第四章 曲线运动.docx

1、第四章 曲线运动 第四章 曲线运动 轮船在流水中运动 轮船在均匀流水中稳定行驶时的运动(匀速直线运动),可以看 作是两个分运动的合运动.一个分运动的速度等于流水的速度, 另 一个分运动的速度等于轮船在静水中稳定行驶的速度,沿着船头所 指的方向(假定船舵沿适当方向). 轮船在流水中行驶,运动的时间等于合运动的的位移除以时间, 也等于一个分运动的位移除以时间. 如果轮船在静水中的速度v2大于流水速度v1,那么轮船在流水 中有可能垂直于流水运动,即垂直于河岸运动,如图4-1a所示. 如果轮船在静水中的速度v2等于流水速度v1,那么轮船在流水 中不可能垂直于流水运动,运动方向与流水方向的夹角为锐角(

2、可 以很接近于90). 如果轮船在静水中的速度v2小于流水速度v1,那么轮船在流水 中,不可能垂直于流水运动,数学课上学过正弦定理以后,可以证明 运动方向跟流水方向的夹角为锐角,正弦值不超过(v2/v1),如图 4-1b所示. 从炮艇发出的炮弹的速度 炮艇行驶时,以陆地为参考系,和以炮艇为参考系, 炮筒跟水平 面的夹角,是相同的.与此不同的是,以炮艇为参考系时, 炮弹离开 炮筒的初速度v1沿炮筒方向,而以陆地为参考系时, 炮弹离开炮筒 时的速度是v1和炮筒运动速度v2的合速度,它不再沿着炮筒方向. 质点相对于两个相对平动的参考系的速度的关系 某质点相对参考系O的速度为V,参考系O相对参考系O

3、的平 动速度为U,则该质点相对参考系O的速度为V满足 VV+U 式中“”是指两个速度矢量按平行四边形定则相加.这是质点相 对于两个相对平动的参考系的速度的关系. 质点相对于两个相对平动的参考系的速度的关系,常常简称为 相对速度关系,在大学物理中可以证明这个关系的成立, 决定于空 间和时间的性质,这个关系是经典力学的基本关系. 物体A相对物体B平动的速度记为VAB,物体A相对物体C 平动的 速度记为VAC,物体B相对物体C平动的速度记为VBC,则 VACVAB+VBC 同时 VAC-VCA,VAB-VBA,VBC-VCB. 跨过定滑轮的没有分叉的绳子连解的两个物体速度的关系 图4-2中卡车和拖车

4、的速度都是沿着水平路面,分别为u和v. 将u向沿着绳子a的方向和垂直于绳子a的方向分解,将v沿着绳 子b的方向和垂直于绳子b的方向分解.u1度量绳子 a长度增加的快 慢,v2度量绳子b长度减少的快慢,两者是相等的: u1=v1 即 ucos=vcos 此式反映了卡车速度u与拖车速度v之间的关系. 一般地,跨过定滑轮的没有分叉的绳子连结的两个物体的速度 沿绳子方向的分量是相等的. 做匀速圆周运动的质点受到的合外力 做匀速圆周运动的质点受到的合外力,总是指向圆心, 所以也 称为向心力. 向心力的大小满足牛顿第二定律: Fma 将a的表达式分别代入,可以得到四个综合性的等式: Fmv Fmv2/r

5、Fm2r F42mr/T2 变速率圆周运动 变速率圆周运动,和匀速圆周运动一样,速度沿着切线. 变速率圆周运动,加速度不一定指向圆心,相应地, 合力不一定 指向圆心. 将加速度沿半径方向和切线方向分解, 沿半径指向圆心的分加 速度,称为向心加速度. 将各外力沿半径方向和切线方向分解, 半径方向各力的合力指 向圆心,称为向心力. 变速率圆周运动的向心加速度a心,和向心力F心满足以下公式: a心vv2/r2r F心ma心 飞机作俯冲运动经过最低点时,飞行员受到重力和向上的弹力. 合力的大小(向心力的大小),等于指向圆心的弹力的大小减去背向 圆心的重力的大小: F心N-mg 在表演水流星节目时,碗和

6、其中的水构成的系统,在最高点时, 受到向下的重力和向下的拉力,二力的合力大于等于重力: F心mg 又 F心mv2/r 所以 mv2/rmg 从而 vgr. 对碗中的水作类似的考虑,也可得到这个结论. 汽车在拱桥上行驶,经过最高点时,受到向下的重力,向上的支 持力,二力的合力(指向圆心,向下)小于等于重力,所以可以得到 vgr. 例题1 雨点以4m/s的速度竖直下落,人以3m/s的速度向东前进, 那么雨点相对人的速度如何? 解: 雨点相对地面的速度记为V雨地, 人相对地面的速度记为 V人地,地面相对人的速度记为V地人,雨点相对人的速度记为V雨人 .如图4-3所示,根据相对速度关系有 V雨人V雨地

7、+V地人 三个速度的大小具有以下关系 v雨人v雨地2+v地人2 把v雨地4m/s,v地人v人地3m/s代入,解得 v雨地5m/s 另外,37 答:雨点相对人的速度,沿竖直向下偏西37,大小为5m/s. 雨 点从前面斜向下打向人. 例题2 如图4-4所示,河宽l100m,流速v15m/s.一只船在河 的正中航行,行至图示位置(小圆圈表示船),发现下游s100m处有 瀑布.小船相对水的速度v2至少多大,才能安全靠岸? 如图4-5, 船相对河岸的速度与水流方向的夹角必须大于等 于,才能安全靠岸: sinsin (1) 其中 sin50/502+10021/5 (2) 由正弦定理得 v2/sinv1/

8、sin 即 v2v1sin/sin (3) 又 sin1 (4) 由(1)(3)(4)得 v2v1sin 代入数据得 v25 即 v22.24m/s 小船相对水的速度应大于2.24m/s,才能安全靠岸. 例题3 有两面垂直于地面的光滑墙A、B,两墙间隔为l1.1m, 从h19.6m高处A墙附近,以大小为5m/s的速度,水平向右抛出一小 球,小球交替跟B墙和A墙碰撞,最后落地.设小球与墙壁的碰撞是完 全弹性的,则小球落地前与墙壁碰撞多少次? 解:小球与墙壁作完全弹性碰撞,设碰撞时间极短,那么碰撞前 后,速度的竖直分量不变水平分量方向反过来,大小不变.从抛出到 落地,小球在竖直方向上的分运动是自由

9、落体运动; 在水平方向上 的分运动是若干段向右的和向左的匀速运动,各段匀速运动的速度 大小相等,等于5m/s. 由自由落体运动公式得运动时间为 t2h/g2s 水平分运动的路程为 svt5210m 即 s91.1m+0.1m 小球落地前与墙壁碰撞9次. 例题4 如图4-6所示,在高H处,小球A以速度v1水平抛出, 与此 同时,地面上,小球B以速度v2竖直上抛,两球在空中相遇.则 (A)从它们抛出到相遇所需的时间是H/v1 (B)从它们抛出到相遇所需的时间是H/v2 (C)两球抛出时的水平距离为Hv1/v2 (D)两球抛出时的水平距离为Hv2/v1 解:相遇时A球下降的距离跟B球上升的距离之和应

10、等于H, 设从 抛出到相遇经历的时间为t,则 (1/2)gt2+v2t-(1/2)gt2=H 即 v2t=H 所以 t=H/v2 两球抛出时的水平距离x, 等于从抛出到相遇甲球水平方向的分位 移: x=v1t=Hv1/v2 选项(B)(C)正确. 例题5 一小球以初速度v0水平抛出,落地速度为v.不计空气阻 力.求小球在此期间位移的大小. 解:平抛运动中水平分速度保持不变,始终等于v0.如图4- 7, 落地速度可分解为水平分速度v0和竖直分速度vy: v2v02+vy2 (1) 竖直分运动是自由落体运动,运动时间为 tvy/g (2) 竖直方向的分位移为 syvy2/(2g) (3) 水平分位

11、移为 sxv0t (4) 小球的位移s满足: s2sx2+sy2 (5) 将(3)(4)两式代入(5)式: s2v02t2+(vy2)2/(4g2) (6) 将(2)式代入(6)式: s2v02vy2/g2+(vy2)2/(4g2) 即 s2(4v02+vy2)vy2/(4g2) (7) 从(1)式得 vy2v2-v02 (8) 将(8)式代入(7)式: s2(3v02+v2)(v2-v02)/(4g2) 于是 s(3v02+v2)(v2-v02)/(2g) 例题6 看电影时,常发现银幕上小轿车虽然在开动, 但其车轮 似乎并不转动.设车轮的正面形状如图4-8所示,请通过估算来判断 此时小轿车行

12、进的速度与你百米短跑的平均速度哪个大? 解:放映电影时,每1秒钟,银幕上依次出现24幅画面 , 即每隔 1/24秒,更换一幅画面.车轮看起来不动,这意味着, 各幅画面基本 相同,意味着在1/24秒钟的时间内,轮子转动了1/3周,或2/3周,1周, 4 /3周.在1/24秒的时间内,轮子至少转到了1/3周,也就是,在 1/8秒的时间内,轮子至少转过了1周.轮子的周长可估计为2米. 在 1/8秒的时间内,小轿车至少行进了2米.所以小轿车的速度至少为 v2m/(1/8)s16m/s 国家级运动员百米短跑大约需要10s,平均速度大约为 10m/s, 中学生百米短跑的平均速度为8m/s左右. 本题所述小

13、轿车之速度,大于人们百米短跑的速度. 例题7 图4-9表示近似测量子弹速度的装置,在一个水平转轴 的一端焊上薄壁圆筒,圆筒的半径为R,每分钟转n转.一颗子弹沿圆 筒的水平直径方向由A点射入圆筒, 在圆筒转过不到半圈时从圆筒 上B点射出.可认为子弹在穿壁时、在飞行中保持匀速直线运动.已 知圆弧AB所对的圆心角为.写出子弹速度的计算式. 解:观察图4-9和图4-10可知,子弹从一边射入,从另一边射出, 在此期间,圆筒转过的角度为(-).根据题意,在60s内, 圆筒转 过的角度是2n.由此可算出经历的时间为 t60(-)/(2n) 子弹作匀速直线运动的速度为 v2R/t 所以 vnR/15(-) 例

14、题8 如图4-11,有三个质量均为m的小球A、B、C, 固定在轻 杆上,OAABBCL,杆以O为圆心,以角速度在光滑水平面上匀 速旋转.杆OA、AB、BC上的拉力大小之比如何? 解:小球A、B、C的向心加速度都是指向O,大小分别为 aA2L, aB2(2L), aC2(3L). 轻杆OA、AB、BC上的拉力分别记为T1、T2、T3. 对小球A、B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律, T1maA+maB+maC6m2L 对小球B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律, T2maB+maC5m2L 对小球C应用牛顿第二定律, T3maC3m2L 所以 T1:T2:T36:5:3 例题9 质量为

15、2Kg的小球沿竖直平面内的半径为2m的圆轨道做 变速圆周运动,如图4-12所示,经过A点时速度为10m/s.求小球经过 A点时 (1)向心加速度的大小 (2)切向加速度的大小 (3)加速度的大小 (4)合外力的大小 解: (1)应用向心加速度公式: a心v2/r102/250m/s2 (2)如图4-13,将重力沿半径方向和切线方向分解为G1、G2: G1mgcos30 G2mgsin30 在切线方向应用牛顿第二定律: a切G2/m5m/s2 (3) aa心2+a切2 502+52 252550.25m/s2 (4) 应用牛顿第二定律: F合ma250.25100.5N 例题10 如图4-14所

16、示,一物体m从曲面上的Q点自由滑下,滑至 传送带时速度为v,然后沿着粗糙的传送带向右运动,最后落到地面 上.已知在传送带不动的情况下,落地点是P点. (A)若皮带轮带着传送带以大于v速度向右匀速运动,那么物体 的落地点在P点右边 (B)若皮带轮带着传送带以等于v的速度向右匀速运动,那么物 体的落地点在P点右边 (C)若皮带轮带着传送带以小于v的速度向右匀速运动,那么物 体的落地点在P点左边 (D)若皮带轮带着传送带向左匀速运动,那么物体的落地点在P 点 解:传送带不动时,对向右运动的物体的滑动摩擦力向左,物体 做匀减速运动.离开传送带时的速度记为u. 如传送带向右运动的速度大于v, 那么传送带

17、相对物体向右运 动,对物体施加向右的滑动摩擦力,使物体向右匀加速运动.匀加速 运动进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度达到传送 带的速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时, 速度大于u,落地点在P点右边.选项(A)正确. 如传送带向右的速度等于v,那么物体沿着传送带做匀速运动, 落地点也在P点右边.选项(B)正确. 如传送带向右的速度小于v,那么传送带相对物体向左运动,传 送带对物体的滑动摩擦力向左,使物体做匀减速运动. 匀减速运动 进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度减至传送带的 速度为止,物体接下去随传送带匀速运动. 物体离开传送带时的速 度等于u或者大

18、于u,落地点在P点或者P点右边.选项(C)错误. 如传送带向左运动,那么传送带相对物体向左运动, 传送带对 物体的滑动摩擦力向左,使物体向右作匀减速运动, 直到离开传送 带.物体离开传送带时的速度等于u,落地点在P点.选项(D)正确. 总之，选项(A)(B)(D)正确. 例题11 一个质量m20Kg的钢件，架在两根完全相同的、 平 行的长直圆柱上，如图4-15所示. 钢件的重心与两柱等距. 两柱 的轴线在同一水平面内. 圆柱的半径r0.025m，钢件与圆柱间的 动摩擦因数0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动， 角速度40rad/s. 若沿平行于柱轴的方向施力，推着钢件作速 度为v00

19、.050m/s的匀速运动，推力是多大?设钢件左右受光滑导 轨限制(图中未画出),不发生横向运动.(第二届全国中学生物理竞 赛预赛试题第二部分第六题) 解:每根圆柱所受的压力等于mg/2, 每根圆柱对钢件的滑动摩 擦力为 fmg/220N. f的方向,应该跟圆柱的和钢件接触的部分,相对钢件的速度的方向 相同.以钢件为参照物,圆柱的与钢件接触的部分,一方面有向左的 速度,大小为 v10.050m/s, 另一方面有横向速度,大小为 v2r1m/s, 如图4-16,圆柱的与钢件接触的部分的速度与轴线方向的夹角满 足 ctgv1/v20.050/10.050, 从而 cos0.050 . f跟轴线的夹角

20、也是.所以f的沿轴线方向的分量为 f轴fcos1N. 在地面坐标系中,钢件匀速运动,所以, F2f轴2N. 例题12 图4-16中M、N是两个共轴圆筒的横截面,外筒半径为R ,内筒半径比R小得多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间 抽成真空,两筒以相同的角速度绕其中心轴线(图中垂直于纸面) 作匀速转动.设从N筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行) 不断 地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒.从s 处射出时的初速度的 方向都是沿筒的半径方向,微粒到达N筒后就附着在N筒上,如果R、 v1和v2都不变,而取某一合适的值,则( ). (A)有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s 缝平行

21、的 窄条上 (B)有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b处一条与s 缝平行的窄条上 (C)有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c 处 与s缝平行的窄条上 (D)只要时间足够长,N筒上将到处有微粒 (1987年高考全国卷试题) (设微粒的初速度如果足够大, 以至微粒在两筒之间小范围的 运动可以看成直线运动.引者加.) 分析:微粒从M筒射到N筒的运动,在地面参考系中是直线运动, 在圆筒参考系中不是直线运动,而且不是容易研究的曲线运动. 所 以适合采用地面参考系,考虑这个问题. 解:微粒初速度是沿着半径方向的, 如果内外两个圆筒都是静 止的,那么微粒都落在N筒上a处窄条上. 微粒初

22、速度是沿着半径方向的,在某个微粒从M筒运动到N筒的 时间内:如果N筒正好运动1周、2周、3周等等, 那么这个微粒仍将 落在a处,如果N筒运动整数圈加上角,那么微粒在 N筒上的落点, 跟s点之间的圆弧的圆心角为. 速度大小相等的若干微粒,运动时间都相等,各微粒运动期间, 圆筒转过的角度都相同,落点跟s点之间的圆弧的圆心角都相同,将 落在同一窄条上. 如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间,圆筒转过整数圈, 如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒也转过整数圈(两 个整数不相等),那么所有微粒都落在a处.于是选项(A)正确. 如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间, 圆筒转过整数圈 加上角度,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒转过 整数圈(两个整数不相等)加上角度,那么所有微粒都落在同一窄 条上,比如b处.于是选项(B)正确. 如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间, 圆筒转过整数圈 加上角度1,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间, 圆筒转 过整数圈(两个整数不相等)加上角度2,21,那么所有微粒 都落在两个不重合的窄条上,比如b处和c处.于是选项(C)正确. 总之, 选项(A)(B)(C)正确,选项(D)错误.