g（x）min＋2＝4.

思维升华利用函数奇偶性可以解决以下问题

（1）求函数值：

将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．

（2）求解析式：

将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．

（3）求解析式中的参数：

利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程（组），进而得出参数的值．

（4）画函数图象：

利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．

（5）求特殊值：

利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．

跟踪训练2

（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x＋x＋b，则f（－1）的值为（　　）

A．b＋3B．－b－3C．－2D．2

答案　C

解析　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0，

即20＋0＋b＝0，∴b＝－1，

∴f（－1）＝－f

（1）＝－（21＋1＋b）＝－2.

（2）已知函数f（x）＝asinx＋btanx＋1，若f（a）＝－2，则f（－a）＝________.

答案　4

解析　令g（x）＝asinx＋btanx，

则g（x）为奇函数，且f（x）＝g（x）＋1，

∵f（a）＝g（a）＋1＝－2，∴g（a）＝－3，

∴f（－a）＝g（－a）＋1＝－g（a）＋1＝4.

题型三函数的周期性、对称性

命题点1　函数的周期性

例5

（1）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x＋2π）＝f（x），当x∈（0，π）时，f（x）＝2sin

，则f 

等于（　　）

A.

B.

C．1D.

答案　C

解析　因为f（x＋2π）＝f（x），所以f（x）的周期为2π.

所以f 

＝f 

＝f 

＝f 

，

又因为当x∈（0，π）时，f（x）＝2sin

，

所以f 

＝2sin

＝1.

（2）（2020·西安模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋2），当x∈（0,2]时，f（x）＝2x＋log2x，则f（2020）等于（　　）

A．5B.

C．2D．－5

答案　D

解析　∵f（x）＝－f（x＋2），

∴f（x）的周期为4，f（2020）＝f（0）＝－f

（2）＝－（22＋log22）＝－5.

思维升华函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）．

（2）若f（x＋a）＝

，则T＝2a（a>0）．

（3）若f（x＋a）＝－

，则T＝2a（a>0）．

（4）若f（x＋a）＋f（x）＝c，则T＝2a（a>0，c为常数）．

命题点2　函数的对称性

例6（多选）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且f（－x）＝f（x），则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）的图象关于x＝2对称

B．f（x）的图象关于（2,0）对称

C．f（x）的最小正周期为4

D．y＝f（x＋4）为偶函数

答案　ACD

解析　∵f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；

∵函数f（x）的图象关于x＝2对称，则f（－x）＝f（x＋4），又f（－x）＝f（x），∴f（x＋4）＝f（x），∴T＝4，故C正确；

∵T＝4且f（x）为偶函数，故y＝f（x＋4）为偶函数，故D正确．

思维升华对称性的三个常用结论

（1）若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝

对称．

（2）若函数f（x）满足f（a＋x）＝－f（b－x），则y＝f（x）的图象关于点

对称．

（3）若函数f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则函数f（x）的图象关于点

对称．

跟踪训练3

（1）设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），且当x∈[0,3）时，f（x）＝2x－x2＋1，则f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2021）＝________.

答案　2696

解析　∵f（x＋3）＝f（x），∴T＝3，

又x∈[0,3）时，f（x）＝2x－x2＋1，

∴f（0）＝1，f

（1）＝2，f

（2）＝1，

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＝1＋2＋1＝4，

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2021）

＝674×4＝2696.

（2）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f（x）＝x2－4x，则f（2022）＝________.

答案　4

解析　∵f（x）的图象关于直线x＝2对称，

∴f（－x）＝f（x＋4），

又f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

故f（x＋4）＝－f（x），∴T＝8，

又∵2022＝252×8＋6，

∴f（2022）＝f（6）＝f（－2）＝－f

（2）＝－（4－8）＝4.

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f（x）表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．

例1若函数f（2x）的定义域是[－1,1]，则f（log2x）的定义域为________．

答案　[

，4]

解析　对于函数y＝f（2x），－1≤x≤1，

∴2－1≤2x≤2.

则对于函数y＝f（log2x），2－1≤log2x≤2，

∴

≤x≤4.

故y＝f（log2x）的定义域为[

，4]．

例2已知函数f（x）对任意正实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b）成立．

（1）求f

（1），f（－1）的值；

（2）求证：

f 

＝－f（x）；

（3）若f

（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值．

（1）解　令a＝1，b＝1，

得f

（1）＝f

（1）＋f

（1），解得f

（1）＝0，

令a＝b＝－1，

∴f

（1）＝f（－1）＋f（－1），∴f（－1）＝0.

（2）证明　令a＝

，b＝x，

得f

（1）＝f 

＋f（x）＝0，

∴f 

＝－f（x）．

（3）解　令a＝b＝2，得f（4）＝f

（2）＋f

（2）＝2p，

令a＝b＝3，得f（9）＝f（3）＋f（3）＝2q，

令a＝4，b＝9，得f（36）＝f（4）＋f（9）＝2p＋2q.

例3已知函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f 

＝1，且当x>0时，f（x）>0.

（1）求f（0）的值；

（2）判断函数的奇偶性并证明；

（3）判断函数的单调性，并解不等式f（x）＋f（2＋x）<2.

解　

（1）令x＝y＝0，

则f（0）＝f（0）＋f（0），

∴f（0）＝0.

（2）f（x）是奇函数，证明如下：

令y＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，

∴f（－x）＝－f（x），

故函数f（x）是R上的奇函数．

（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：

任取x1，x2∈R，x10，

∴f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）

＝f（x2－x1）＋f（x1）－f（x1）

＝f（x2－x1）>0，

∴f（x1）

故f（x）是R上的增函数，

∵f 

＝1，

∴f 

＝f 

＝f 

＋f 

＝2，

∴f（x）＋f（2＋x）＝f（x＋（2＋x））＝f（2x＋2）

，

又由y＝f（x）是定义在R上的增函数，得2x＋2<

，

解得x<－

，故x∈

.

课时精练

1．（2021·重庆一中月考）下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝x－1B．y＝|x|＋1

C．y＝

D．y＝－x2

答案　B

2．若函数f（x）＝

在定义域上为奇函数，则实数k的值为（　　）

A．－2B．0C．1或－1D．2

答案　C

解析　因为f（x）在定义域上为奇函数，

所以f（－x）＝－f（x），即

＝

，

即

＝

，

根据等式恒成立可得，k＝±1.

3．（2021·南昌联考）函数f（x）＝

的图象（　　）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称

答案　B

解析　f（x）＝

＝3x＋3－x，f（－x）＝3－x＋3x，

∴f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称．

4．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

＋f

（1）等于（　　）

A．－2B．0C．2D．1

答案　A

解析　∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，且周期为2，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－f（－1＋2）＝－f

（1），

∴f

（1）＝0，

f 

＝f 

＝－f 

＝

＝－2，

∴f 

＋f

（1）＝－2.

5．（多选）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（　　）

A．y＝f（|x|）B．y＝f（－x）

C．y＝xf（x）D．y＝f（x）＋x

答案　BD

解析　由奇函数的定义f（－x）＝－f（x）验证，

A项，f（|－x|）＝f（|x|），为偶函数；

B项，f[－（－x）]＝f（x）＝－f（－x），为奇函数；

C项，－xf（－x）＝－x·[－f（x）]＝xf（x），为偶函数；

D项，f（－x）＋（－x）＝－[ f（x）＋x]，为奇函数．

可知BD正确．

6．（多选）若定义域为R的函数f（x）在（4，＋∞）上单调递减，且函数y＝f（x＋4）为偶函数，则（　　）

A．f

（2）>f（3）B．f

（2）＝f（6）

C．f（3）＝f（5）D．f（3）>f（6）

答案　BCD

解析　∵y＝f（x＋4）为偶函数，

∴f（－x＋4）＝f（x＋4），

∴y＝f（x）的图象关于直线x＝4对称，

∴f

（2）＝f（6），f（3）＝f（5）．

又y＝f（x）在（4，＋∞）上单调递减，

∴f（5）>f（6），∴f（3）>f（6）．

7．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

答案　

解析　f（x）＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，

又定义域[a－1,2a]关于原点对称，

则a－1＋2a＝0，

∴a＝

，∴a＋b＝

.

8．（2021·咸阳模拟）已知函数f（x）＝

为奇函数，则a＝________.

答案　－1

解析　由题意，得f（－x）＝－f（x），

则f（－1）＝－f

（1），即1＋a＝－a－1，得a＝－1（经检验符合题意）．

9．已知函数f（x）对∀x∈R满足f（1－x）＝f（1＋x），f（x＋2）＝－f（x），且f（0）＝1，则f（26）＝________.

答案　1

解析　∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x）的周期为4，

∴f（26）＝f

（2）．

∵对∀x∈R有f（1－x）＝f（1＋x），

∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴f

（2）＝f（0）＝1，即f（26）＝1.

10．已知函数f（x）＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f（mx－2）＋f（x）<0恒成立，则x的取值范围为________．

答案　

解析　易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f（mx－2）＋f（x）<0⇒f（mx－2）<－f（x）＝f（－x），此时应有mx－2<－x⇒mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立．

令g（m）＝xm＋x－2，此时只需

即可，

解得－2

.

11．已知函数f（x）＝

是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解　

（1）设x<0，则－x>0，

所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，

所以f（－x）＝－f（x），

于是x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图象（如图所示）知

所以1

故实数a的取值范围是（1,3]．

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.

（1）求证：

f（x）是周期函数；

（2）当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式．

（1）证明　∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．

∴f（x）是周期为4的周期函数．

（2）解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0,2]，

∴f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.

∵f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝－x2＋6x－8，

即当x∈[2,4]时，f（x）＝x2－6x＋8.

13．若f（x）＝ex－ae－x为奇函数，则满足f（x－1）>

－e2的x的取值范围是（　　）

A．（－2，＋∞）B．（－1，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（3，＋∞）

答案　B

解析　∵f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）＝1－a＝0，∴a＝1，

∴f（x）＝ex－e－x，

∴f（x）为R上的增函数，

又f（－2）＝e－2－e2＝

－e2，

∴原不等式可化为f（x－1）>f（－2），

∴x－1>－2，即x>－1.

14．已知函数f（x）对任意实数x满足f（－x）＋f（x）＝2，若函数y＝f（x）的图象与y＝x＋1有三个交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则y1＋y2＋y3＝________.

答案　3

解析　因为f（－x）＋f（x）＝2，

则f（x）的图象关于点（0,1）对称，

又直线y＝x＋1也关于点（0,1）对称，

因为y＝f（x）与y＝x＋1有三个交点，

则（0,1）是一个交点，另两个交点关于（0,1）对称，

则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.

15．（多选）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且函数f（x＋2）为偶函数，则下列结论正确的是（　　）

A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称

B．f（4）＝0

C．f（x＋8）＝f（x）

D．若f（5）＝－1，则f（2021）＝－1

答案　BCD

解析　根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，

则f（－x）＝－f（x），

又由函数f（x＋2）为偶函数，

则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，

则有f（－x）＝f（4＋x），

则有f（x＋4）＝－f（x），

即f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），

则函数f（x）是周期为8的周期函数；

据此分析选项：

对于A，函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，A错误；

对于B，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，又由函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，则f（4）＝0，B正确；

对于C，函数f（x）是周期为8的周期函数，即f（x＋8）＝f（x），C正确；

对于D，若f（5）＝－1，则f（2021）＝f（5＋2016）＝f（5）＝－1，D正确．

16．函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；

（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求x的取值范围．

解　

（1）因为对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

所以令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），

所以f

（1）＝0.

（2）f（x）为偶函数，证明如下：

f（x）的定义域关于原点对称，

令x1＝x2＝－1，

有f

（1）＝f（－1）＋f（－1），

所以f（－1）＝

f

（1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x，得f（－x）＝f（－1）＋f（x），

所以f（－x）＝f（x），

所以f（x）为偶函数．

（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

由

（2）知f（x）是偶函数，

所以f（x－1）<2等价于f（|x－1|）

又f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

所以0<|x－1|<16，

解得－15

所以x的取值范围是（－15,1）∪（1,17）．