山西省太原五中学年高一上学期段考数学试.docx
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山西省太原五中学年高一上学期段考数学试
2016-2017学年山西省太原五中高一（上）9月段考数学试卷
一、选择题
1．如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪B）∩（∁UB）D．B∪[∁U（A∩C）]
2．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列不表示从P到Q的映射是（ ）
A．f：
x→y=
xB．f：
x→y=
C．f：
x→y=
D．f：
x→y=
3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（ ）
A．2B．1C．1或2D．1或
4．若函数f（x）对任意a＞0且a≠1，都有f（ax）=af（x），则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（ ）
A．f（x）=﹣xB．f（x）=x+1C．f（x）=|x|D．f（x）=x﹣|x|
5．已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=
（x≠0），则f（
）等于（ ）
A．15B．1C．3D．30
6．已知集合P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}，则（ ）
A．P=QB．P⊊QC．Q⊊PD．以上皆错
7．设函数f（x）=
则不等式f（x）＞f
（1）的解集是（ ）
A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
8．已知f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，则当x＜0时，f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）=x|x+2|B．f（x）=x|x﹣2|C．f（x）=﹣x|x+2|D．f（x）=﹣x|x﹣2|
二、填空题
9．已知函数f（x）=
在（﹣∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
10．定义A∇B={z|z=xy+
，x∈A，y∈B}，设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}，则集合（A∇B）∇C的所有元素之和为 ．
11．已知函数f（x）满足：
f（p+q）=f（p）f（q），f
（1）=2，则
+
+
+
+…+
= ．
12．有下列五个命题：
①若A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集；
②函数y=
的定义域为{x|x≥1}；
③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；
④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线；
⑤不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}．
其中错误命题的序号是 ．
三、解答题
13．设函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5．
（Ⅰ）画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）设A={x|f（x）≥7}，求集合A；
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，求实数k的取值范围．
14．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．
（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；
（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．
15．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，不等式x2﹣ax﹣a﹣2≤0在集合A上恒成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年山西省太原五中高一（上）9月段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪B）∩（∁UB）D．B∪[∁U（A∩C）]
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．
【解答】解：
由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，
即B与[CU（A∪C）]的交集组成的集合，
即：
B∩[CU（A∪C）]．
故选A．
2．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列不表示从P到Q的映射是（ ）
A．f：
x→y=
xB．f：
x→y=
C．f：
x→y=
D．f：
x→y=
【考点】映射．
【分析】对于P集合中的任何一个元素在后Q集合中都有唯一确定的元素和它对应，这样的对应才是映射．据此对选项一一验证即得．
【解答】解：
∵0≤x≤4而y=
x∈Q，集合A中的元素在集合B中都有像，故选项A是映射．
对于选项B，y=
x∈Q，集合P中的所有元素在集合Q中都有唯一像，故选项B是映射．
对于选项C，集合P中的元素4在集合Q中没有像和它对应，故选项C不是映射．
对于选项D，y=
∈Q，集合P中的元素0在集合Q中都有唯一像，故选项D是映射．
故选C．
3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（ ）
A．2B．1C．1或2D．1或
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】先求出集合P，然后根据P∩Q≠∅，则集合P中含有集合Q的元素，从而求出m的取值．
【解答】解：
Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}={x|0＜x
，x∈Z}={1，2}
集合P={0，m}，P∩Q≠∅，集合P中含有集合Q的元素，
∴m=1或2
故选C
4．若函数f（x）对任意a＞0且a≠1，都有f（ax）=af（x），则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（ ）
A．f（x）=﹣xB．f（x）=x+1C．f（x）=|x|D．f（x）=x﹣|x|
【考点】函数的对应法则．
【分析】本题根据新函数定义进行验证，选出不符合条件的函数，即得到本题结论．
【解答】解：
（1）当f（x）=﹣x时，
对任意a＞0且a≠1，有：
f（ax）=﹣ax，
af（x）=a•（﹣x）=﹣ax，
∴f（ax）=af（x），
∴函数f（x）=﹣x为“穿透”函数．
（2）当f（x）=x+1时；
对任意a＞0且a≠1，
f（ax）=ax+1，
af（x）=a（x+1）=ax+a，
∴f（ax）≠af（x），
∴函数f（x）=x+1不是“穿透”函数．
（3）当f（x）=|x|时；
对任意a＞0且a≠1，
f（ax）=|ax|=a|x，|
af（x）=a|x|，
∴f（ax）=af（x），
∴函数f（x）=|x|为“穿透”函数．
（4）当f（x）=x﹣|x|时；
对任意a＞0且a≠1，
f（ax）=ax﹣|ax|=ax﹣a|x|，
af（x）=ax﹣a|x|，
∴f（ax）=af（x），
∴函数f（x）=x﹣|x|为“穿透”函数．
选项中所列函数，不是“穿透”函数的是f（x）=x+1．
故选B．
5．已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=
（x≠0），则f（
）等于（ ）
A．15B．1C．3D．30
【考点】函数的表示方法．
【分析】可令g（x）=
，得出x的值，再代入可得答案．
【解答】解：
令g（x）=
，得1﹣2x=
，解得x=
．
∴f（
）=f[g（
）]=
=
=15．
故选A．
6．已知集合P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}，则（ ）
A．P=QB．P⊊QC．Q⊊PD．以上皆错
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】讲集合P与Q分别用列举法表示出来即可
【解答】解：
法一∵P={x|x=m2+1，m∈N*}={2，5，10，17，…}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}
={x|x=（n﹣2）2+1}={1，2，5，10，17，…}，∴P⊊Q
法二∵P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}={x|x=（n﹣2）2+1}
对∀x∈P，则x=m2+1，m∈N+，∴x∈Q，但对于Q中元素，n=1时，x=02+1=1，1∈Q，而1∉P
∴P⊊Q
故答案选B
7．设函数f（x）=
则不等式f（x）＞f
（1）的解集是（ ）
A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先求f
（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．
【解答】解：
f
（1）=3，当不等式f（x）＞f
（1）即：
f（x）＞3
如果x＜0则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：
（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
8．已知f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，则当x＜0时，f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）=x|x+2|B．f（x）=x|x﹣2|C．f（x）=﹣x|x+2|D．f（x）=﹣x|x﹣2|
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用函数的奇偶性：
f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，取x＜0，转化为已知范围，得到所求．
【解答】解：
因为f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，
所以令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|=﹣f（x），
所以f（x）=x|x+2|；
故选A．
二、填空题
9．已知函数f（x）=
在（﹣∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】把函数f（x）=
在（﹣∞，1]上有意义转化为对于任意x∈（﹣∞，1]恒有ax+1≥0成立，然后对a分类求解得答案．
【解答】解：
∵函数f（x）=
在（﹣∞，1]上有意义，
∴ax+1≥0对任意x∈（﹣∞，1]成立，
当a=0时显然满足；
当a≠0时，则
，解得：
﹣1≤a＜0．
∴实数a的取值范围是[﹣1，0）．
综上，实数a的范围是[﹣1，0]．
10．定义A∇B={z|z=xy+
，x∈A，y∈B}，设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}，则集合（A∇B）∇C的所有元素之和为 18 ．
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】先弄清楚“A∇B”这种新运算的含义，对集合中的元素逐一进行讨论，做题时一定要把元素与集合对应准确．
【解答】解：
∵x∈A，y∈B
∴当x=0，y=1或2时z=xy+
=0；
当x=2，y=1时z=xy+
=4；
当x=2，y=2时z=xy+
=5；
∴A∇B={0，4，5}
∵x∈A∇B，y∈C
∴当x=0，y=1时z=xy+
=0；
当x=4，y=1时z=xy+
=8；
当x=5，y=1时z=xy+
=10；
∴（A∇B）∇C={0，8，10}．
则集合（A∇B）∇C的所有元素之和为18．
11．已知函数f（x）满足：
f（p+q）=f（p）f（q），f
（1）=2，则
+
+
+
+…+
= 4026 ．
【考点】数列与函数的综合．
【分析】函数f（x）满足：
f（p+q）=f（p）f（q），f
（1）=2，可得
=f
（1）=2，代入即可得出．
【解答】解：
∵函数f（x）满足：
f（p+q）=f（p）f（q），f
（1）=2，
∴f（n+1）=f（n）•f
（1），可得
=f
（1）=2，
则
+
+
+
+…+
=2×2013=4026．
故答案为：
4026．
12．有下列五个命题：
①若A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集；
②函数y=
的定义域为{x|x≥1}；
③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；
④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线；
⑤不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}．
其中错误命题的序号是 ①②③④ ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①A={0}，B={1}，A∩B=Φ，但A、B均非空，可判断①；
②由
得：
x≥1或x=0，可判断②；
③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}={1}有1个元素，可判断③；
④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线上一群孤立的点，可判断④；
⑤（x2﹣4）（x﹣6）2≤0⇒x2﹣4≤0或x=6，于是可得不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}，从而可判断⑤．
【解答】解：
①若A∩B=Φ，则A，B之中至少有一个为空集，错误，如A={0}，B={1}，A∩B=Φ，但A、B均非空；
②由
得：
x≥1或x=0，所以，函数y=
的定义域为{x|x≥1或x=0}，故②错误；
③由x2﹣2x+1=0得：
x1=x2=0，故集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}={1}有1个元素，故③错误；
④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线上一群孤立的点，故④错误；
⑤因为（x2﹣4）（x﹣6）2≤0，所以x2﹣4≤0或x=6，解得﹣2≤x≤2或x=6，
所以不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}，故⑤正确．
综上所述，其中错误命题的序号是①②③④，
故答案为：
①②③④．
三、解答题
13．设函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5．
（Ⅰ）画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）设A={x|f（x）≥7}，求集合A；
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，求实数k的取值范围．
【考点】函数图象的作法；函数的零点与方程根的关系；一元二次不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5=
，画出y=f（x）的图象，如图．
（Ⅱ）由f（x）≥7可得即①
，或②
．分别求得①、②的解集额，再取并集，即得所求．
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，即函数f（x）的图象和直线y=k+1有两个不同的交点，结合函数f（x）的图象可得k的范围．
【解答】解：
（Ⅰ）∵函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5=
，画出y=f（x）的图象，如图：
（Ⅱ）由f（x）≥7可得x2﹣4|x|﹣5≥7，
即①
，或②
．
解①得x≥6，解②可得x≤﹣6，
故A={x|f（x）≥7}=（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，即函数f（x）的图象和直线y=k+1有两个不同的交点，
由于当x=±2时，函数f（x）取得最小值为﹣9，
结合函数f（x）的图象可得k+1=﹣9，或k+1＞﹣5，
解得k=﹣10，或k＞﹣6，
即k的范围为{﹣10}∪（﹣6，+∞）．
14．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．
（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；
（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．
【分析】（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；
（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．
【解答】解：
（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，
解得：
﹣2≤x≤4．
∴A={x|﹣2≤x≤4}．
∁RA={x|x＜﹣2或x＞4}；
（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．
∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．
由（﹣1，1）⊆A，得
，解得a
．
∴实数a的取值范围是
．
15．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，不等式x2﹣ax﹣a﹣2≤0在集合A上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】解法1，求出集合A，设f（x）=x2﹣ax﹣a﹣2，利用二次函数的图象与性质，得出
，求出a的取值范围；
解法2，求出集合A、B，由A⊆B，得
；从而求出a的取值范围．
【解答】解法一：
集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，…
设f（x）=x2﹣ax﹣a﹣2，
由f（x）的图象知：
当方程x2﹣ax﹣a﹣2=0的小根x1≤﹣1，大根x2≥2时，即可满足题意；…
∴
，即
，
解得a≥
；
∴实数a的取值范围是
．…
解法二：
集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，
B=[
，
]；
∵A⊆B，
∴
；
解得a≥
；
∴a的取值范围是{a|a≥
}．
2017年1月1日
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