完整版几何概型的经典题型及答案.docx

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完整版几何概型的经典题型及答案

几何概型的常见题型及典例分析

一•几何概型的定义

1.定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或

体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2.特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.

3.计算公式:

P（A）

构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

说明：

用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.

4.古典概型和几何概型的区别和联系：

（1）联系：

每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：

①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

.常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

分析：

在区间［1,1］上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间［1,1］的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的

发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的

11］时’要使co吟的值介于

区间长度有关，符合几何概型的条件解：

在区间［1,1］上随机取一个数X,即x［

0到-之间,需使x或x

222332

22

•••1x2或-x1，区间长度为

33

由几何概型知使cos—x的值介于0到1之间的概率为

22

2

故选A.

符合条件的区间长度J1

所有结果构成的区间长度23.

例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D，问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型.

解记E:

“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB

1

等分，由于中间长度为妙3=10米,

方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地

取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

例3、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率思考方法：

由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）O也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空间（即直线）上的线段MN而有利场合所对应的区域G是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。

［解法1］.设EF与E1F1是长度等于R的两条弦,

直径MN垂直于EF和EiFi,与他们分别相交于K和Ki（图1-2）。

依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN有L（G）=MN=2R注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK,有

2

R-

CC2

L（Gk）KK12OK2、R

2

3R

以几何概率公式得PL（Ga）

3R

3

0

L（G）

2R

2

[解法2].如图1-1所示，设园

O的半径为R,EF为诸平行弦中的任意一

条,直径MN弦EF,它们的交点为K，则点K就是弦EF的中点。

设OK=x

则x[-R,R],所以L（G）=2R

设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”，则A的有利场合是

2R2~X^R,

于是

P（A）塞

2R

[评注]本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。

两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率.

分析：

正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.解：

记“面积介于36cm与81cm之间”为事件A,事件A的概率等价于小结：

解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系练习：

2、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立

即乘上车的概率是（）

解析：

设乘客到达站台立即乘上车为事件A,试验的所有结果构成的区

1

域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P（A）=五.答

案：

A

x—2

3、已知集合A｛x|—10｝，在集合A中任取一个元素

3—x

x，则事件“x€AnB”的概率是.

解析：

由题意得A=｛x|—1

11

在集合A中任取一个元素x，则x€AnB的概率为P^.答案：

-

66

4、小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析：

因为客车每小时一班，而小赵在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以

他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.解析：

设A=｛等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于

（二）、与面积有关的几何概型

内随机取一点，取到的点到0的距离大于1的概率为（

A.—B.1—C.D.1-

4488

分析：

由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个，所以符合几何概型•解:

长方形面积为2,以0为圆心,1为半径作圆，在矩形内部的部分（半

圆）面积为二，因此取到的点到0的距离大于1的面积为2，则取到

22

的点到0的距离大于1的概率为

例3、在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大

于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D

点评：

本小题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是不可数的,属于几何概型中典型的面积之比。

例4、在三角形ABC中任取一点P,证明：

△ABP与厶ABC的面积之比大于口的概率为42。

nn

思考方法本题的随机点是ABP的顶点P,它等可能的分布在ABC中，因此，与样本空间对应的平面区域是ABC，注意到ABP于ABC有公共边AB,所以的面积决定于顶点P离底边AB的距离。

这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。

解设ABP与ABC的面积之比为丄」，ABC的高CD为h，ABP的n

1h

高PG为hi,公共底边AB的长为c，（图2）则Sabp2chhn1Sabc1chhn2

hi

过点P作EF//AB,交CD于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF.于

sEFC

SABC

由此，原题得证。

评注本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形ABC于三角

形ABP有公共底边AB,所以，实际变化着的量只有一个（即点P于AB的距离），问题还比较简单，对于较复杂的平面区域，常常要根据题设选定两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。

例5、将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率.

解：

设M“3段构成三角形”.xy分别

表示其中两段的长度，则第三段的长度为

Lxy.

（Xy）|0xL,0yL,0xyL.

由题意，X,y,Lxy要构成三角形，须有xyLxy,即

练习

1、ABC助长方形，A吐2,BC=1,0为AB的中点•在长方形ABCD内随

机取一点，取到的点到0的距离大于1的概率为

解析：

对应长方形的面积为2X1=2,而取到的点到0的距离小于等于1

12

时，其是以O为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为2xnX12

1

=1冗，那么满足条件的概率为：

1—27=1—：

答案：

B

2、设一Ka<1，—1

积为1,总的事件对应面积为正方形的面积,故概率为4.答案：

B

3、已知Q={（x,y）|x+y<6,x>0,y>0},A={（x,y）|x<4,y>0,

x—2y>0}，若向区域Q上随机投一点P,则点P落入区域A的概率

区域为三角形OCD及其边界.

容易求得D（4,2）恰为直线x=4,x—2y=0,x+y=6三线的交点.

11

则可得SaAOB=2^6X6=18,Saocd=4X2=4.所以点P落在区域A的

概率为备9.答案：

D

xy.20

4、在区域xy'.20内任取一点P,

0

则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）

解析：

区域为△ABC内部（含边界），则概率为

5、在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,贝U使点P到三个顶点的距

离至少有一个小于1的概率是.

解析：

以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC

相交出三个扇形（如图所示），当P落在阴影部分时符

合要求.

X2

13

6、在区间［0,1］上任意取两个实数a，b，J则函数f（x）=歹+ax—b在区间［—1,1］上有且仅有一个零点的概率为.

2

解析：

f'（x）=^x+a，故f（x）在x€［—1,1］上单调递增，又因为函数

13

f（x）=^x+ax—b在［—1,1］上有且仅有一个零点，即有f（—1）•f

（1）<0

1111

成立，即（—2—a—b）（2+a—b）<0，则（2+a+b）（2+a—b）>0，可化为

0

0

1

2+a—b>0

0

0

由线性规划知识在平

或2+a—b<0,面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概

13

型可以知道，函数f（x）=2x3+ax—b在［—1,1］上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a=0,a=1,b=0,b=1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为6。

答案：

石

88

7、已知函数f（x）=x2—2ax+b2,a,b€R.

（1）若a从集合｛0,1,2,3｝中任取一个元素，b从集合｛0,1,2｝中任取一个

元素，求方程f（x）二0有两个不相等实根的概率；

⑵若a从区间［0,2］中任取一个数，b从区间［0,3］中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率.

解：

⑴：

a取集合｛0,1,2,3｝中任一个元素，b取集合｛0,1,2｝中任一个

•••a,b的取值的情况有（0,0）,（0,1）,（0,2）,（1,0）,（1,1）,（1,2）,（2,0）,（2,1）,（2,2）,（3,0）,（3,1）,（3,2）.

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.

设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A,

当a>0,b>0时,方程f（x）二0有两个不相等实根的充要条件为a>b.当a>b时，a,b取值的情况有（1,0）,（2,0）,（2,1）,（3,0）,（3,1）,（3,2）,即A包含的基本事件数为6,

一61

•••方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P（A）=12=-.

（2）

va从区间［0,2］中任取一个数,b从区间［0,3］中任取一个数,则试验的全部结果构成区域Q=｛（a,b）|0

设“方程f（x）=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的

区域为M=｛（a,b）|0

1

即图中阴影部分的梯形，其面积S&6—qX2X2=4.

置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的

解：

记事件A是“做射线OC，使得AOC和BOC都不小于30

AONBOMMON300，则符合条件的射线OC应落在扇形

%3

为一。

4

点评：

本题所求事件的本质是在ACB内部做一条射线CM，所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易易犯的错误是，用长度的比得出211二这一错误结果。

V22

例3、在等腰Rt△ABC中，C=90,在直角边BC上任取一点M求CAM300的概率（答案：

上3）

3

（四）、与体积有关的几何概型

例1、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？

分析：

病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率.

解：

“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，

从而所求的概率为02例2、任取三条不大于a的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概率。

思考方法题设的三条线段互不相干，所以可设置三个独立变量。

注意到三条线段构成三角形的充要条件，可推得有立场合的约束条件。

由此原题可以解出。

解设三条线段的长分别为x、y、z，则样本空间是

0xa

0ya

（1）

0za

有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条

xyz

线段，于是，有利场合的可能情形是yzx

（2）

zxy

把条件

（1）、

（2）所限制的区域，在空间直角坐标系中表示出来，有如图2-3所示。

其中

（1）所对应的区域G是正方体OA,⑵所对应的区域GA是六面体OAAA3A4,且有

LGa3

13

LGAa3-3?

l?

^?

a=〔a3

322

a1

21p=23=a32

例3、在区间［0,1］上任取三个实数x.y.z,事件A={（x,y,z）|x2+y2+z2v

1,x>0,y>0,z>0}

（1）

构造出随机事件A对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件A的概率.

思路点拨：

在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z2v1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部.事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件.

解：

（1）A={（x,y,z）|x2+y2+z2v1,x>0,y>0,z>0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x>0,y>0,z>0的部分,如图所示.

（2）由于x,y,z属于区间［0,1］，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.

1413

•••P（A）

136

方法技巧：

本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P（x,y,z）的集合所表示的图形.从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后

代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.

（5）、会面问题中的概率

例1、某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20

分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等

待的概率。

解析：

设事件A表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9

点到10点之间的x分、y分，则|x-y|<20,0

20xy20

0y60

面直角坐标系如图所示，事件A所对应的区域如图中阴影区域所示：

所以，其概率P（A）=阴影面积/ABCD面积=5/9。

小结：

“会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其关键是构建相遇的不等式（组），借助于线性规划知识，将其面积之比求出，使得问题得以解决。

例2、两人约定在20：

00到21：

00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：

00到21：

00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.

思路点拨两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即-小时.设两3

人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-2

33

解设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，

22

当且仅当-2

两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示.

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为

方法技巧会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型.难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点（x,y）,从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题.

（六）、与线性规划有关的几何概型例1、小明家的晚报在下午5：

30〜6：

30之间的任何一个时间随机地被

送到，小明一家在下午6:

00〜7:

00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

分析：

该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始的时间分别为x、y，然后把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问题转化为线性规划问题进行求解.

解：

设晚报送到和晚饭开始的时间分别为x、y.用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为：

（x,y）5:

30x6:

30,6y7，

即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件

A，则事件A的结果为：

A（x,y）5:

30x6:

30,6y7,xy，即为图2中阴影部分区域.SABCD111，S阴影1————.

2228

7

所以所求概率为：

P_^也8-.

SABCD18

故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是z.

8

反思：

此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：

（1）找设变量•从问题中找出两个随机变量，设为x,y；

（2）集合表示.用（x,y）表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事件A所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.

（3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合，A对应的区域的面积.

（4）计算求解.由几何概型公式求出概率.

（7）、与定积分有关的几何概型

例1、在区间［1,1］上任取两数a、b，求二次方程x2axb0的两根都是实根的概率.

分析：

可用（a,b）表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根

的结果的面积，再利用几何概型来解答

解：

用（a,b）表示每次试验结果，则所有可能结果为：

求概率为：

（8）、与随机模拟有关的几何概型

例1、如图5,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：

在正方形ABCD中随机投掷n个点，

若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为—S，假设正方n

形ABCD的边长为2，M的面积为1,并向正方形ABCD

中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目.

（I）求X的均值EX;

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（0.03,）内的概率.

k

附表：

P（k）C1toooo0.25t0.7510000t

t0

k

2424

2425

2574

2575

P（k）

0.0403

0.0423

0.9570

0.9590

分析：

本题从表面来看似乎与几何概型无关，其实它是一个几何概型的逆向问题与n次独立重复实验的综合题，而且本题有别于常规的面积型概率计算，设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。

解：

每个点落入M中的概率均为PSm的面积1.依题意知SaBCD4

X~B10000,-

1

（I）EX100002500.

4

0.95700.04230.9147.

例2、利用随机模拟方法计算图中阴影部分（由曲线y=2x与x轴、x=±1

围成的部分）面积.

思路点拨不规则图形的面积可用随机模拟法计算.

解

（1）利用计算机产生两组

［0,1］上的随机数,ai=rand（）,bi=rand（）.

（2）进行平移和伸缩变换,a=（ai-0.5）*2,b=b1*2,得到一组［0,2］上的均匀随机数.

（3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数Ni.

（4）计算频率也，则叫即为落在阴影部分的概率的近似值.

NN

（5）利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率PS

4

（6）因为丛=S,所以S=纱即为阴影部分的面积•

N4N

方法技巧根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值.

（9）、生活中的几何概型

例1、某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一

班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.

分析：

假设他在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因

为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而

与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件•

解：

设A=｛等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内，因此由几何概型的概率公式