MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用.docx
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MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用
《MATLAB语言》课程论文
MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用
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MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用
摘要：
MATLAB是一套非常强大的数值计算软件，可靠的数值计算和符号计算功能、优越的绘图功能等突出的优点，使其风靡全球，运用MATLAB中强大的函数工具箱可以实现数值分析、优化、统计、偏微分方程数值解、自动控制、信号处理、图形、图像处理等若干个领域的计算和图形显示功能。
毫无疑问，对于图形绘制及数学中关于函数单调性和最极值中的问题，也可以通过MATLAB轻松的解决。
关键词:
MATLAB 图形绘制 函数单调性 最值 极值
在如今的科学研究和工程应用中，我们会遇到各种各样的问题，其中最基本的就是关于图形绘制和各种数学方面的问题，而MATLAB中强大的绘图功能以及可靠的数值计算和符号计算功能，将使这些问题可以得到更好的解决，下面我们就分别对MATLAB在此方面的应用进行分析：
一、MATLAB在图形绘制中的应用
1、MATLAB的二维曲线绘制
（1）基本绘图指令plot
MATLAB软件中指令plot是最简单且使用最广泛的一个线性绘图指令，利用该指令可以会出折线、曲线和参数方程曲线的图形。
Plot绘图命令有如下一些常用形式：
命令形式1：
plot（y）
问题1.绘出向量[3,8,6,4,1]的图形。
解 MATLAB的命令为
y=[3,8,6,4,1]; %数据
plot（y） %绘图
图1.问题1程序图形
命令形式2：
plot（x,y）
问题2.绘出函数
在区间-4≤x≤4的图形.
解 MATLAB的命令为
x=-5:
1:
5; %设置x的取值
y=cos（x.^2）; %原函数
plot（x,y）; %绘图
gridon; %显示网格
图2.问题2程序图形
命令形式3：
plot（x1,y1,x2,y2,…）
问题3.在同一图像窗口绘出三个函数y=sin2x，
，
的图形，-3≤x≤2.
解 MATLAB的命令为：
x=-2:
0.1:
3; %取值范围
plot（x,sin（2*x）,'.',x,x.^2,'k-',x,x,'k'）; %绘制图形
legend（'sin（2 *x）','x^2','x'）; %生成图例
图3.问题3程序图形
（2）图形的标注
MATLAB可以在绘出的图形上加各种标注级文字说明。
他们的实现命令如下：
①图名标注title
命令形式：
title（‘string’）
②坐标轴标注xlabel,ylabel,zlabel
命令形式：
xlabel（‘string’）或ylabel（‘string’）或zlabel（‘string’）
③图形标注text，gtext
命令形式：
text（x,y,’string’）或text（x,y,z,’string’）
④图例标注legend
命令形式：
legend（‘string’，‘string’，…）
问题4、在同一坐标系中绘出两个函数
，
的图形，自变量范围为-2≤x≤2；函数
为红色实线，函数
为洋红色虚线，并加注标题、坐标轴和图例标注。
解 建立命令文件exam5.m:
clf; %命令符
x=-2:
1:
2; %取值范围
y1=cos（2*x）; %原函数1
y2=x; %原函数2
plot（x,y1,'-r',x,y2,'-.m'）; %绘制图形
gridon; %显示网格
title（'曲线y=cos（2x）与y=x'）; %标注标题
xlabel（'x轴'）; %x轴标注
ylabel（'y轴'）; %y轴标注
x00=-2:
2; %取值范围
y00=[1.5,1.0,0,0.56,-1.5]; %取值范围
holdon; %图形保持
plot（x00,y00,'bp'）; %绘制5点图
legend（'y=cos（2x）','y=x','5点图'）; %图形标注
执行命令文件exam5.m，其程序运行结果如图。
图4.问题4程序图形
（3）一个图形中多个子图的绘制
可以在MATLAB图形窗口中显示多个图形，要实现该功能就要利用函数subplot.
命令形式：
subplot（m,n,p）
例5.把一个图形窗口分为两个子图，每个子图绘制不同的图形。
解 MATLAB的命令如下：
clf; %命令符
x=-2:
0.2:
2; %取值范围
y1=x+sin（x）; %原函数1
y2=sin（x）./x; %原函数2
subplot（1,2,1）; %窗口分割
plot（x,y1,'-m.'）; %绘制图形
gridon; %显示网格
title（'y=x+sinx'）; %标注标题
subplot（1,2,2）; %窗口分割
plot（x,y2,'-rp'）; %绘制图形
gridon; %显示网格
title（'y=sinx/x'）; %标注标题
图5.问题5程序图形
（4）绘制数值函数二维曲线的命令fplot
命令形式：
fplot（fun,[xmin,xmax]）
（5）绘制符号函数二维曲线的命令ezplot
命令形式：
ezplot（fun,[xmin,xmax]）
问题6、绘出
在[0,
]间的图形.
解 MATLAB命令为：
symst; %定义符号变量
ezplot（'2/3*exp（-t/2）*cos（3/2*t）',[0,4*pi]） %符号函数绘制图形
图6.问题6程序图形
2、MATLAB的空间曲线绘图
（1）三维空间曲线命令plot3
命令形式1：
plot3（x,y,z）
命令形式2：
plot3（x,y,z,’string’）
命令形式3：
plot3（x1,y1,z1,’string’,x2,y2,z2,’string’,…）
问题7、绘制螺旋线
的图像。
解 在MATLAB中的命令如下：
t1=0:
pi/25:
10*pi; %设置取值范围
x1=sin（t1）; %参数方程1
y1=cos（t1）; %参数方程2
z1=t1; %参数方程3
plot3（x1,y1,z1,'r'）; %绘制曲线
title（'螺旋线'）; %标注标题
xlabel（'x轴'）; %x轴标注
ylabel（'y轴'）; %y轴标注
zlabel（'z轴'）; %z轴标注
图7.问题7程序图形
3、MATLAB的空间曲面绘制
二元函数
的图形是三维空间曲面，空间曲面图形在帮助人们了解二元函数特性上具有较大作用。
现介绍绘制空间曲面图形的命令。
（1）meshgrid命令
Meshgrid的调用形式是：
①[X,Y]=meshgrid（x,y）,绘制二维图形时生成小矩阵的格点；
②[X，Y]=meshgrid（x）,等价于[X,Y]=meshgrid（x,x）;
③[X,Y,Z]=meshgrid（x,y,z）,绘制三维图形时生成空间曲面的格点；
④[X,Y,Z]=meshgrid（x）,等价于[X,Y,Z]=meshgrid（x,x,x）.
（2）三维网格图命令mesh
函数mesh的命令形式如下：
①mesh（X,Y,Z）,X,Y,Z是同维的矩阵；
②mesh（x,y,Z）,x,y是向量，而Z是矩阵，等价于
③mesh（Z），若提供参数x,y,等价于mesh（x,y,Z）,否则默认x=1:
n,y=1:
m.
问题8、分别用指令mesh，meshc,meshz绘制函数
在-8≤x,y≤8上的图形。
解 在MATLAB中的程序如下：
t=-8:
0.3:
8; %取值范围
[x,y]=meshgrid（t）; %生成小矩形的格点
r=sqrt（x.^2+y.^2）+eps; %与程序下一行共同构成所求函数
z=sin（r）./r; %与程序上一行共同构成所求函数
subplot（1,3,1）; %图形分割
meshc（x,y,z）; %用meshc命令，生成图形的同时，生成曲面的等高线
title（'meshc'）,axis（[-88-88-0.50.8]）;%标题标注及坐标控制
subplot（1,3,2）; %图形分割
meshz（x,y,z）; %用meshz命令，生成图形的同时，生成曲面下方的长方形的台柱
title（'meshz'）,axis（[-88-88-0.50.8]）;
subplot（1,3,3）; %图形分割
mesh（x,y,z）; %用mesh命令，生成三维网格图形
title（'mesh'）,axis（[-88-88-0.50.8]）;%标题标注及坐标控制
图8.问题8程序图形
（3）三维表面图命令surf
Surf的调用方式与mesh相同，与mesh不同的是surf绘制的是曲面而不是网格。
问题9、绘出函数
，-1≤x,y≤1的三维网格图和三维表面图。
解 MATLAB的命令为：
t=-1:
0.1:
1; %取值范围
[x,y]=meshgrid（t）; %生成网格
z=3-x.^2-y.^2; %原函数
subplot（1,2,1）,mesh（x,y,z）; %分区域绘图
title（'网格图'）; %标注标题
subplot（1,2,2）,surf（x,y,z）; %分区域绘图
title（'表面图'）; %标注标题
图9.问题9程序图形
（4）球面的绘制
在MATLAB中用命令sphere来绘制球面，其使用形式为：
命令形式1：
sphere（n）
命令形式2：
[x,y,z]=sphere（n）
问题10、试绘制函数
与
的图形。
解 MATLAB中的命令如下：
%绘制半径为1的球面
v=[-22-22-22]; %设置参数
subplot（1,2,1）; %图形分割
sphere（30）,title（'半径为1的球面'）; %绘制图形及标注标题
axis（v）; %对图形坐标进行设置
%绘制半径为2的球面
[x,y,z]=sphere（30）; %设置参数
subplot（1,2,2）; %图形分割
surf（2*x,2*y,2*z）; %绘制图形
title（'半径为2的球面'）; %标注标题
axis（v）; %对图形坐标进行设置
图10.问题10程序图形
（5）色彩控制
①colormap
命令形式：
colormap（m）
问题11、着色性能的例子
解 在MATLAB中的命令如下：
z=peaks（20）;colormap（copper）;
subplot（1,3,1）;surf（z）;
subplot（1,3,2）;surf（z）;shadingflat;
subplot（1,3,3）;surf（z）;shadinginterp;
图11.问题11程序图形
二、MATLAB在函数单调性和最极值中的应用
MATLAB中提供的特殊函数diff可以很快的求出函数的导数。
diff函数用于对符号表达式求导数，其调用格式为：
①diff（f）:
没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数；
②diff（f,v）:
以v为自变量，对符号表达式f求一阶导数;
③diff（f,n）:
按findsym函数指示的默认变量对符号表达式f求n阶导数；
④diff（f,v,n）:
以v为自变量对符号表达式f求n阶导数。
另外，求一元函数的极值问题：
命令形式：
fminbnd（fun,x1,x2）
求多元函数极值问题
命令形式1：
fminsearch（fun,x0）
命令形式2：
fminunc（fun,x0）
下面就以上问题分别举例说明
问题12、由导函数的图象确定函数
的单调区间。
解 函数的定义域为（?
∞,+∞）．下面用Matlab求解
symsx %定义符号变量
f=2*x^3-9*x^2+12*x-6; %设定函数．
f1=diff（f）; %求f的导数．
x=solve（f1） %解方程求驻点以确定绘图区间．
f1 %显示f1
求得驻点x=[1][2]
函数的导数f1=6*x^2-18*x+12
fplot（'6*x^2-18*x+12',[0,3]） %绘制f1的图形
图12.问题12程序图形
由图可见，当x<1或x>2时,
;当1；所以
的单调增加区间为：
和
，单调减少区间为：
。
问题13、求函数
的单调区间与极值。
解:
求可导函数的单调区间与极值,就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点,利用matlab解决该问题,我们可以先求出导函数的零点,再画出函数图象,根据图象可以直观看出函数的单调区间与极值.输入命令:
symsx; %定义符号变量
f=x.^3-6.*x.^2+9.*x+3; %原函数
df=diff（f）; %利用diff函数求导
s=solve（df） %求解导函数
gridon %显示网格
得结果:
s=[1][3]
画出函数图象：
ezplot（f,[0,4]）;gridon %绘制图形且显示网格
图13.1问题13程序图形
从图上看,f（x）的单调增区间为（-∞,1）,（3,+∞）,单调减区间是（1,3）,极大值f
（1）=7,极小值f（3）=3.
求函数的单调区间，可用以下程序：
symsx %定义符号变量
f=x-log（1+x） %原函数
df=diff（f）; %利用diff函数求导
s=solve（df） %求解导函数
ezplot（f） %绘制图形
gridon %显示网格
可得结果s=0.其程序运行结果如图。
图13.2问题13程序图形
从图上看,f（x）的单调增区间为（0,+∞）,单调减区间是（-∞,0）,极小值f（0）=0.
问题14、用Matlab求函数
的极值。
解 函数的定义域为
，函数为奇函数．
先用fplot语句绘出函数的图形
fplot（'x/（1+x^2）',[-4,4]） %绘制图形
图14.问题14程序图形
易见函数既有极小值点（在-1附近），又有极大值点（在1附近）．先求极小值，输入程序:
Clear %清除变量
x=fminbnd（'x/（1+x^2）',-3,0） %用fminbnd函数求解极小值点
得出极小值点x=-1.0000，又由
subs（'x/（1+x^2）',-1） %求极小值
求出极小值
，再求极大值，输入程序
[x,f]=fminbnd（'-x/（1+x^2）',0,3） %求极大值点及极大值
得出极大值点x=1,极大值
。
问题15．区间
内的最小值。
解ATLAB命令如下：
ff='x+3*（x^2+cos（x））' %原函数
xmin=fmin（ff,-1,1） %求最小值
其运行结果为xmin=-0.3275
问题16．数
在区间
和
的最小值点。
解MATLAB命令为：
f=inline（'x-1/x+5'）; %定义一个语句函数
fminbnd（f,-10,-1） %求函数在（-10，1）内的最小值点
fminbnd（f,1,10） %求函数在（1，10）内的最小值点
其运行结果如下：
ans=-9.9999 ans=1.0001
问题17．函数
在区间
内的极小值点和极小值。
解 MATLAB命令为：
f='（x-3）^2-1'; %原函数
fminbnd（f,0,5） %运用函数求解极小值点
其结果为：
ans=3
即极小值点为x=3
[x,y]=fminbnd（f,0,5） %求解极小值
其结果为：
x=3 y=
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