第四章 曲线运动.docx

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第四章曲线运动

第四章曲线运动

轮船在流水中运动

轮船在均匀流水中稳定行驶时的运动（匀速直线运动）,可以看

作是两个分运动的合运动.一个分运动的速度等于流水的速度,另

一个分运动的速度等于轮船在静水中稳定行驶的速度,沿着船头所

指的方向（假定船舵沿适当方向）.

轮船在流水中行驶,运动的时间等于合运动的的位移除以时间,

也等于一个分运动的位移除以时间.

如果轮船在静水中的速度v2大于流水速度v1,那么轮船在流水

中有可能垂直于流水运动,即垂直于河岸运动,如图4-1a所示.

如果轮船在静水中的速度v2等于流水速度v1,那么轮船在流水

中不可能垂直于流水运动,运动方向与流水方向的夹角为锐角（可

以很接近于90°）.

如果轮船在静水中的速度v2小于流水速度v1,那么轮船在流水

中,不可能垂直于流水运动,数学课上学过正弦定理以后,可以证明

运动方向跟流水方向的夹角α为锐角,正弦值不超过（v2/v1）,如图

4-1b所示.

从炮艇发出的炮弹的速度

炮艇行驶时,以陆地为参考系,和以炮艇为参考系,炮筒跟水平

面的夹角,是相同的.与此不同的是,以炮艇为参考系时,炮弹离开

炮筒的初速度v1沿炮筒方向,而以陆地为参考系时,炮弹离开炮筒

时的速度是v1和炮筒运动速度v2的合速度,它不再沿着炮筒方向.

质点相对于两个相对平动的参考系的速度的关系

某质点相对参考系O'的速度为V',参考系O'相对参考系O的平

动速度为U,则该质点相对参考系O的速度为V满足

V＝V'+U

式中“＋”是指两个速度矢量按平行四边形定则相加.这是质点相

对于两个相对平动的参考系的速度的关系.

质点相对于两个相对平动的参考系的速度的关系,常常简称为

相对速度关系,在大学物理中可以证明这个关系的成立,决定于空

间和时间的性质,这个关系是经典力学的基本关系.

物体A相对物体B平动的速度记为VAB,物体A相对物体C平动的

速度记为VAC,物体B相对物体C平动的速度记为VBC,则

VAC＝VAB+VBC

同时VAC＝-VCA,VAB＝-VBA,VBC＝-VCB.

跨过定滑轮的没有分叉的绳子连解的两个物体速度的关系

图4-2中卡车和拖车的速度都是沿着水平路面,分别为u和v.

将u向沿着绳子a的方向和垂直于绳子a的方向分解,将v沿着绳

子b的方向和垂直于绳子b的方向分解.u1度量绳子a长度增加的快

慢,v2度量绳子b长度减少的快慢,两者是相等的:

u1=v1

即ucosα=vcosβ

此式反映了卡车速度u与拖车速度v之间的关系.

一般地,跨过定滑轮的没有分叉的绳子连结的两个物体的速度

沿绳子方向的分量是相等的.

做匀速圆周运动的质点受到的合外力

做匀速圆周运动的质点受到的合外力,总是指向圆心,所以也

称为向心力.

向心力的大小满足牛顿第二定律:

F＝ma

将a的表达式分别代入,可以得到四个综合性的等式:

F＝mωv

F＝mv2/r

F＝mω2r

F＝4π2mr/T2

变速率圆周运动

变速率圆周运动,和匀速圆周运动一样,速度沿着切线.

变速率圆周运动,加速度不一定指向圆心,相应地,合力不一定

指向圆心.

将加速度沿半径方向和切线方向分解,沿半径指向圆心的分加

速度,称为向心加速度.

将各外力沿半径方向和切线方向分解,半径方向各力的合力指

向圆心,称为向心力.

变速率圆周运动的向心加速度a心,和向心力F心满足以下公式:

a心＝ωv＝v2/r＝ω2r

F心＝ma心

飞机作俯冲运动经过最低点时,飞行员受到重力和向上的弹力.

合力的大小（向心力的大小）,等于指向圆心的弹力的大小减去背向

圆心的重力的大小:

F心＝N-mg

在表演水流星节目时,碗和其中的水构成的系统,在最高点时,

受到向下的重力和向下的拉力,二力的合力大于等于重力:

F心≥mg

又F心＝mv2/r

所以mv2/r≥mg

从而v≥√gr.

对碗中的水作类似的考虑,也可得到这个结论.

汽车在拱桥上行驶,经过最高点时,受到向下的重力,向上的支

持力,二力的合力（指向圆心,向下）小于等于重力,所以可以得到

v≤√gr.

例题1雨点以4m/s的速度竖直下落,人以3m/s的速度向东前进,

那么雨点相对人的速度如何?

解:

雨点相对地面的速度记为V雨地,人相对地面的速度记为

V人地,地面相对人的速度记为V地人,雨点相对人的速度记为V雨人

.如图4-3所示,根据相对速度关系有

V雨人＝V雨地+V地人

三个速度的大小具有以下关系

v雨人＝√v雨地2+v地人2

把v雨地＝4m/s,v地人＝v人地＝3m/s代入,解得

v雨地＝5m/s

另外,θ＝37°

答:

雨点相对人的速度,沿竖直向下偏西37°,大小为5m/s.雨

点从前面斜向下打向人.

例题2如图4-4所示,河宽l＝100m,流速v1＝5m/s.一只船在河

的正中航行,行至图示位置（小圆圈表示船）,发现下游s＝100m处有

瀑布.小船相对水的速度v2至少多大,才能安全靠岸?

如图4-5,船相对河岸的速度与水流方向的夹角α必须大于等

于θ,才能安全靠岸:

sinα>sinθ

（1）

其中sinθ＝50/√502+1002＝1/√5

（2）

由正弦定理得

v2/sinα＝v1/sinβ

即v2＝v1sinα/sinβ（3）

又sinβ≤1（4）

由

（1）（3）（4）得

v2>v1sinθ

代入数据得v2>√5

即v2>2.24m/s

小船相对水的速度应大于2.24m/s,才能安全靠岸.

例题3有两面垂直于地面的光滑墙A、B,两墙间隔为l＝1.1m,

从h＝19.6m高处A墙附近,以大小为5m/s的速度,水平向右抛出一小

球,小球交替跟B墙和A墙碰撞,最后落地.设小球与墙壁的碰撞是完

全弹性的,则小球落地前与墙壁碰撞多少次?

解:

小球与墙壁作完全弹性碰撞,设碰撞时间极短,那么碰撞前

后,速度的竖直分量不变水平分量方向反过来,大小不变.从抛出到

落地,小球在竖直方向上的分运动是自由落体运动;在水平方向上

的分运动是若干段向右的和向左的匀速运动,各段匀速运动的速度

大小相等,等于5m/s.

由自由落体运动公式得运动时间为

t＝√2h/g＝2s

水平分运动的路程为

s＝vt＝5×2＝10m

即s＝9×1.1m+0.1m

小球落地前与墙壁碰撞9次.

例题4如图4-6所示,在高H处,小球A以速度v1水平抛出,与此

同时,地面上,小球B以速度v2竖直上抛,两球在空中相遇.则

（A）从它们抛出到相遇所需的时间是H/v1

（B）从它们抛出到相遇所需的时间是H/v2

（C）两球抛出时的水平距离为Hv1/v2

（D）两球抛出时的水平距离为Hv2/v1

解:

相遇时A球下降的距离跟B球上升的距离之和应等于H,设从

抛出到相遇经历的时间为t,则

（1/2）gt2+[v2t-（1/2）gt2]=H

即v2t=H

所以t=H/v2

两球抛出时的水平距离x,等于从抛出到相遇甲球水平方向的分位

移:

x=v1t=Hv1/v2

选项（B）（C）正确.

例题5一小球以初速度v0水平抛出,落地速度为v.不计空气阻

力.求小球在此期间位移的大小.

解:

平抛运动中水平分速度保持不变,始终等于v0.如图4-7,

落地速度可分解为水平分速度v0和竖直分速度vy:

v2＝v02+vy2

（1）

竖直分运动是自由落体运动,运动时间为

t＝vy/g

（2）

竖直方向的分位移为

sy＝vy2/（2g）（3）

水平分位移为

sx＝v0t（4）

小球的位移s满足:

s2＝sx2+sy2（5）

将（3）（4）两式代入（5）式:

s2＝v02t2+（vy2）2/（4g2）（6）

将

（2）式代入（6）式:

s2＝v02vy2/g2+（vy2）2/（4g2）

即s2＝（4v02+vy2）vy2/（4g2）（7）

从

（1）式得vy2＝v2-v02（8）

将（8）式代入（7）式:

s2＝（3v02+v2）（v2-v02）/（4g2）

于是s＝√（3v02+v2）（v2-v02）/（2g）

例题6看电影时,常发现银幕上小轿车虽然在开动,但其车轮

似乎并不转动.设车轮的正面形状如图4-8所示,请通过估算来判断

此时小轿车行进的速度与你百米短跑的平均速度哪个大?

解:

放映电影时,每1秒钟,银幕上依次出现24幅画面,即每隔

1/24秒,更换一幅画面.车轮看起来不动,这意味着,各幅画面基本

相同,意味着在1/24秒钟的时间内,轮子转动了1/3周,或2/3周,1周,

4/3周…….在1/24秒的时间内,轮子至少转到了1/3周,也就是,在

1/8秒的时间内,轮子至少转过了1周.轮子的周长可估计为2米.在

1/8秒的时间内,小轿车至少行进了2米.所以小轿车的速度至少为

v＝2m/[（1/8）s]＝16m/s

国家级运动员百米短跑大约需要10s,平均速度大约为10m/s,

中学生百米短跑的平均速度为8m/s左右.

本题所述小轿车之速度,大于人们百米短跑的速度.

例题7图4-9表示近似测量子弹速度的装置,在一个水平转轴

的一端焊上薄壁圆筒,圆筒的半径为R,每分钟转n转.一颗子弹沿圆

筒的水平直径方向由A点射入圆筒,在圆筒转过不到半圈时从圆筒

上B点射出.可认为子弹在穿壁时、在飞行中保持匀速直线运动.已

知圆弧AB所对的圆心角为θ.写出子弹速度的计算式.

解:

观察图4-9和图4-10可知,子弹从一边射入,从另一边射出,

在此期间,圆筒转过的角度为（π-θ）.根据题意,在60s内,圆筒转

过的角度是2πn.由此可算出经历的时间为

t＝60（π-θ）/（2πn）

子弹作匀速直线运动的速度为

v＝2R/t

所以v＝nπR/[15（π-θ）]

例题8如图4-11,有三个质量均为m的小球A、B、C,固定在轻

杆上,OA＝AB＝BC＝L,杆以O为圆心,以角速度ω在光滑水平面上匀

速旋转.杆OA、AB、BC上的拉力大小之比如何?

解:

小球A、B、C的向心加速度都是指向O,大小分别为

aA＝ω2L,

aB＝ω2（2L）,

aC＝ω2（3L）.

轻杆OA、AB、BC上的拉力分别记为T1、T2、T3.

对小球A、B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律,

T1＝maA+maB+maC＝6mω2L

对小球B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律,

T2＝maB+maC＝5mω2L

对小球C应用牛顿第二定律,

T3＝maC＝3mω2L

所以T1:

T2:

T3＝6:

5:

3

例题9质量为2Kg的小球沿竖直平面内的半径为2m的圆轨道做

变速圆周运动,如图4-12所示,经过A点时速度为10m/s.求小球经过

A点时

（1）向心加速度的大小

（2）切向加速度的大小

（3）加速度的大小

（4）合外力的大小

解:

（1）应用向心加速度公式:

a心＝v2/r＝102/2＝50m/s2

（2）如图4-13,将重力沿半径方向和切线方向分解为G1、G2:

G1＝mgcos30°

G2＝mgsin30°

在切线方向应用牛顿第二定律:

a切＝G2/m＝5m/s2

（3）a＝√a心2+a切2

＝√502+52

＝√2525＝50.25m/s2

（4）应用牛顿第二定律:

F合＝ma＝2×50.25＝100.5N

例题10如图4-14所示,一物体m从曲面上的Q点自由滑下,滑至

传送带时速度为v,然后沿着粗糙的传送带向右运动,最后落到地面

上.已知在传送带不动的情况下,落地点是P点.

（A）若皮带轮带着传送带以大于v速度向右匀速运动,那么物体

的落地点在P点右边

（B）若皮带轮带着传送带以等于v的速度向右匀速运动,那么物

体的落地点在P点右边

（C）若皮带轮带着传送带以小于v的速度向右匀速运动,那么物

体的落地点在P点左边

（D）若皮带轮带着传送带向左匀速运动,那么物体的落地点在P

点

解:

传送带不动时,对向右运动的物体的滑动摩擦力向左,物体

做匀减速运动.离开传送带时的速度记为u.

如传送带向右运动的速度大于v,那么传送带相对物体向右运

动,对物体施加向右的滑动摩擦力,使物体向右匀加速运动.匀加速

运动进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度达到传送

带的速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时,

速度大于u,落地点在P点右边.选项（A）正确.

如传送带向右的速度等于v,那么物体沿着传送带做匀速运动,

落地点也在P点右边.选项（B）正确.

如传送带向右的速度小于v,那么传送带相对物体向左运动,传

送带对物体的滑动摩擦力向左,使物体做匀减速运动.匀减速运动

进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度减至传送带的

速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时的速

度等于u或者大于u,落地点在P点或者P点右边.选项（C）错误.

如传送带向左运动,那么传送带相对物体向左运动,传送带对

物体的滑动摩擦力向左,使物体向右作匀减速运动,直到离开传送

带.物体离开传送带时的速度等于u,落地点在P点.选项（D）正确.

总之，选项（A）（B）（D）正确.

例题11一个质量m＝20Kg的钢件，架在两根完全相同的、平

行的长直圆柱上，如图4-15所示.钢件的重心与两柱等距.两柱

的轴线在同一水平面内.圆柱的半径r＝0.025m，钢件与圆柱间的

动摩擦因数μ＝0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，

角速度ω＝40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力，推着钢件作速

度为v0＝0.050m/s的匀速运动，推力是多大?

设钢件左右受光滑导

轨限制（图中未画出）,不发生横向运动.（第二届全国中学生物理竞

赛预赛试题第二部分第六题）

解:

每根圆柱所受的压力等于mg/2,每根圆柱对钢件的滑动摩

擦力为

f＝μmg/2＝20N.

f的方向,应该跟圆柱的和钢件接触的部分,相对钢件的速度的方向

相同.以钢件为参照物,圆柱的与钢件接触的部分,一方面有向左的

速度,大小为

v1＝0.050m/s,

另一方面有横向速度,大小为

v2＝ωr＝1m/s,

如图4-16,圆柱的与钢件接触的部分的速度与轴线方向的夹角θ满

足

ctgθ＝v1/v2＝0.050/1＝0.050,

从而cosθ≈0.050.

f跟轴线的夹角也是θ.所以f的沿轴线方向的分量为

f轴＝fcosθ＝1N.

在地面坐标系中,钢件匀速运动,所以,

F＝2f轴＝2N.

例题12图4-16中M、N是两个共轴圆筒的横截面,外筒半径为R

内筒半径比R小得多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间

抽成真空,两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）

作匀速转动.设从N筒内部可以通过窄缝s（与M筒的轴线平行）不断

地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒.从s处射出时的初速度的

方向都是沿筒的半径方向,微粒到达N筒后就附着在N筒上,如果R、

v1和v2都不变,而ω取某一合适的值,则（）.

（A）有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s缝平行的

窄条上

（B）有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s

缝平行的窄条上

（C）有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处

与s缝平行的窄条上

（D）只要时间足够长,N筒上将到处有微粒

（1987年高考全国卷试题）

（设微粒的初速度如果足够大,以至微粒在两筒之间小范围的

运动可以看成直线运动.引者加.）

分析:

微粒从M筒射到N筒的运动,在地面参考系中是直线运动,

在圆筒参考系中不是直线运动,而且不是容易研究的曲线运动.所

以适合采用地面参考系,考虑这个问题.

解:

微粒初速度是沿着半径方向的,如果内外两个圆筒都是静

止的,那么微粒都落在N筒上a处窄条上.

微粒初速度是沿着半径方向的,在某个微粒从M筒运动到N筒的

时间内:

如果N筒正好运动1周、2周、3周等等,那么这个微粒仍将

落在a处,如果N筒运动整数圈加上θ角,那么微粒在N筒上的落点,

跟s点之间的圆弧的圆心角为θ.

速度大小相等的若干微粒,运动时间都相等,各微粒运动期间,

圆筒转过的角度都相同,落点跟s点之间的圆弧的圆心角都相同,将

落在同一窄条上.

如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间,圆筒转过整数圈,

如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒也转过整数圈（两

个整数不相等）,那么所有微粒都落在a处.于是选项（A）正确.

如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间,圆筒转过整数圈

加上角度θ,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒转过

整数圈（两个整数不相等）加上角度θ,那么所有微粒都落在同一窄

条上,比如b处.于是选项（B）正确.

如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间,圆筒转过整数圈

加上角度θ1,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒转

过整数圈（两个整数不相等）加上角度θ2,θ2≠θ1,那么所有微粒

都落在两个不重合的窄条上,比如b处和c处.于是选项（C）正确.

总之,选项（A）（B）（C）正确,选项（D）错误.