中学数学教材中概率统计内容分析.docx
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中学数学教材中概率统计内容分析
摘要………………………………………………………………………………I
ABSTRACT……………………………………………………………………………I
中学数学教材中概率统计内容分析
卢海川
西华师范大学数学与信息学院2007级5班指导老师：
陈豫眉
内容摘要：
由于概率统计的应用性强，要培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强统计概率的份量成为必然。
但概率统计的知识点比较抽象，需要从本质出发，体会其思想，加入实际的应用中。
关键词：
中学数学；概率统计；教学；教材；多媒体
TheContentAnalysisofStatisticsandProbabilityinMiddleSchoolMathBook
LuHaichuan
DepartmentofMathematicsandInformation，MajorinMathematicsandAppliedMathematics，Grade2007，Instructor:
ChenYumei
Abstract:
Asaresultofprobabilitystatistics'utility，mustraisestudent'sapplicationconsciousnessandbeginningability，inmathematicscurriculum，strengthensthestatisticalprobabilitythecomponenttobecomeinevitably。
Butprobabilitystatistics'knowledgeisquiteabstract，needstoembarkfromtheessence，realizesitsthoughtthatjoinsintheactualapplication。
Keywords:
MiddleSchoolMathBoo
1、“新课标”下中学数学里的概率与统计的知识点变化
（1）统计内容由选修内容变成了必修内容，而且在概率之前。
这可以从两方面理解，一方面是统计与概率学科发展的历史是先有统计，为了研究统计结论的可靠性问题，概率得到了发展:
另一方面考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习过程中可以接触到大量统计案例，学习过程中的实践性可以大大增强。
（2）必修部分增加了随机数的产生、用随机模拟方法估计概率。
这样可以利用信息技术帮助学生理解随机试验的随机性和规律性，体会用样本估计总体的误差。
（3）选修部分增加了统计案例。
这部分内容主要是通过一些简单的统计案例，让学生了解一些统计思想，比如假设检验的思想、聚类分析的思想、回归的思想，知道统计方法的有效性、局限性和可改进性。
2、概率统计内容简介
统计
教材简介
统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据。
在客观世界中，需要认识的现象无穷无尽。
要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象。
如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析，是正确地认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题。
现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学——统计学就备受重视。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中指出统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
《数学3（必修）》包括算法初步、统计和概率三部分内容，本章介绍该模块中统计方面的内容。
从义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，在每个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，教学要求随着学段的升高逐渐提高。
在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上，《标准》要求教科书通过实际问题及情景，进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。
本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法，以及几种从样本数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。
全章共安排了3个小节，教学约需16课时，具体内容和课时分配（仅供参考）如下：
[1]
随机抽样 约5课时
阅读与思考一个著名的案例
阅读与思考广告中数据的可靠性
阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应
用样本估计总体 约5课时
阅读与思考生产过程中的质量控制图
变量间的相关关系 约4课时
阅读与思考相关关系的强与弱
实习作业 约1课时
小结 约1课时
2.1.2教科书的内容与课程学习目标[2]
通过实际问题情境，学习随机抽样、用样本估计总体、线性回归的基本方法，了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，进一步体会统计思维与确定性思维的差异。
本章知识展开的结构框图如下：
现代社会是信息化的社会，人们面临形形色色的问题，把问题用数量化的形式表示，是利用数学工具解决问题的基础。
对于数量化表示的问题，需要收集数据、分析数据、解答问题。
统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
在义务教育阶段已经介绍了一些有关抽样调查的知识，本章的侧重点在于如何能够得到高质量的样本，了解方便样本的缺点以及随机样本的简单性质。
教科书首先通过大量的日常生活中的统计数据，通过边框的问题和探究栏目引导学生思考用样本估计总体的必要性，以及样本的代表性问题。
为强化样本代表性的重要性，教科书通过一个著名的预测结果出错的案例，使学生体会抽样不是简单的从总体中取出几个个体的问题，它关系到最后的统计分析结果是否可靠。
关于这个案例，还隐含着方便样本代表性差的问题，教师稍加引导就可以使学生体会到这一点。
通过对“广告中数据的可靠性”的思考，使学生能从样本代表性的角度思考日常生活中的数字统计结果的科学性问题。
在学生体会到样本的重要性之后，接下来教科书以袋装牛奶的质量问题为情景，探讨获取能够代表总体样本的方法。
在这个过程中，教科书利用一勺汤来“判断一锅汤的味道”的浅显道理，使学生认识到把总体“搅拌均匀”是取得有代表性总体的关键所在。
教师稍加引导，就可使学生体会到“搅拌均匀”的本质是使总体中的每个个体入选到样本的可能性相等，这样就自然地得到了随机样本的概念。
随后教科书较详细地介绍了简单随机抽样方法，通过实际问题情景引入系统抽样和分层抽样方法。
最后通过探究的方式，引导学生总结三种随机抽样方法的优缺点。
当研究的对象为人时，获取样本数据变得更加复杂，涉及到组织问题、心理学问题、道德问题等，教科书通过阅读与思考“如何得到敏感性问题的诚实反应”，让学生体会到这一点。
在第2节，教科书通过探究栏目引导学生思考居民生活用水定额管理问题，引出总体分布的估计问题，该案例贯穿本节始终。
通过对该问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图。
这里教科书按照《标准》的要求，主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间。
教师可以通过初中有关随机事件的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想。
由于样本频率分布直方图可以估计总体分布，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，这就提供了估计总体特征的另一种途径，其意义在于：
在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法可以估计总体的分布特征。
教科书还结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数。
对于众数、中位数和平均数的概念，重点放在比较它们的特点，以及它们的适用场合上，使学生能够发现，在日常生活中某些人通过混用这些（描述平均位置的）统计术语进行误导。
另一方面，教科书通过思考栏目让学生注意到，直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同。
在得到这个结论后，教师可以举一反三，使学生思考对于众数和平均数，是否也有类似的结论。
进一步，可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点。
这样处理，可以给教师留下较大发挥空间，根据学生的不同情况，采取不同的处理方法。
教科书通过几个现实生活的例子，引导学生认识到：
只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征。
通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程。
教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题，通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”，让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用。
变量之间的关系，是人们感兴趣的问题。
教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”，引导学生考察变量之间的关系。
在教师的引导下，可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性。
随后，通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）。
教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中，向学生展示创造性思维的过程，帮助学生理解最小二乘法的思想。
通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考，使同学了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程，体会线性回归方程做出的预测结果的随机性，并且可能犯的错误。
进一步，教师可以利用计算模拟和多媒体技术，直观形象地展示预测结果的随机性和规律性。
在阅读与思考“相关关系的强与弱”中，进一步介绍了描述两个变量之间关系强弱的样本特征——相关系数的计算公式及统计含义，通过分析具有不同相关系数的数据的散点图，进一步加深学生对相关系数的直观理解。
概率
2.2.1教材简介
在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象，既有确定性现象，又有随机现象。
随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。
教科书把概率放在统计之后，体现了先统计后概率的思想。
现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策。
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
近年来，统计在实际中得到广泛的应用，用数据、图表等说明问题更有说服力，更直观、更容易理解。
概率为统计学的发展提供了理论基础。
由于概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）设置了“统计与概率”的内容，目的就在于发展数学应用意识，使学生体会数学在实际中的应用价值，同时更全面地培养学生解决问题的能力。
本章包括3节，教学约需8课时，具体内容和课时分配（仅供参考）如下：
随机事件的概率 约3课时
阅读与思考 天气变化的认识过程
古典概型 约2课时
几何概型 约2课时
阅读与思考 概率和密码
小结 约1课时
2.2.2教科书内容与课程学习目标
本章知识结构框图如下：
。
本章包括以下内容：
（1）随机事件的概率的统计定义，通过一些具体实例介绍概率的意义，概率的基本性质；
（2）古典概型的特征及概率的计算公式；（3）几何概型的特征及概率的计算公式；（4）利用随机模拟的方法估计随机事件的概率。
教科书首先通过具体实例给出了随机事件的定义，通过抛掷硬币的试验，观察正面朝上的次数和比例，引出了随机事件出现的频数和频率的定义，并且利用计算机模拟掷硬币试验，给出试验结果的统计表和直观的折线图，使学生观察到随着试验次数的增加，随机事件发生的频率稳定在某个常数附近，从而给出概率的统计定义。
概率的意义是本章的重点内容。
教科书从下列几方面解释概率的意义：
（1）概率的大小可以用来检验游戏的公平性。
（2）正确理解随机事件的概率的意义，澄清日常生活中出现的一些错误认识。
例如，尽管抛掷一枚硬币出现正面的概率为0。
5，但连续两次抛掷硬币，不一定会出现一次正面和一次反面。
又如，中奖率为的彩票，买1000张不一定中奖。
（3）统计中极大似然思想的概率解释，在一次试验中概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大。
（4）每天听到的天气预报中降水概率的解释。
（5）用概率解释遗传学的机理。
通过掷骰子的试验，给出事件之间的关系与运算，包括包含关系、相等关系、并事件、交事件、互斥事件、对立事件。
利用频率与概率的关系，由频率的加法公式得到概率的加法公式。
通过掷硬币和掷骰子的试验，引入古典概型。
导出古典概型中计算某个随机事件的概率的公式。
教科书中的4个例题都有应用背景，学生比较熟悉，容易引起学生的学习兴趣。
教科书力求在每道例题计算出随机事件的概率后给出解释，帮助学生更好地理解概率的意义。
几何概型是新课标增加的内容，要求初步体会几何概型的意义，所以教科书中选用的例题都是比较简单的。
随机数的产生与随机模拟也是新课标增加的内容，教科书中分两部分介绍：
第一部分是在第2节，分别介绍了用计算器和计算机中的Excel软件产生取整数值的随机数的方法，这样的随机数可以用在简单随机抽样中。
第二部分是在第3节，分别介绍了用计算器和计算机中的Excel软件产生取均匀随机数的方法。
通过具体实例，介绍了利用随机模拟的方法估计随机事件的概率、估计圆周率的值、近似计算不规则图形的面积。
通过阅读与思考“天气变化的认识过程”，加深学生对随机现象的理解，使学生了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的。
通过阅读与思考“概率和密码”，让学生了解概率这门学科在实际中是十分有用的，目的是引发学生学习概率的兴趣。
3、概率统计的难点分析
统计的难点分析[3]
真实的数据能提供科学信息，数据能帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。
因此，“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体”又是统计最核心的思想方法。
统计学已有2000多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学可以分为描述统计和推断统计。
描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。
推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。
那么统计内容学习的难点在哪里呢？
（1）确定性数学思维模式对统计思维方法的影响
统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。
它所采用的是归纳推理，属于合情推理范畴．带有很强的试验性．确定性数学主要运用演绎推理的方式，即从已有的事实（包括定义、公理、定理）出发，按照规定的法则证明结论，或揭示数学规律．研究确定性数学，是不能用个别举例或验证代替一般的证明的。
比如可以通过测量或拼接的方法，归纳得出“三角形内角和等于180°”,但是，哪怕你度量了无数次，也只能说发现了这一结论，未经证明之前仍不能作为定理。
统计学习中，这种思维方式的转变需要一个过程。
（2）统计方法的评价与统计结果的解释
对确定性数学，在给定的条件下，结论是完全确定的．对其结果可以用“对”和“错”来评判．用样本推断总体，由于样本数据和总体的不一致性，会产生代表性误差，由于样本的随机性，会产生随机误差，从而造成估计的结论也具有不确定性．因此，评价一种估计方法的好坏，不能仅依一次估计的误差大小来衡量，而应考虑所有可能样本的情况下，整体误差的大小．即在相同的误差范围内，置信度大的方法好，或在相同的置信度下，误差小的方法好。
对统计结论也不能用“对”和“错”来解释。
对某种统计方法，既要让学生认识到方法的合理性，又体会到结果的不确定性，这是渗透统计思想不可缺少的。
问题是，在学生没有或具有很少的概率知识背景下，在教学中应该如何处理？
这肯定是一个难点。
案例1现有n个实数，在求这n个数的平均值时，对每个数四舍五入保留整数，近似数分别为．令，，估计误差的范围。
在确定性数学中，，，所以。
当我们用概率形式来表示时，则有，当取时，则有。
估计要比精确得多，但只能以95%的把握保证其正确性。
（3）统计原理的理解与运用[4]
统计推断的依据是一些统计原理。
例如，统计估计时依据极大似然原理，假设检验时依据小概率原理，回归分析依据最小二乘原理等。
它们都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般原理。
统计原理不同于数学公理或定理，公理是大家公认的事实，是绝对正确的；定理是经过严密的逻辑证明是正确的事实。
而统计原理本身并不是绝对正确的，利用这些原理进行推断肯定会犯错误。
如何理解这些原理，并将其运用到统计推理中，这是又一个难点。
案例2 目前流行的甲型H1N1流感传染性很强，假设在人群中的感染率为20%．现有Ⅰ、Ⅱ两种疫苗，疫苗Ⅰ对8个健康的人进行注射，最后结果为无一人感染。
疫苗Ⅱ对25个健康的人进行注射，最后结果为有一人感染。
你认为这两种疫苗哪个更有效？
直观分析：
如果不考虑概率，注射疫苗Ⅰ后感染率为0，注射疫苗Ⅱ后感染率为4%，似乎疫苗Ⅰ更有效些。
但现实中感染率只有20%，也就是100人中大概只有20人会感染上。
假设疫苗Ⅰ完全无效，“8人注射无一人感染”仍有较大的可能性．假设疫苗Ⅱ无效的条件下，“25人注射只有1人感染”的可能性要小的多。
依据小概率原理，判断疫苗Ⅱ比疫苗Ⅰ可能更有效些。
推理过程：
设事件A=“8人注射无一人感染”，B=“25人注射有1人感染”，假设疫苗Ⅰ无效，，A发生的可能性较大，没有充足的证据说明疫苗Ⅰ有效。
假设疫苗Ⅱ无效，，B是一个小概率事件，依据小概率原理，认为B在一次试验中是不会发生的，但现在竟然发生了，和统计原理相违背，从而否定假设，认为疫苗Ⅱ有效。
这种推理称为假设检验。
所运用的推理方式类似于数学反证法。
应用数学反证法，当推出和已知事实矛盾的结果时，否定假设。
假设检验是一旦小概率事件发生，就否定假设。
但小概率原理不是绝对正确的事实，所以推理有可能犯错误。
我们追求的是使犯错误的概率尽可能小。
概率的难点分析
（1）概率的抽象性。
像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。
概率作为随机事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，太抽象了。
（2）统计规律的隐蔽性．随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量重复试验时，事件频率的稳定性。
这种规律称之为统计规律性。
频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的。
同时它也给出了度量的一种方法。
由于统计规律是通过大量重复试验揭示的，所以在利用概率思想进行决策时，会产生理解上的困难。
因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义。
对概率与频率的关系的认识可以按以下四个层次进行，而大数定律不要求学生了解。
直观认识。
概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；而频率反映在n次试验中，事件发生的频繁程度。
一般地，如果事件A的概率较大，在重复试验中，它发生的就比较频繁，因此A的频率也较大；同样如果事件A的概率较小，它的频率也较小。
反之也对。
具体试验。
前人对频率的稳定性的认识，首先是通过大量重复试验获得的，而后大数定律作了严格的数学刻画．在教学中虽然不必做很多试验，但通过适当的试验，借助统计图表示频率的稳定性规律，可以增加直观认识．借助计算机模拟试验也可以节省大量时间．对频率的认识应该先认识稳定性，其次是频率的不确定性．即随着试验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。
但当试验次数较少时，频率的波动可能比较大。
实例辨析。
有些资料这样叙述：
“试验次数越多，用频率估计概率就越准确”。
这样的叙述严密吗？
以掷硬币为例，已知“正面向上”的概率为，掷两次硬币，可能频率为是，用频率估计概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为，误差为。
显然上面的叙述不严密，也可以说是错误的。
下面的案例可能增加对概率与频率的关系的近一步的理解（不需要学生了解计算方法）。
案例1 分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性。
用表示掷n次硬币“正面向上”的频率，的取值具有不确定性，用EXCEL计算结果如下表：
比较严格的叙述为：
“当试验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小。
试验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”。
精确刻画．大数定律对概率与频率的关系作了严格的数学描述。
设事件A的概率为p，在n次重复试验中，A发生的频率为，则对任意的正数，都有。
（3）概率定义的复杂性。
概率是事件发生的可能性大小的度量。
这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有哪些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助。
“概率是频率的稳定值”，这是概率的统计定义。
它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性．但频率还具有随机性的特征，特别当试验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么。
为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。
先认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）。
案例2美国的一个电视游戏节。
有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊。
给你一次猜的机会。
猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车．当然大家都希望能开走汽车。
现在假如你猜1号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如2号门）打开。
现在再给你一次机会，请问你是否要换3号门？
这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个。
在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有。
足以看出概率问题是有一定难度的。
观点一 一位数学博士说：
美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是1/3，所以不必换。
观点二假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以不必换。
观点三车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3，现在既然2号门后面没有车，所以车在3号门后面的概率为2/3，因此应该换。
哈佛大学概率教授（Diaconis）应电视台邀请，进行了表演。
以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。
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