北师大版5年级数学倍数与因数标准讲义.docx
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北师大版5年级数学倍数与因数标准讲义
数学一对一辅导讲义
学生姓名
年级
5年级
授课老师
李老师
上课时间
年月日
教学课题
倍数与因数
教学目标
1、使学生掌握找一个数的因数，倍数的方法；
2、使学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；
3、能熟练地找一个数的因数和倍数；
教学重点与难点
质数、合数、分解质因数、求最大公因数和最小公倍数，求三个数的最小公倍数的算理。
教学过程
一、知识点讲解
一）、因数与倍数的关系
1、倍数与因数的意义：
如果a×b=c（a,b,c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
注意：
1）倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。
只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
不能说是谁是因数，谁是倍数。
2）倍数因数只考虑正数。
小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。
例如：
36的因数有（）。
确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。
如：
1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：
1、2、3、4、6、9、12、18、36。
重复的和相同的只算一个因数。
例如：
7的倍数（）。
确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：
1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。
因此7的倍数有：
7、14、21、28、35、42……
2、有前提条件的情况下确定倍数与因数
例如：
25以内5的倍数有（5、10、15、20、25）。
特别注意前提条件是25以内！
例如：
5、1、20、35、40、10、140、2
以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。
首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！
3、关于倍数因数的一些概念性问题
1）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。
2）一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。
3）1是任一自然数（0除外）的因数。
也是任一自然数（0除外）的最小因数。
4）一个数的因数最少有1个，这个数是1。
除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。
5）一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。
6）一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数
4、公倍数与公因数：
如6和8的公因数有：
1、2；6和8的公倍数有48、96……。
二）、2，3，5的倍数的特征
1、2、3、5的倍数特征
1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
例如：
202、480、304，都能被2整除。
2）个位上是0或5的数，是5的倍数。
例如：
5、30、405都能被5整除。
3）一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
例如：
12、108、204都能被3整除。
4）个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。
例如：
80、20、70、130等。
5）个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。
例如：
120、90等。
2、自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
也就是说是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
（因此在自然数中，除了奇数就是偶数）
注意：
偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数
偶数＋奇数=奇数偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数
奇数＋奇数=偶数奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数
奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数
偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数
3、一些特殊数的倍数的特征
1）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。
2）但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。
3）一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。
例如：
16、404、1256都是4的倍数。
4）一个数的末两位数能被25整除，这个数就是25的倍数。
例如：
50、325、500、1675都是25的倍数。
5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就是8（或125）的倍数。
例如：
1168、4600、5000、12344都如果a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数
6）如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数
三）、质数和合数
1、质数和合数的相关定义
1）质数：
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）
2）合数：
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
3）1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
4）如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。
5）100百以内的质数：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
共25个。
6）质数×质数=合数合数×合数=合数质数×合数=合数
2、分解质因数（分步相乘法、短除法）
1）分解质因数：
把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
2）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，
例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
3）分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。
例如：
24=2×1224=3×8
2×6因此24=2×2×2×32×4
2×32×2
二、例题讲解
一、倍数与因数的关系
例1在18÷3=6中，（）和（）是（）的因数。
在3×9=27中，（）是（）和（）的倍数。
例2按要求写出50以内6和8的所有倍数
6的倍数8的倍数
既是6的倍数也是8的倍数
例3判断：
3是因数，18是倍数。
……………………（）
例4下列各式中，被除数是除数的倍数的是（BD）对吗？
A.22÷3=7.333……B.0.60.2=3C.43÷5=8.6D.54÷9=6
例5按要求写出100以内的数。
4的倍数：
8的倍数：
12的倍数：
二、2、3、5倍数的特征
例1：
下面哪些数是2的倍数？
哪些数是5的倍数？
哪些数是3的倍数？
哪些数既是2和5的倍数，又是3的倍数？
35 130 24 100 332 120 60 15
74 521 106 67 90 876 280 99
2的倍数：
5的倍数:
3的倍数:
既是2和5的倍数，又是3的倍数:
偶数：
奇数：
例2判断：
3个连续的自然数中，一定有两个数偶数。
…………（）
3是奇数。
所以3的倍数也是奇数。
………………（）
一个数既是3的倍数也是2的倍数，则这个数一定是6的倍数。
…………（）
一个数的因数一定比这个数小。
………………………（）
例3用0,5,6组成的三位数中，是2的倍数的数有哪几个？
是5的倍数的数有哪几个？
既是2又是5的倍数的数有哪几个？
例4既是3的倍数又是奇数的最大两位数是（），最小两位数是（）。
例5奶奶买了14个苹果，小明想平均分给三个人，他至少要吃掉几个才能正好分完？
例618的因数有（）个，倍数有（）个。
A.4B.5C.6D.无数
例75□□0是有两个相同数字的四位数，它同时是2,3和5的倍数。
这个四位数最大是多少？
最小是多少？
例8一些珍珠分给几个小朋友，每人分3颗多3颗，每人分5颗少5颗。
一共有多少个小朋友？
一共有多少颗珍珠？
三、质数与合数
1既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
例1找出42的全部因数。
其中是质数的是？
合数的是？
例2找1-100的自然数中哪些数是质数？
例3下面各数中哪些是质数？
哪些是合数？
13 22 27 17 41 57 61 23 53 76 87 97 33 47 77
99 11 83 60 5
质数：
合数：
例4两个质数的和是12，积是35，这两个质数分别是多少？
例5从下面的数字中任取两个，按要求组成两位数。
（各写4个）
7 5 3 2 0
质数：
合数：
奇数：
偶数：
三、课堂练习
（一）
1、填空题
1）自然数中，（ ）的数叫做偶数，（ ）的数叫做奇数。
2）个位上是（ ）或（ ）的数，是5的倍数。
3）既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是（ ）。
4）6既是（ ）的倍数，又是（ ）的倍数，还是（ ）的倍数。
5）奇数与偶数的和是（ ）数；奇数与奇数的和是（ ）数；偶数与偶数的和是（ ）数。
6）87是一个（ ）数，还是一个（ ）数。
7）一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（ ）。
8）在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。
2、判断（对的打“√”，错的打“×”）
1）在自然数中，除了奇数就是偶数。
（ ）
2）个位上是3、6、9的数就是3的倍数。
（ ）
3）1是质数。
（ ）
4）2既是偶数，又是质数。
（ ）
5）所有的质数都是奇数。
（ ）
6）10是倍数，5是因数。
（ ）
7）自然数a的最大因数是a，最小倍数也是a。
（ ）
8）一个自然数不是质数就是合数。
（ ）
3、选择
1）下面数中，（ ）既是2的倍数，又是5的倍数。
A.24 B.30 C.45
2）（ ）的最小倍数是1。
A.3 B.0 C.1
3）最小的质数与最小的合数的和是（ ）A.6 B.5 C.3
4）下面数中，（ ）既是2的倍数，又是3的倍数。
A.27 B.36 C.19
5）两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（ ）A.3和8 B.2和9 C.5和7
6）1、3、5都是15的（ ）A.质因数 B.公因数 C.因数
7）一个合数至少有（ ）个因数。
A.1 B.2 C.3
4、分类。
45 67 78 34 23 24 15 128 76 85 90
89 49 79 31 97 87 77 37 0 123 55
以上数中，偶数有（ ）奇数有（ ）质数有（ ）合数有（ ）2的倍数有（ ）5的倍数有（ ）3的倍数有（ ）。
5、在□里填一个数字，使每个数都是3的倍数。
□5，□里可以填（ ）;3□7，□里可以填（ ）;□78，□里可以填（ ）14□3，□里可以填（ ）;60□1，□里可以填（ ）。
6、五·一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？
7、小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。
给售货员50元，找回22元，对不对？
为什么？
（二）
一、填空。
（33%）
（1）6×4=24，6和4是24的（ ），24是6的（ ），也是4的（ ）。
（2）24的因数有（ ）。
（3）下面的数中，把质数划去，留下合数。
2 9 23 27 28 29 31 35 37 39 51
（4）一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。
（5）两个都是质数的连续自然数是（ ）和（ ）。
（6）在15、18、29、35、39、41、47、58、70、87这些数中：
①是偶数的有（ ）； ②是奇数的有（ ）；
③有因数3的是（ ）； ④5的倍数有（ ）。
（7）最小的自然数是（ ），最小的质数是（ ）最小的合数是（ ）。
二、选择题。
将正确答案的序号填在题中的括号里。
（8%）
（1）一个数是3的倍数，这个数各位上数的和（ ）。
①大于3 ②等于3 ③是3的倍数 ④小于3
（2）一个合数至少有（ ）。
①一个因数 ②二个因数 ③三个因数 ④四个因数
（3）87是（ ）；41是（ ）。
①合数 ②质数 ③因数 ④倍数
（4）既不是质数又不是合数的是（ ）。
①1 ②2 ③3 ④4
（5）42÷3＝14，我们可以说（ ）。
①42是倍数 ②3是因数 ③ 42是3的倍数 ④42是3的因数
（6）两个奇数的和（ ）。
①一定是奇数 ②一定是偶数 ③可能是奇数也可能是偶数 ④一定是质数
（7）几个质数之积一定是（ ）。
①奇数 ②偶数 ③合数 ④质数
（8）5和7都是35的（ ）。
①奇数 ②偶数 ③因数 ④倍数
三、生活中的数（16分）
1、501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？
可以分成几组？
2、食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？
如果每5个装一袋，能正好装完吗？
如果每3个装一袋，能正好装完吗？
为什么？
3、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？
如果按了50下呢？
四、课堂小结
五、课后作业
一、判断题
（ ）1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。
（ ）2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。
（ ）3、个位上是0的数都是2和5的倍数。
（ ）4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
（ ）5、5是因数，10是倍数。
（ ）6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。
（ ）7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。
（ ）9、任何一个自然数最少有两个因数。
（ ）10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。
（ ）11、15的倍数有15、30、45。
（ ）12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。
（ ）13、两个素数相乘的积还是素数。
（ ）14、一个合数至少得有三个因数。
（ ）15、在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。
（ ）16、15的因数有3和5。
（ ）17、1是16的因数，16是16的倍数。
（ ）18、8的因数只有2，4。
（ ）19、任何数都没有最大的倍数。
二、填空。
1、在50以内的自然数中，最大的素数是（ ），最小的合数是（ ）。
2、既是素数又是奇数的最小的一位数是（ ）。
3、在20以内的素数中，（ ）加上2还是素数。
4、如果有两个素数的和等于24，可以是（ ）＋（ ），（ ）＋（ ）或（ ）＋（ ）。
5、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ）。
6、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（ ）。
7、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）。
8、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a+b的和的所有因数有（ ）个；a-b的差的所有因数有（ ）个；a×b的积的所有因数有（ ）个。
9、比6小的自然数中，其中2是（ ）的因数，又是（ ）的倍数。
10、个位上是（ ）的数，都能被2整除；个位上是（ ）的数，都能被5整除。
11、在自然数中，最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），最小的素数是（ ），最小的合数是（ ）。
12、素数只有（ ）个因数，它们分别是（ ）和（ ）。
13、一个合数至少有（ ）个因数，（ ）既不是素数，也不是合数。
14、自然数中，既是素数又是偶数的是（ ）。
15、 48的最小倍数是（ ），最大因数是（ ）。
最小因数是（ ）。
16、 用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（ ）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（ ）。
17、一个自然数的最大因数是24，这个数是（ ）。
18、在 27、68、44、72、587、602、431、800中。
（共4分）
奇数是：
偶数是：
19、在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。
（共5分）
素数是：
合数是：
20、按要求做。
（6~7题共12分）
从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。
（1）组成的数是2的倍数有：
（2）组成的数是5的倍数有：
。
（3）组成的数是3的倍数有：
21、偶数+偶数= 奇数+奇数= 偶数+奇数=
22、幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。
按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友。
三、选择题
1、15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。
①1 ②3 ③5 ④15
2、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。
①素数 ②因数 ③质因数
3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。
①6 ②12 ③24 ④144
4、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（ ）。
①120个 ②90个 ③60个 ④30个
5、自然数中,凡是17的倍数（ ）。
①都是偶数 ②有偶数有奇数 ③都是奇数
6、下面的数，因数个数最多的是（ ）。
A 18 B 36 C 40
7、两个素数的和是（ ）。
A 偶数 B 奇数 C奇数或偶数
8、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（ ）。
A奇数和偶数 B素数和合数 C素数、合数、0和1
9、1是（ ）。
A 素数 B 合数 C 奇数 D 偶数
10、甲数×3=乙数，乙数是甲数的（ ）。
A 倍数 B 因数 C 自然数
11、同时是2、3、5的倍数的数是（ ）。
A 18 B 120 C 75 D 810
四、应用题。
1、一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?
2、 幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。
小朋友的人数可能是多少？
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