数学物理方程复习.docx
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数学物理方程复习
数学物理方程复习
一．三类方程及定解问题
（一）方程
1.波动方程（双曲型）
Utt=a2Uxx+f;00
U（0,t）=Φ1（t）;
U（l,t）=Φ2（t）;
U（x,0）=Ψ1（x）;
Ut（x,0）=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）
Ut=a2Uxx+f;00
U（0,t）=Φ1（t）;
U（l,t）=Φ2（t）;
U（x,0）=Ψ1（x）.
3.稳态方程（椭圆型）
Uxx+Uyy=f;00.
U（0,x）=Φ1（x）;
U（b,x）=Φ2（x）;
U（y,0）=Ψ1（y）;
Ut（y,a）=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤
1.建立数学模型，写出方程及定解条件
2.解方程
3.解的实定性问题（检验）
（三）写方程的定解条件
1.微元法：
物理定理
2.定解条件：
初始条件及边界条件
（四）解方程的方法
1.分离变量法（有界区域内）
2.行波法（针对波动方程，无界区域内）
3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）
Fourier变换:
针对整个空间奇：
正弦变换偶：
余弦变换
Laplace变换：
针对半空间
4.Green函数及基本解法
5.Bessel函数及Legendre函数法
例一：
在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：
建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为bUt（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：
（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：
（T2SINa2-T1SINa1-bUt（x+n△x））（0在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux（x,t）,SINa2≈TANa2=Ux（x+△x,t）,
COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.（ρ是密度）
即（T/ρ）[Ux（x+△x,t）-Ux（x,t）]/△x-（b/ρ）Ut（x+n△x，t）
即令△x0时有：
Utt+aUt=a2Uxx
例二：
设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。
解：
设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。
由扩散定律知：
流入X方向的流粒子数为：
[qx（x,t）-qx（x+△x,t）]△t△y△z,
流入Y方向的流粒子数为:
[qY（y,t）-qY（y+△y,t）]△t△x△z,
流入Z方向的流粒子数为:
[qz（z,t）-qz（z+△z,t）]△t△x△y.
而源强产生的粒子数为：
F（x,y,z,t）△t△x△y△z.
由质量守恒定律为：
[qx（x,t）-qx（x+△x,t）]△t△y△z+[qY（y,t）-qY（y+△y,t）]△t△x△z+[qz（z,t）-qz（z+△z,t）]△t△x△y+F（x,y,z,t）△t△x△y△z=
[U（x,y,z,t+△t）-U（x,y,z,t）]△t△x△y△z.
令△t△x△y△z0时有：
（＠是求偏导）
-＠qx/＠x-＠qy/＠y-＠qz/＠z+F（x,y,z,t）=Ut
由自由扩展定律得：
＠（D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F=Ut
若扩散粒子是均匀的：
Ut=a2△U.
二．线性偏微分方程
（一）二阶线性偏微分方程
LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f
1.主要部分：
a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy
2.判别式△=a212-a11a22
△>0双曲线方程
△=0抛物型方程
△<0椭圆方程
3.特征方程
a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0
特征根：
dy/dx=（a12±△1/2）/a11
特征曲线：
y=[（a12+△1/2）/a11]x+C1
y=[（a12-△1/2）/a11]x+C2
新旧变量关系：
ζ=y+λ1x，η=y+λ2x
令Q=省略
例一：
把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。
例二：
x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0
例三：
化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。
a≠0
（二）线性偏微分方程的基本性质
1.线性迭加原理
设L为线性偏微分算子，即LU=f
若u1u2u3……un是LU=fi的解，则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。
若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u=u1+u2是LU=f的一般解。
2.齐次化原理（冲量原理）
原理1：
设W是方程Wtt=a2WxxW|t=τ=0Wt|t=τ=f（x,t;τ）的解，则u=∫0tW（x,t;τ）dτ是方程Utt=a2Uxx+f（x,t）U|t=0=0Ut|t=0=0的解。
原理2：
W是方程Wt=a2WxxW|t=τ=0Wt|t=τ=f（x,t;τ）的解，则u=∫0tW（x,t;τ）dτ是Ut=a2Uxx+f（x,t）U|t=0=0的解。
3.特征值函数δ
δ（x-x0）={0x≠0∞x=x0
∫δ（x-x0）dx=1
性质：
Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0）
三．分离变量法
（一）齐次的泛定方程和齐次的边界条件
Utt=a2Uxx;00
U（0,t）=U（l,t）=0;
U（x,0）=Φ（x）;
Ut（x,0）=Ψ（x）。
第二类齐次边界条件：
Ux（0,t）=Ux（l,t）=0;
第一类与第二类的齐次边界条件：
U（0,t）=Ux（l,t）=0或Ux（0,t）=U（l,t）=0。
（二）非齐次的泛函方程的齐次边界条件
Utt=a2Uxx+f（x,t）;00
U（0,t）=U（l,t）=0;
U（x,0）=Φ（x）;
Ut（x,0）=Ψ（x）。
令U（x,t）=W（x,t）+V（x,t）且W满足
Wtt=a2Wxx;00
W（0,t）=W（l,t）=0;
W（x,0）=Φ（x）;
Wt（x,0）=Ψ（x）.则V满足
Vtt=a2Vxx+f（x,t）;00
V（0,t）=V（l,t）=0;V（x,0）=0;Vt（x,0）=0.
解W用分离变量法，解V用冲量原理。
（三）齐次的泛定方程，非齐次边界条件
Utt=a2Uxx;00
U（0,t）=U1（t）;
U（l,t）=U2（t）;
U（x,0）=Φ（x）;
Ut（x,0）=Ψ（x）.
设U（x,t）=W（x,t）+V（x,t）使得：
V（0,t）=V（l,t）=0,则
W（0,t）=U1（t）,W（l,t）=U2（t）,设W（x,t）=Ax+B,则
W（0,t）=B=U1（t）,W（l,t）=Al+B=U2（t）,则（省略）
（四）非齐次的泛定方程，非齐次边界条件
Utt=a2Uxx+f（x,t）;00
U（0,t）=U1（t）;
U（l,t）=U2（t）;
U（x,0）=Φ（x）;
Ut（x,0）=Ψ（x）.
第一步：
把非齐次边界条件化成齐次的边界条件
第二步：
同（三）
例一：
Utt=a2Uxx；U（0,t）=0=U（l,t）;
U（x,0）=3sinx;Ut（x,0）=0.00
例二：
在矩形区域内0Uxx+Uyy=0;00.
U（0,x）=Bsin（πx/a）;U（b,x）=0;
U（y,0）=Ay（b-y）;Ut（y,a）=0。
解：
设U（x,t）=W（x,t）+V（x,t）使得Vxx+Vyy=0,
V（0,y）=V（a,y）=0,V（x,0）=Bsin（πx/a）,V（x,b）=0;
同时Wxx+Wyy=0,W（0,y）=Ay（b-y）,W（a,y）=0,W（0,x）=W（b,x）=0.
答案省略~
例三：
求解方程
Utt=a2Uxx+bshx;U（0,t）=U（l,t）=0;U（0,x）=Ut（0,x）=0。
例四：
长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力f（x,t）=g（x）sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为Φ（x）,Ψ（x）求其振动规律。
解：
设位移分布函数为U（x,t）且满足：
Utt=a2Uxx+g（x）sinwt;00
U（0,t）=U（l,t）=0;
U（0,x）=Φ（x）;
Ut（0,x）=Ψ（x）.
解方程，设U（x,t）=W（x,t）+V（x,t）且
Vtt=a2Vxx;V（0,t）=V（l,t）=0;
V（0,x）=Φ（x）;Vt（0,x）=Ψ（x）.
W满足：
Wtt=a2Wxx+g（x）sinwt;00
W（0,t）=W（l,t）=0;
W（0,x）=0;Wt（0,x）=0.
由冲量原理有：
Ztt=a2Zxx;00
Z（0,t;τ）=Z（l,t;τ）=0;
Z（0,t;τ）=0;Z（l,t;τ）=g（x）sinwt.
W（x,t）=∫t0Z（x,t;τ）dτ
答案省略~
例五：
求解矩形域上的第二类边界值问题。
Uxx+Uyy=0；00.
Uy（0,x）=Φ1（x）;
Uy（b,x）=Φ2（x）;
Ux（y,0）=Ψ1（y）;
Ux（y,a）=Ψ2（y）。
四．行波法（无界区域内）
（一）公式
1.一维波动方程
Utt=a2Uxx；-∞0.
U（0,x）=Φ（x）；
Ut（0,x）=Ψ（x）.
公式：
U（t,x）=1/2（Φ（x+at）+Φ（x-at））+1/2a∫x+atx-atΨ（ξ）dξ
2.三维波动方程
Utt=a2△U；-∞0.
U（0,M）=Φ（M）；
Ut（0,M）=Ψ（M）.
公式：
U=1/4πa2[﹫[∫∫Φ（M’）/t]/﹫tds+∫∫Ψ（M’）/tds]
3.二维波动方程
Utt=a2△U；-∞0.
U（0,M）=Φ（M）；
Ut（0,M）=Ψ（M）。
U=（省略）
（二）基本类型
1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内
Utt=a2Uxx；00.
U（0,t）=0;（端点固定）
U（0,x）=Φ（x）；
Ut（0,x）=Ψ（x）
延拓：
x≥0时，Φ（x）=Φ（x）,x<0时，Φ（x）=-Φ（-x）；
x≥0时，Ψ（x）=Ψ（x）,x<0时，Ψ（x）=-Ψ（-x）。
2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内
Utt=a2Uxx；00.
Ux（0,t）=0;（端点自由）
U（0,x）=Φ（x）；
Ut（0,x）=Ψ（x）
延拓：
x≥0时，Φ（x）=Φ（x）,x<0时，Φ（x）=Φ（-x）；
x≥0时，Ψ（x）=Ψ（x）,x<0时，Ψ（x）=Ψ（-x）。
3.特殊形式
Utt=a2Uxx；00.
U（0,t）=U（t）;
U（0,x）=Φ（x）；
Ut（0,x）=Ψ（x）.
可令U（x,t）=W（x,t）+V（x,t）且V（0,t）=0,则W（0,t）=U（t）,将U（x,t）=U（t）+V（x,t）代入，转化为新方程。
（方法见4.）
4.非齐次波动方程
Utt=a2Uxx+f（x,t）;-∞0.
U（0,x）=Φ（x）；
Ut（0,x）=Ψ（x）.
可令U（x,t）=W（x,t）+V（x,t）且满足：
Vtt=a2Vxx+f（x,t）;-∞0.Wtt=a2Wxx;
V（0,x）=O;W（0,x）=Φ（x）;
Vt（0,x）=0.Wt（0,x）=Ψ（x）.
其中V=∫0tZ（x,t;τ）dτ.Z满足：
Ztt=a2Zxx;
Z（0,x）=O;
Zt（0,x）=f（x,t）.
例一：
求解方程
Utt-a2Uxx=x+at;-∞0.
U（0,x）=x；
Ut（0,x）=sinx.
解:
由迭加原理解此定解问题，可由达朗贝尔公式和振动的解迭加。
例二：
求解有阻尼波动方程的初值问题。
Utt-a2Uxx+2εUt+εU2=0;-∞0.
U（0,x）=Φ（x）；
Ut（0,x）=Ψ（x）.
解：
设U（x,t）=e-βtV（x,t）（β>0）。
代入原等式有：
Ut=e-βtVt-βt,Utt=e-βt（Vtt-2βVt+β2V）,Uxx=Vxxe-βt,再代入原方程：
Vtt-a2Vxx+2（ε-β）Vt+（ε2-2εβ+β2）V=0;
要使Vt，V的系数为0，则β=ε，则有：
Vtt=a2Vxx；V（0,x）=Φ（x）；Vt（0,x）=Ψ（x）+εΦ（x）.
则由达朗贝尔公式即可得出结果。
例三：
求解下列初值问题：
Utt=a2△U；U（0,x）=yz;Ut（0,x）=xz+x.-∞0.
解：
令Φ（M）=yz；Ψ（M）=xz+x.经过球坐标变换后有：
Φ（M‘）=y‘z‘=（y+rsinθsinφ）（z+rcosθ）;
Ψ（M‘）=x‘z‘+x‘=（x+rsinθcosφ）（z+rcosθ）+（x+rsinθcosφ）;
因为at=r;则：
∫∫Φ（M‘）/atds=∫02π∫0πΦ（M‘）rsinθdθdr;①
∫∫Ψ（M‘）/atds=∫02π∫0πΨ（M‘）rsinθdθdφ;②
又因为：
∫02πsinθdθ=∫02πcosθdθ=0;
∫0πcosθdθ=∫0πsinθcosθdθ=0;
所以有：
①=4πayz;②=4πatxz.
因此U（x,t）=（tx+y）z.
例四：
求解下列问题：
Utt=a2（Uxx+Uyy）;-∞0.
U（0,x,y）=x2（x+y）；
Ut（0,x,y）=0.
解：
由二维的波动方程即可求出。
五.积分变换法
（一）Fourier变换法
1.概念
若f（x）定义在（-∞，+∞），F[f（x）]=f（λ）=∫-∞+∞f（x）e-iλxdx;
逆变换：
f（x）=1/2π∫-∞+∞f（λ）eiλxdλ。
2.基本性质：
线性，卷积，乘积，微分，象导数，积分，延迟，位移……
4.利用Fourier变换解微分方程
（二）Laplace变换法
1.概念
若f（x）定义在[0，+∞），L[f（x）]=f（p）=∫0+∞f（x）e-pxdx;
逆变换：
f（x）=1/2πi∫σ-i∞σ+i∞f（p）epxdp
L-1[f（x）]=∑Res[f（t）est,sk]
2.存在条件
3.基本性质
4.利用Laplace变换解微分方程
例一：
求函数f（x）=1-x2|x|<1且f（x）=0|x|>0的Fourier变换。
例二：
设a是正数：
1证明e-a|x|=∫-∞+∞1/π*a/（a2+ζ2）*eiζxdζ
2由①结果推导c（λ）使得：
a/（a2+x2）=∫-∞+∞c（λ）eiλxdλ。
证明：
设e-a|x|=1/2π∫-∞+∞F[e-a|x|]eiλxdλ则：
F[e-a|x|]=∫-∞+∞e-a|x|e-iλxdx
=∫-∞+∞e-a|x|cosλxdx-i∫-∞+∞e-a|x|sinλxdx=2∫0+∞e-a|x|cosλxdx
=2Re{∫0+∞e-（a+iλ）xdx}=2Re{1/a+iλ}=2a/（a2+λ2）,即证。
②由c（λ）满足a/（a2+x2）=∫-∞+∞c（λ）eiλxdλ，
有c（λ）=1/2πF[a/（a2+x2）]=1/2π∫-∞+∞a/（a2+x2）e-iλxdx
=1/2e-a|λ|.即证。
例三：
求解上半平面Dirichlet问题：
△U=0;
U（x,0）=f（x）;
Limx->0,y->0U=0.
解：
作Fourier变换：
F[U]=∫-∞+∞U（x,y）e-iλxdx;F[f（x）]=f（λ）,对原方程两边作变换：
U’yy-λ2U’=0;U’（λ,0）=f（λ）;limy->∞U’=0.
解方程得：
U’（λ，y）=A（λ）eλy+B（λ）e-λy;由条件可知：
当λ>0，A（λ）=0，当λ<0,B（λ）=0,
因此有U’（λ，y）=c（λ）e-|λ|y,代入可知c（λ）=f（λ），
因此U’（λ，y）=f（λ）e-|λ|y，再做逆变换：
U（x,y）=F-1[f（λ）e-|λ|y]=4/π∫-∞+∞f（ζ）/（x-ζ）2+y2dζ.
例四．设L[f（x）]=F[p],证像函数的微分性质的微分性质L[tnf（x）]=（-1）ndnF[p]/dpn.
证：
由F[p]=∫-∞+∞f（t）e-ptdt=dF[p]/dp=
{∫0+∞f（t）e-ptdt}/dp=L[-tf（t）].
例五．求解一维无界空间的运输方程，设初始浓度或温度已知，即
Ut-a2Uxx=f（x,t）;-∞0.
U（0,x）=Φ（x）；
例六．求解一端固定的半无界弦线的自由振动。
Utt-a2Uxx=0;00.①
U（a,t）=0;②
U（0,x）=Φ（x）；③
Ut（0,x）=Ψ（x）.④
解：
对方程①~④做Fourier的正弦变换：
FS[U（s,t）]=∫0+∞U（x,t）sinλxdx=U’（λ,x）;
FS[Φ（x）]=∫0+∞Φ（x）sinλxdx=Φ’（λ）;
FS[Ψ（x）]=∫0+∞Ψ（x）sinλxdx=Ψ’（x）.
则方程为：
d2U’/dt2+a2λ2U’=0;⑤
U’（λ,0）=Φ’（λ）;⑥
U’t（λ,0）=Ψ’（x）.⑦
解⑤~⑦得：
U’（λ,x）=Φ’（λ）cosλat+1/λaΨ’（x）sinλat.
再做逆变换：
U（x,t）=F-1S[U’（λ,x）]
=F-1S[Φ’（λ）cosλat]+F-1S[1/λaΨ’（x）sinλat].
答案略。
例七．求下列函数的Laplace变换。
（1）eat
（2）sinkt（3）sin（t-2π/3）（4）coskt
例八．求零阶Bessel方程:
x2y’’+xy’+x2y=0,y（0）=1,y’（0）=0.
解：
作Laplace变换：
L[y]=∫0+∞y（x）e-pxdx=y’;
L[xy]=-dy’/dp;
L[tnf（t）]=（-1）ndnF（p）/dpn;
L[y’（0）]=py’-y（0）=py’-1;
L[x2y’’]=-[pndy’/dp+2py’-1].
代入即有：
y（p）=1/p（1+1/p2）-1/2.
再做逆变换有：
y（x）=c∑（-1）n/22n（n!
）2*x2n.
六．Green函数及基本解
一．Green公式
1．基本公式
（1）Gauss公式
∫∫∫Ω▽Adv=∮∮Ads=∮∮Ands
（2）Green公式
令A=U▽VU,V∈C2（Ω）∩（Ω）……
（3）Green第二公式
（4）Green第三公式
2．基本解
基本解的概念（保证严格单调，有任意解）
1）.椭圆形方程
a.一维△U=δ（M-M0）的解，成为基本解。
b.三维基本解V=1/4π*1/r
c.二维基本解V=1/2π*ln1/r
2）.双曲线方程
Utt=a2△U；-∞0.
U（0,M）=0；
Ut（0,M）=δ（M）.
三维：
V（M,t）=1/4πarδ（r-at）;
二维：
V（M,t）=1/2πarδ（r-at）;
一维：
V（M,t）=1/2Πh（a2t2-x2）=1/2a|x|≤at;=0|x|>at.
性质：
Utt=LU+f（M,t）；-∞0.
U（0,M）=Φ（M）；
Ut（0,M）=Ψ（M）.
若f,Φ,Ψ是连续函数，则U（M,t）=……
3）.热传导方程
Ut=LU；-∞0.
U（0,M）=δ（M）；的解为基本解。
三维基本解：
二维基本解
一维基本解
3．特殊区域内的Green函数的求法，使用Green函数表达椭圆型方程的解
（1）Green函数的概念及性质
定义：
满足△G=-δ（M-M0），G|aΩ=0称为格林函数
性质：
a.Green函数与所给区域Ω和边界有关
b.Green函数界有对称性
（2）特殊区域内的Green函数
a.圆内的Green函数
b.球内的Green函数
c.半空间上的Green函数
d.半平面内的Green函数
e.第一象限的Green函数
例一．求解1/4平面的Dirichlet问题
△U=0；x，y>0.
U（0,y）=f（y）；
U（0,x）=0。
解：
二维Dirichlet问题利用二维Dirichlet问题的积分公式。
例二．求解下列边界问题
△U=f（x,y）；x∈R，y>0.
U（0,x）=Φ（x）。
解：
利用二维Dirichlet问题积分公式代入有：
U（x,y）=
∫0+∞∫-∞+∞f（x0,y0）G（x,y,x0,y0）dx0dy0-∫-∞+∞Φ（x0）＠G/＠n|y0dx0
其中G=1/2πln1/r-1/2πln1/r1
＠G/＠n|y0=-y0/π*（1/（x-x0）2+y02）
代入有：
U（x,y）=（答案略）
七．Bessel函数
（一）Bessel方程及方程的解
（二）Bessel函数及性质
1.Bessel函数及表现形式
2.Bessel函数的母函数
3.Bessel函数的递推关系
（三）Bessel函数的正交性及广义的傅氏级数
1.Bessel函数的正交性
2.Bessel函数的模
3.Bessel函数的傅氏级数
例一．计算I=∫x4J1（x）dx.
法一.由公式d[xmJm（x）]/dx=xmJm-1（x）有：
I=∫x2（x2J1（x））dx=∫x2[dx2J2（x）/dx]dx
=x4J2（x）-2∫x3J2（x）dx
=x4J2（x）-2∫[dx3J3（x）/dx]dx
=x4J2（x）-2
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