正弦函数和余弦函数图像与性质.docx
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正弦函数和余弦函数图像与性质
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、复习引入
1、复习
（1）函数的概念
在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是x的函数，记作
yfx，xD。
（2）三角函数线
设任意角的顶点在原点0，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点
P（x,y），过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于
T.
规定：
当0M与x轴同向时为正值，当0M与x轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；
根据上面规定，则OMx,MPy,
sin
y
y
y
MP；
r
1
x
x
OM；
cos
x
r
1
y
MP
AT
tan
J
AT；
x
OM
OA
这几条与单位圆有关的有向线段
由正弦、余弦、正切三角比的定义有：
二、讲授新课
【问题驱动1】一一结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定
的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种函数关系？
若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由.
1、正弦函数、余弦函数的定义
（1）正弦函数：
ysinx,xR；
（2）余弦函数：
ycosx,xR
【问题驱动2】如何作出正弦函数ysinx,xR、余弦函数ycosx,xR的函数
图象？
2、正弦函数ysinx,xR的图像
（1）ysinx,x0,2的图像
【方案1】一一几何描点法
步骤1等分、作正弦线一一将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值;步骤2：
描点——平移定点，即描点x,sinx；
步骤3：
连线一一用光滑的曲线顺次连结各个点
VIr
/
（
L
M（atsina）
-———
1£q丿qo
aNX
y=sinx,xg[o.2开
小结：
几何描点法作图精确，但过程比较繁。
【方案2】五点法
3
小结：
ysinx,x0,2的五个关键点是0,0、一1、,0、上一0、2,0。
2，2，
（2）ysinx,xR的图像
由sin2kxsinx,kZ，所以函数ysinx在区间2k,2k2
kZ,k0上的图像与在区间0,2上的图像形状一样，只是位置不同.
于是我们只要将函数ysinx,x0,2的图像向左、右平行移动（每次平行移动2
个单位长度），就可以得到正弦函数ysinx,xR的图像。
巴巴
-1
y—sinXxeT?
）
3、余弦函数ycosx,xR的图像
（1）ycosx,x0,2的图像
（2）ycosx,xR的图像
图像平移法
由sinx—cosx，可知只须将ysinx,xR的图像向左平移一即可。
22
y.
Jd
I
L
-领-2n'Z7!
/口
-I
L
三、例题举隅例、作出函数y1sinx,x0,2的大致图像；
【设计意图】一一考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像
【解】
①列表
3
0,1、-,2、，1、,0、2,1
22
③连线
1
练习、作出函数ysinx,x0,2的大致图像
2
1、性质
1.定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或（—8,+^）:
分别记作：
y=sinx,x€Ry=cosx,x€R
2.值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以丨sinx|<1,
Icosx|<1，即一1其中正弦函数y=sinx,x€R
1当且仅当x=—+2kn,k€Z时，取得最大值1
2
2当且仅当x=——+2kn,k€Z时，取得最小值一1
2
而余弦函数y=cosx,x€R
1当且仅当x=2kn,k€Z时，取得最大值1
2当且仅当x=（2k+1）n,k€Z时，取得最小值一1
3.周期性
由sin（x+2kn）=sinx,cos（x+2kn）=cosx（k€Z）知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值
时，都有f（x+T）=f（x）,那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
由此可知，2n,4n,……,—2n，—4n,……2kn（k€Z且k^0）都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做f（x）的最小正周期。
4.奇偶性
由sin（—x）=—sinx,cos（—x）=cosx
可知：
y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数
•••正弦曲线关于原点0对称，余弦曲线关于y轴对称
5.单调性
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间[—+2kn,—+2kn]（k€Z）上都是增函数，其值从一
22
3
1增大到1;在每一个闭区间]—+2kn,+2kn]（k€Z）上都是减函数，其值从
22
1减小到一1。
余弦函数在每一个闭区间]（2k—1）n,2kn]（k€Z）上都是增函数，其值从一1增加到1;在每一个闭区间]2kn,（2k+1）n]（k€Z）上都是减函数，其值从1减小到一1
y=sinx
y=cosx
图象
iL
工II
定义域
R
R
值域
1,1]
[1,1]
当且仅当x=2kn,k€Z
最值
当且仅当x=—+2k
2
时，取得最大值1
n,k€Z时，取得最大值1
当且仅当x=（2k+1）n,k
€Z时，取得最小值—1
当且仅当x=+2k
2
n,k€Z时，取得最小值一1
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在闭区间L（2k—1）n,2k
在闭区间L——+2k
2
n]（k€Z）上单调递增；
n,—+2kn]（k€Z）
2
在每一个闭区间L2kn,
上单调递增，；在闭区
间L+2kn,3+
（2k+1）n]（k€Z）上单调
22
2kn]（k€Z）上单调递
递减
减
典型例题（3个，基础的或中等难度）
例1:
求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。
（1）y=cosx+1,x€R；
（2）y=sin2x,x€R.
解：
（1）使函数y=cosx+1,x€R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx,x€R取得最大值的x的集合｛x|x=2kn,k€Z
•••函数y=cosx+1,x€R的最大值是1+1=2。
（2）令Z=2x,那么x€R必须并且只需Z€R，且使函数y=sinZ,Z€R取得最大
值的Z的集合是｛Z|Z=+2kn,k€Z｝
2
由2x=Z=一+2kn,得x=一+kn
24
即使函数y=sin2x,x€R取得最大值的x的集合是｛x|x=—+kn,k€Z｝
4
•函数y=sin2x,x€R的最大值是1。
例2：
求下列函数的单调区间
（2）当2kn-—W4x-—W2kn+—,
232
kk5
•函数的递增区间是[k-,——+—]（k€Z）
224224
3
当2kn+—W4x-—W2kn+
232
•函数的递减区间是[k+—,k+丄]（k€Z）
224224
（3）当2kn-—W—-2xW2kn+—时，函数单调递减，
232
5
•函数单调递减区间是[kn,kn+]（k€Z）
1212
3
当2kn+—W—-2xW2kn+时，函数单调递增，
232
511
•函数单调递减区间是[kn+,kn+]（k€Z）
1212
例3：
求下列三角函数的周期：
x
（1）y=sin（x+）⑵y=cos2x⑶y=3sin（-+）
325
解：
（1）令z=x+—而sin（2+z）=sinz即：
f（2+z）=f⑵
3
f[（x+2）+]=f（x+）•周期T=2.
33
（2）令z=2x•f（x）=cos2x=cosz=cos（z+2）=cos（2x+2）=cos[2（x+）]即：
f（x+）=f（x）•周期T=。
f（x）=3sinz=3sin（z+2
•••周期T=4。
（四）课堂练习（2个，基础的或中等难度）
X
1、求使下列函数y=3-cos取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。
2
xx
解：
当cos=-1，即一=2k+,k€Z,•{x|x=4k+2,k€Z},
22
x
y=3-COs2取得最大值。
2、求y=^sin2X的周期。
12
解：
•••y=sin2
2
2
111
x=（1-cos2x）=-cos2x,
444
3、求函数y=3cos（2x+）的单调区间。
3
解：
当2knW2x+—W2kn+时，函数单调递减，
3
•函数的单调递减区间是[kn-—,kn+—]（k€Z）63
当2kn-W2x+—W2kn时，函数单调递增，
3
2
•函数的单调递增区间是[kn-——,kn-—]（k€Z）
36
（五）拓展探究（2个）
1、求下列函数的周期：
（1）y=sin（2x+：
）+2cos（3x-石）
（2）y=|sinx|（3）y=23sinxcosx+2cos2x-1
解：
（1）y1=sin（2x+）最小正周期T1=
4
2
y2=2cos（3x-）最小正周期T2=-
63
•-T为T1,T2的最小公倍数2•T=2
（2）T=
（3）y=.3sin2x+cos2x=2sin（2x+）/.T=
2、求下列函数的最值:
作业一、填空题
1、函数y=cos（x—）的奇偶性是。
2
2、函数y=-5sinx+1的最大值是，此时相应的x的值是
3、函数y=sinxcosx的最小正周期是。
4、函数y=sinxcos（x+—）+cosxsin（x+—）的最小正周期是。
44
5、函数y=3cos（2x+一）的单调递减区间是。
3
6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是。
7、函数y=sin（—-2x）的单调递增区间是。
6
8已知函数y=f（x）是以一为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解读式
3
可以是。
二、选择题
2
1、函数y=sinx,x€［—,］的值域是（）
63
（A）[-1,1]
（B）［丄，1］（C）［丄，空1
（D）Z，1]
2
22
2
2、下列函数中，
1
周期是一的函数是
2
（
）
（A）y=sinx
（B）y=cos2x（C）
xy=sin_
（D）y=sin4kn
（D）y=sin（-|x|）
（A）y=sin|x|（B）y=xsin|x|（C）y=_|sinx|
4*、函数y=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为
63
（A）,1（B）,2（C）2,1（D）2,,2
三、解答题
1、已知函数y=acosx-2b的最小值为-2，最大值为4,求a和b的值。
2
2、求函数y=2sinx+5cosx-1的值域。
3、判断下列函数的奇偶性:
5
（2）y=xsinx+cos3x
（1）y=cos（2x--）；
2
.2
4、求函数y=sinx-sinxcosx的单调区间。
1、奇函数;
2、6,{x|x=2kn-—,k€Z};3、
2
4、n;5、[kn-—,kn+—]（k€Z）;6、[2kn+—,2kn+]（k€Z）
632
5
7、[kn+—,kn+]（k€Z）;8、y=2sin6x+1（答案不唯一）
36
=cos2x）
三、解答题
3、
（1）奇函数；
（2）偶函数。
/<3
1
1
4、A（y=sin2x+
cos2x+cos2x-
sin2x
2
2
2
2
1、B;2、D;3、B;
当2kn-—W2x+—W2kn+—时，函数单调递减，
242
函数单调递减区间是[kn-3—,kn+—]（k€Z）
88
3
当2kn+—W2x+—W2kn+时，函数单调递增，
242
5
函数单调递减区间是[kn+—,kn+]（k€Z）
88
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