高考数学一轮复习步步高第二章 22 第2课时 奇偶性对称性与周期性.docx

1、高考数学一轮复习步步高第二章 22 第2课时 奇偶性对称性与周期性第2课时奇偶性、对称性与周期性题型一 函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)(4)f(x)log2(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，关于原点对称从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2x

2、f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为R，f(x)log2xlog2(x)log2(x)1log2(x)f(x)，故f(x)为奇函数思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练1 (1)下列函数是偶函

3、数的是()Af(x)x3sin xBf(x)3xCf(x)x2tan xDf(x)xln(x)答案D解析由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数，D中函数为偶函数(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数Df(|x|)g(x)是奇函数答案C解析令F1(x)f(x)g(x)，F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x)，F1(x)为奇函数，故A错误；令F2(x)|f(x)g(x)|，F2(x)|f(x)g

4、(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F2(x)，故F2(x)为偶函数，故B错误；令F3(x)|f(x)|g(x)，F3(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F3(x)，F3(x)为偶函数，故C正确；令F4(x)f(|x|)g(x)，F4(x)f(|x|)g(x)f(|x|)g(x)F4(x)，F4(x)为偶函数，故D错误题型二 函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求参数的值例2 若函数f(x)x3为偶函数，则a的值为_答案解析方法一(定义法)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，(x)3x3，2a1，a.方法二(特值法)f(x)为偶函数，f(1)f(1)，又f(1)a2，f(1)a

5、1，a2a1，a.命题点2利用奇偶性求解析式例3 (2019全国)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)等于()Aex1 Bex1Cex1 Dex1答案D解析当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.命题点3利用奇偶性求函数值例4 已知函数f(x)ax3bx52.若f(x)在区间t，t上的最大值为M，最小值为m，则Mm_.答案4解析令g(x)ax3bx5，则g(x)为奇函数，当xt，t时，g(x)maxg(x)min0，又f(x)g(x)2，Mg(x)max2，mg(x)min2，Mmg(x)max2g(x)mi

6、n24.思维升华 利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值跟踪训练2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2xxb，则f(1)的值为()Ab3 Bb3 C2 D

7、2答案C解析f(x)为R上的奇函数，f(0)0，即200b0，b1，f(1)f(1)(211b)2.(2)已知函数f(x)asin xbtan x1，若f(a)2，则f(a)_.答案4解析令g(x)asin xbtan x，则g(x)为奇函数，且f(x)g(x)1，f(a)g(a)12，g(a)3，f(a)g(a)1g(a)14.题型三 函数的周期性、对称性命题点1函数的周期性例5 (1)已知函数f(x)对任意xR，都有f(x2)f(x)，当x(0，)时，f(x)2sin ，则f等于()A. B. C1 D.答案C解析因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2.所以ffff，又因为当x(0

8、，)时，f(x)2sin ，所以f2sin 1.(2)(2020西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x(0,2时，f(x)2xlog2x，则f(2 020)等于()A5 B. C2 D5答案D解析f(x)f(x2)，f(x)的周期为4，f(2 020)f(0)f(2)(22log22)5.思维升华 函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)(4)若f(xa)f(x)c，则T2a(a0，c为常数)命题点2函数的对称性例6 (多选)已知函数f(

9、x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)，且f(x)f(x)，则下列结论正确的是()Af(x)的图象关于x2对称Bf(x)的图象关于(2,0)对称Cf(x)的最小正周期为4Dyf(x4)为偶函数答案ACD解析f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于x2对称，故A正确，B错误；函数f(x)的图象关于x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T4，故C正确；T4且f(x)为偶函数，故yf(x4)为偶函数，故D正确思维升华 对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线x对称(2)若函数f(x)满足f(ax)f(

10、bx)，则yf(x)的图象关于点对称(3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c，则函数f(x)的图象关于点对称跟踪训练3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)，且当x0,3)时，f(x)2xx21，则f(0)f(1)f(2)f(2 021)_.答案2 696解析f(x3)f(x)，T3，又x0,3)时，f(x)2xx21，f(0)1，f(1)2，f(2)1，f(0)f(1)f(2)1214，f(0)f(1)f(2)f(2 021)67442 696.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x2对称当x0,4时，f(x)x24x，则f(2 02

11、2)_.答案4解析f(x)的图象关于直线x2对称，f(x)f(x4)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，故f(x4)f(x)，T8，又2 02225286，f(2 022)f(6)f(2)f(2)(48)4.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用yf(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体例1 若函数f(2x)的定义域是1,1，则f(log2x)的定义域为_答案，4解析对于函数yf(2x)，1x1，212x2.则对于函数yf(log2x)，21log2x2，x4

12、.故yf(log2x)的定义域为，4例2 已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立(1)求f(1)，f(1)的值；(2)求证：ff(x)；(3)若f(2)p，f(3)q(p，q均为常数)，求f(36)的值(1)解令a1，b1，得f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0，令ab1，f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)证明令a，bx，得f(1)ff(x)0，ff(x)(3)解令ab2，得f(4)f(2)f(2)2p，令ab3，得f(9)f(3)f(3)2q，令a4，b9，得f(36)f(4)f(9)2p2q.例3 已知函数yf(x)的定义域为R，并且满足f(x

13、y)f(x)f(y)，f1，且当x0时，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性并证明；(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)f(2x)2.解(1)令xy0，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0.(2)f(x)是奇函数，证明如下：令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2R，x10，f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，故f(x)是R上的增函数，f1，ffff2，f(x)f(2x)f(x(2x)

14、f(2x2)f，又由yf(x)是定义在R上的增函数，得2x2，解得x，故x.课时精练1(2021重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是()Ayx1 By|x|1Cy Dyx2答案B2若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k的值为()A2 B0 C1或1 D2答案C解析因为f(x)在定义域上为奇函数，所以f(x)f(x)，即，即，根据等式恒成立可得，k1.3(2021南昌联考)函数f(x)的图象()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于坐标原点对称 D关于直线yx对称答案B解析f(x)3x3x，f(x)3x3x，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称4已

15、知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0xf(3) Bf(2)f(6)Cf(3)f(5) Df(3)f(6)答案BCD解析yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)，yf(x)的图象关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5)又yf(x)在(4，)上单调递减，f(5)f(6)，f(3)f(6)7已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_答案解析f(x)ax2bx为偶函数，则b0，又定义域a1,2a关于原点对称，则a12a0，a，ab.8(2021咸阳模拟)已知函数f(x)为奇函数，则a_.答案1解析由题意，得f(x)f(x)，则f(1)f(1)，即1

16、aa1，得a1(经检验符合题意)9已知函数f(x)对xR满足f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，且f(0)1，则f(26)_.答案1解析f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，f(26)f(2)对xR有f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)1，即f(26)1.10已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_答案解析易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx2)f(x)0f(mx2)f(x)f(x)，此时应有mx2xmxx20对所有m2,2恒成立令g(m)xmx2，此时只需即可，解得2x.11已知函数f(x

17、)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1e2的x的取值范围是()A(2，) B(1，)C(2，) D(3，)答案B解析f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)1a0，a1，f(x)exex，f(x)为R上的增函数，又f(2)e2e2e2，原不等式可化为f(x1)f(2)，x12，即x1.14已知函数f(x)对任意实数x满足f

18、(x)f(x)2，若函数yf(x)的图象与yx1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1y2y3_.答案3解析因为f(x)f(x)2，则f(x)的图象关于点(0,1)对称，又直线yx1也关于点(0,1)对称，因为yf(x)与yx1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y1y2y3213.15(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A函数yf(x)的图象关于直线x1对称Bf(4)0Cf(x8)f(x)D若f(5)1，则f(2 021)1答案BCD解析根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则

19、f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x)f(4x)，则有f(x4)f(x)，即f(x8)f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(4)0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确；对于D，若f(5)1，则f(2 021)f(52 016)f(5)1，D正确16函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(

20、x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上单调递增，求x的取值范围解(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0.令x11，x2x，得f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x1)2等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上单调递增，所以0|x1|16，解得15x17且x1，所以x的取值范围是(15,1)(1,17)