第四章周期运动.docx
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第四章周期运动
第四章周期运动
本章学习提要
1．匀速圆周运动的特点。
2．描述圆周运动快慢物理量的物理意义，它们的定义、符号和单位。
3．描述圆周运动快慢物理量间的关系，运用这些关系进行简单计算。
4．质点做匀速圆周运动的原因。
5．机械振动的产生原因、运动过程，以及描述机械振动的物理量。
6．机械波的产生和描述。
周期运动是一种普遍的运动形式，它比前面学过的直线运动复杂，但仍需要以直线运动的知识为基础。
学习本章时要把握周期运动的基本特征——周期性，同时要注意描述周期运动的物理量与描述直线运动的物理量既有联系又有区别。
本章的学习重点是圆周运动、机械振动和机械波这三种周期运动，难点是理解机械振动和机械波的关系。
通过学习进一步认识用比值定义物理量，用图像描述物理规律的方法。
通过探究活动，激发对科学的兴趣和感情。
A匀速圆周运动
一、学习要求
理解圆周运动、匀速圆周运动、线速度、角速度等概念。
会用线速度、角速度公式进行计算。
知道线速度、角速度都是用来描述圆周运动快慢的物理量，理解描述直线运动快慢与描述圆周运动快慢物理量的区别。
进一步运用比较快慢的方法，在通过自主实验建立线速度概念的过程中，了解圆周运动与生活、生产的联系。
二、要点辨析
1．曲线运动和圆周运动的关系
曲线运动是质点运动轨迹为任意曲线的运动，曲线运动是相对直线运动而言的，也就是说我们只根据运动轨迹的形状来区分曲线运动和直线运动。
很明显，曲线运动包含圆周运动，或者说圆周运动是曲线运动的特例。
因此圆周运动具有一切曲线运动的特点，例如：
做圆周运动的质点速度方向不断改变，而且总是沿着切线方向；圆周运动是加速度不为零的运动；做圆周运动的质点一定受到合外力的作用等。
当然，一般的曲线运动和圆周运动也有某些不同，例如圆周运动有一个确定的轨道圆心，而任意曲线运动没有确定的轨道圆心；在匀速圆周运动中，加速度与合外力都指向圆心，任意曲线运动的加速度与合外力的变化情况就比较复杂。
2．线速度与角速度的比较
线速度与角速度都是描述圆周运动快慢的物理量，但描述的内容不同。
线速度表示单位时间内质点运动所经过的圆弧的长度，角速度表示单位时间内质点所在的半径转过的角度。
这两种表示方法从不同的视角描述圆周运动的快慢，在理论与实践中都是很有用的。
我们把建立在长度基础上的物理量，如速度、速率、线速度、加速度叫做线量；建立在角度基础上的物理量，如弧度、角速度叫做角量。
除了以上区别外，线速度与角速度的单位也是不同的。
3．考察物理现象的方法
研究物理现象就像研究其他问题一样，也应该全方位、多视角进行考察。
例如要比较月亮绕地球和地球绕太阳运动的快慢，我们既要用线速度来比较，又要用角速度来比较，而比较的结果却不同。
对同一物理现象，从不同角度去考察，可以得出不同的结论，这是我们经常遇见的情况。
例如，同一个物体是运动或者静止、运动方向如何、运动快慢如何、运动轨迹如何，不同参考系的观察者可得出完全不同的答案，而这些完全不同的答案都是正确的。
由此可知，任何一个判断和结论都不能离开实际的条件，具体情况具体分析，这是我们学习和研究物理现象的重要方法，也是研究其他问题的重要方法。
三、例题分析
【例】图4－1中所示是篮球比赛专用计时器，请你根据图中提供的信息，计算计时器正常工作时指针转动的角速度。
【分析】题文中没有提供任何数字，但我们可以从图中找到资料。
该计时器没有时针，只有分针和秒针，而且按倒计时方式工作。
分针转一圈用20min，秒针转一圈用1min。
【解答】由角速度的定义式，可得分针的角速度
ω＝
＝
rad/s≈5.2×10-3rad/s，
秒针的角速度ω＝
＝
rad/s≈0.105rad/s。
四、基本训练
A组
1．关于匀速圆周运动，下列不正确的说法是（）。
（A）匀速圆周运动是速度不变的运动
（B）匀速圆周运动是速度不断变化的运动
（C）做匀速圆周运动的物体所受合外力一定不为零
（D）匀速圆周运动也是曲线运动
2．举出三个与圆周运动有关的体育运动项目。
3．飞机在空中与水平面平行的平面上做匀速圆周运动，圆周半径为4000m。
如果飞机的线速度是80m/s，则飞机绕一圈要多少时间？
飞机的角速度是多大？
4．根据本章教材开始提供的数据，估算上海锦江乐园“摩天轮”在正常运行时，轿箱内游客的角速度和和线速度。
（位于上海市锦江乐园的摩天轮，它的高度为108m，直径98m，每次可乘坐378人，坐在轿厢内的游客转一圈需25min。
）
5．
钟表的时针、分针和秒针的针尖都可认为在做匀速圆周运动，它们的角速度之比是______，图4－2中秒针针尖到转轴的距离是15cm，它转一周经过的路程是______m，它的线速度大小是_______m/s。
6．直径为40m的旋转餐厅缓慢转动一周需100min，则离窗边2m的顾客的线速度大小为________m/s，坐在窗边的顾客的线速度大小为_______m/s，他们的角速度之比为________。
7．我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”绕地球近似做匀速圆周运动一周所需时间为114min，离地面平均高度是1412km。
计算卫星环绕地球运行时线速度的大小和角速度的大小。
（地球半径为6400km）
8．请你利用表格，对线速度和角速度的定义、定义式、单位等作出比较。
B组
9．
对于一个匀速转动的物体，下面说法中正确的是（）。
（A）物体上任何一点的线速度不变
（B）物体上不同点的线速度的大小都不同
（C）物体上任何一点的角速度大小都不变
（D）物体上不同的点角速度的大小都不同
10．如图4—3所示，一个圆环以直径AB为轴做匀速转动，则环上P、Q两点的角速度大小之比ωP∶ωQ＝__________。
11．地球可以看作一个球体，则在上海地面的物体随地球自转的角速度为_________rad/s。
12．
一个半径为4cm的定滑轮，绕有多圈细绳，细绳的一端固定在定滑轮上，另一端与重物相连，如图所示。
设重物以2m/s2的加速度由静止匀加速下落，当重物下落距离为1m时，求滑轮边上一点转动的线速度和滑轮转过的周数。
B角速度与线速度的关系
一、学习要求
在学习线速度、角速度的基础上，进一步理解周期、转速也可以描述圆周运动的快慢。
理解周期、转速的意义及单位，理解线速度、角速度、周期、转速之间的关系，会用相应的关系式，如v＝ωr，T＝
＝
，n＝
＝
等进行计算。
通过对“自行车中的圆周运动”的探究活动，感受科学探究的基本步骤，懂得合作的重要性。
二、要点辨析
1．描述圆周运动快慢的物理量之间的关系
描述圆周运动快慢有四个物理量，它们是角速度ω、周期T、转速和线速度v。
其中，角速度、周期、转速三个物理量既可以描述物体的转动快慢，又可以描述质点的圆周运动快慢，而线速度通常只能描述质点做圆周运动的快慢，不能描述物体转动的快慢。
这些物理量的关系是
v＝ωr，
T＝
＝
，
n＝
＝
＝
。
2．区分匀速圆周运动中的变量、不变量和常量
在众多的物理量中我们要善于区别哪些是变量，哪些是不变量，哪些是常量，这对我们分析和解决物理问题是至关重要的。
由于物质世界在不断变化和运动，所以反映物质世界特征的大多数物理量都是随时间和空间而变化的，也就是说大多数物理量都是变量。
但是在一定条件下，或者根据研究问题的需要，我们可以假定某些量不变，在这个研究过程中这些量就成为不变量。
例如，在研究圆周运动时，如果要考察半径r不变时，角速度ω与线速度v的关系，那么半径r就是不变量，角速度ω与线速度v就是变量。
如果要考察一个物体转动时其上各点的线速度v与半径r的关系，那么角速度ω就是不变量，线速度v与半径r就是变量。
再如，一般情况下，重力加速度g可以认为是一个不变量，甚至可以取值g＝10m/s2；但当我们要研究重力加速度与高度和纬度的关系时，重力加速度g就是一个变化量。
所谓“控制变量法”，就是创造条件，使某些物理量保持不变，再来研究其他变量关系的方法。
在任何情况下都保持不变的少数的物理量被叫做物理常量或物理常数，如真空中的光速c、电子电荷量e等。
3．注意公式v＝ωr中各量比例关系成立的条件
在高中物理中经常要用到物理量之间的比例关系，但要注意比例关系成立的条件。
例如在公式v＝ωr中，我们说v与ω成正比，或v与r成正比，或ω与r成反比都是有条件的。
v与ω成正比要求r保持不变，即半径相同时角速度与线速度成正比；v与r成正比就要求ω保持不变，同一物体转动或不同物体以相同角速度转动都符合这个条件；ω与r成反比要求线速度保持不变，录音磁带走带时就要满足这个条件。
如果没有任何条件，则公式v＝ωr中，三个量都在变化，就不存在正比或反比关系。
所以，分析物理问题时一定要考虑条件。
三、例题分析
【例1】单缸发动机的飞轮每分转2400转，求：
（1）飞轮转动的周期与角速度。
（2）若飞轮上某点离轴线的距离r为0.2m，则该点的线速度是多少？
【解答】
（1）由于飞轮每分转2400转，转速n＝
r/s＝40r/s，所以周期
T＝
＝
s＝0.025s，
而每转一周就是转过2πrad，因此飞轮转动的角速度
ω＝
＝2πn＝2π×40rad/s≈251rad/s。
（2）已知r＝0.2m，因此该点的线速度
v＝ωr＝251×0.2m/s＝50.2m/s。
【例2】地球可看成是半径为6400km的球体，北京的地理纬度大约是北纬40°（图4－5），则在北京地面上的物体随地球自转的线速度是多少？
角速度是多少？
（已知cos40°＝0.766）
【分析】地球绕地轴自转，地球上的物体随之做圆周运动，这些物体做圆周运动的角速度相同，但由于纬度不同，圆周运动的半径也不同，赤道处的半径最大，两极处半径为零。
轨道半径r和地球半径R的关系为r＝Rcosθ，式中θ就是纬度，题中北京的纬度是40°。
【解答】地球自转的周期T＝24×3600s=86400s，
地球自转的角速度
ω＝
＝
rad/s≈7.2×10-5rad/s，
北京地面物体的线速度
v＝ωr＝ωRcosθ＝7.2×10-5×6400×1000×0.766m/s≈353m/s。
【例3】如图4－6所示，O1、O2两轮依靠摩擦传动而不打滑，O1轮的半径是O2轮的2倍。
A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点。
试分别讨论A、B、C三点的角速度、线速度的关系。
【分析】在研究物理量之间的关系时，先要抓住哪些量是相同的，哪些量是不同的，再比较不同量的大小。
【解答】图4－6中O1、O2两轮依靠摩擦传动而不打滑，就告诉我们两轮边缘上相互接触的两点，线速度一定相等，否则两轮就要打滑，由此推得A点和B点及轮缘上所有点的线速度相等，这与皮带传动、齿轮传动的情形有些类似。
而C点的半径等于A点半径的一半，C点和A点在同一物体上，角速度应该相同，所以C点的线速度等于A点线速度的一半。
再因B点的半径是A点半径的一半，而两者线速度相同，由v＝ωr可得B点的角速度等于A点角速度的2倍。
总结以上讨论可得所求关系
vA＝vB＝2vC，
ωB＝2ωA＝2ωC。
四、基本训练
A组
1．关于两个做匀速圆周运动的质点，正确的说法是（）
（A）角速度大的线速度一定大
（B）角速度相等，线速度一定也相等
（C）半径大的线速度一定大
（D）周期相等，角速度一定相等
2．在半径为15m的圆形杂技场进行马术表演时，马沿着场地边缘奔跑，把马的运动看成是匀速圆周运动，马的线速度是8m/s，求马的运动周期、转速和角速度。
3．砂轮机在磨削金属时，砂轮和金属的碎屑因摩擦产生的高温形成火星，你注意到火星沿什么方向飞行？
如果砂轮的半径是10cm，转速是1080r/min，火星刚飞出时的速度是多少？
砂轮上半径为5cm处质点的角速度是多少？
4．在一个匀速转动物体上，轴线外的各点都在做______运动，描述各点运动快慢的物理量中相同的是_____________，可能不同的是____________，只有____相同的各点，描述运动快慢的物理量大小才相同。
5．若全自动洗衣机脱水时桶的转速为1200r/min，桶的半径为20cm，则桶壁任一点的角速度为_____rad/s，线速度为_____m/s。
6．传动机构就是传递运动、动力和能量的机构，机械传动的主要方式有齿轮传动、链传动、皮带传动，前两种传动依靠齿与齿、齿与链的啮合推力，后一种则依赖于摩擦力。
图4—7表示传动的原理和应用，请观察图片，举出三种传动方式的其他实例。
图4-7
7．
如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点。
左轮是一个轮轴，轮半径为4r，轴半径为2r，b点在轴上，到轴心的距离为r，c点和d点分别在轴和轮的边缘。
若在传动过程中皮带不打滑，则正确结论是（）。
（A）a点与b点的线速度大小相等
（B）a点与b点的角速度大小相等
（C）a点与c点的线速度大小相等
（D）a点与d点的角速度大小相等
8．三个在地球表面静止的物体A、B、C分别放在北京、上海和广州，则它们角速度ωA、ωB、ωC三者的大小关系是______，线速度vA、vB、vC三者的大小关系是______，周期TA、TB、TC三者的大小关系是________。
B组
9．
如图4—9所示，有一个偏心轮绕O点匀角速转动，O点不在圆心，试找出偏心轮上：
（1）位于轮缘线速度最大的点。
（2）位于轮缘线速度最小的点。
（3）线速度大小相同的点。
（4）角速度相同的点。
10．如图4—10所示，拖拉机前面导轮的半径r只有后面主动轮半径R的一半，则前后两轮边缘上点的线速度之比为______，角速度之比为_______。
11．
如图所示为自行车传动部分示意图，a为踏脚，OA为曲轴，b为齿轮（牙盘），d为齿轮（飞），c为链条，e为后轮（主动轮）。
已知OA＝25cm，rb＝10cm，rd＝4cm，re＝36cm。
如果传动过程中无打滑现象，当踏脚以每分30转的速度匀速转动时，自行车行进的速度为______m/s。
12．机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动。
请你仔细观察一下，分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间最接近（）。
（A）59s（B）60s
（C）61s（D）与分针位置有关的一个变量
C机械振动
一、学习要求
知道机械振动、回复力，理解振动物体的位移、速度、加速度等概念；会用牛顿运动定律分析在一次全振动过程中质点的位移、回复力、速度、加速度的变化规律；学会运用时间的周期性和空间的对称性来分析物体的振动过程。
理解振动周期和频率是描述振动快慢的物理量，振幅是描述振动强弱的物理量。
理解弹簧振子振动的快慢是由弹簧振子本身结构所决定的，与振幅大小无关。
通过对振动过程的研究，认识分析物理过程的方法，感悟振动知识与自然现象的广泛联系，以及振动在日常生活中的重要应用。
二、要点辨析
1．机械振动的特点及产生振动的条件是什么？
物体在某一中心位置（也叫平衡位置）附近所做的往复运动叫机械振动，机械振动的运动特点是具有往复性和周期性。
其运动条件是物体受到始终指向平衡位置的回复力的作用，这个力与匀速圆周运动中的向心力类似，是根据力的作用效果命名的。
它可以是由某一个力提供（如弹簧振子中的弹力），也可以是由几个力的合力或某个力的一个分力提供。
2．对振子位移的理解
振子位移就是由振子平衡位置指向振子所在位置的有向线段。
如图4－12中振子在x轴上的A、B两点间做机械振动，O点为平衡位置。
当振子处于C点时它的位移xC＝＋2cm，其正号表示位移的方向由O→C，与x轴的正方向同向；当振子处于D点时，它的位移xD＝－2cm，其负号表示位移的方向由O→D，与x轴的正方向相反。
将位移这样定义可使振子位移的大小恰好与图中弹簧的形变量相等，既简化了研究过程，也能使结论简洁明了。
3．正确理解振幅、周期、频率
振幅是指振动物体在运动过程中离开平衡位置的最大距离，即A＝|xmax|。
由于最简单且不计阻力的机械振动在空间上具有对称性，振动物体离开平衡位置的最大距离是个定值，不随时间变化。
虽然振动的位移随时间在零和最大值之间不断地变化，但作为最大位移的振幅总是不变的。
所以，可以用振幅来表示振动的剧烈程度。
周期是指振动物体完成一次全振动所需的时间；单位时间内完成全振动的次数叫频率。
机械振动是一种周期性运动，完成一次全振动的时间越短，表示振动越快；单位时间内完成全振动次数越多，同样说明振动越快。
所以，周期、频率是描写振动快慢的物理量。
4．正确判断一次全振动过程
如图4－13所示，一物体以O点为平衡位置，在水平方向上做机械振动，物体先后两次以相同大小和方向的速度通过同一位置P，这一过程之就是一次全振动的过程。
所以，物体每经过一次全振动，通过的路程必定是振幅的四倍，即s＝4A。
三、例题分析
【例1】对图4－12所示的弹簧振子的振动过程，回答以下问题：
（1）当振子接连先后两次经过同一位置C点时的位移、回复力以及加速度是否相同？
（2）当振子接连先后经过与平衡位置O对称的C、D两点时上述物理量是否相同？
（3）当振子由平衡位置向最大位移处运动时，以上各物理量如何变化？
【分析】当振子分别向右和向左经过C点时，由于振子的位置相同，所以振子的位移x相同；回复力F的大小与弹簧的形变有关；振子的加速度a＝
也相同。
由于C、D两点关于O点对称，所以振子的位移、回复力、加速度的大小均相等，但方向都相反。
振子由平衡位置向最大位移处运动时，位移x增大，回复力F、加速度随之增大。
但由于回复力总是指向平衡位置，所以加速度也总指向平衡位置。
振子运动到最大位移处时，其速度减为零，但回复力及加速度均为最大。
【解答】
（1）经过同一位置时，振子的位移、回复力、加速度等矢量相同；速度大小相等、方向相反。
（2）振子先后经过对称点C、D时，位移、回复力、加速度等矢量的大小相等、方向相反；速度矢量相同。
（3）振子由平衡位置向最大位移处运动时，振子的位移、回复力、加速度将增大，速度减小，所以做的是变加速运动。
【例2】将一水平放置的弹簧振子从平衡位置向右拉开4cm后放手，让它做振动。
已知从放手到回到平衡位置的时间为0.1s，求：
（1）弹簧振子的振幅、周期、频率。
（2）2s内完成全振动的次数。
（3）振子从开始运动经2.5s末的位移大小。
此时正要向哪个方向做怎样的运动？
（4）振子经5s通过的路程。
（5）若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6cm后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？
【分析】振幅就是振子拉开的最大距离，从最大位移运动到平衡位置恰好经过四分之一周期。
根据振子从开始运动经历多少周期可判断向哪个方向运动。
【解答】
（1）根据振幅的定义可知振幅大小为4cm；由于从最大位移处向平衡位置运动的时间为
，所以周期为0.4s；频率为周期的倒数，等于2.5Hz。
（2）因为T＝0.4s，t1＝2s＝5T，所以，2s内完成了5次全振动。
（3）t2＝2.5s＝（6＋
）T，振子经整数周期恰好回到原来位置（即右侧最大位移处），再经
振子恰向左经过平衡位置。
所以2.5s末振子的位移大小为零，正向左做加速度增大的减速运动。
（4）由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅，t3＝5s＝12.5T，所以，振子经过5s，通过的路程为12.5×4×0.04m＝2m。
（5）由于振子振动的周期与振幅无关，所以此时振子的振幅变为6cm，而周期与频率均不变。
四、基本训练
A组
1．下列运动中可以看作机械振动的是（）。
（A）声带发声（B）音叉被移动
（C）火车沿斜坡行驶（D）秋风中树叶落下
2．
如图4—14所示，小球的质量为m，在重力和斜面弹力的作用下沿着两个倾角为θ的对称、光滑的斜面OA和OB做往复运动。
判断小球是否做机械振动，并说明理由。
3．下列物理量中：
（1）描述物体振动快慢的是（）。
（2）描述物体振动强弱的是（）。
（A）频率（B）回复力（C）振幅（D）速度
4．一个做机械振动的物体，由平衡位置向最大位移处运动时，下列说法正确的是（）。
（A）物体的位移逐渐变大（B）物体的速度逐渐变大
（C）物体的回复力逐渐变小（D）物体的周期逐渐变小
5．一般人耳能听到的声音振动频率下限约为20Hz，上限约为20000Hz。
问相应的周期是多少？
6．振动的物体在1.2s时间内完成了30次全振动，求它的振动周期和频率。
7．假设蚊子翅膀振动的频率为400Hz，翅尖振幅为0.5mm。
问1s内蚊子翅尖由于振动所经过的路程是多少？
8．课本图4—25中，设弹簧振子的振幅为0.1m，周期为4s，弹簧原长为0.5m，而且开始时小球位于最左的位置，初速为零。
经过3.5个周期的瞬时，小球位于何处？
此时小球相对于平衡位置的位移是多少？
相对于出发点的位移又是多少？
弹簧总长度是多少？
在这3.5个周期内，小球经过的路程是多少？
B组
9．判断下列说法的正误：
（1）在变力作用下的运动一定是机械振动。
（）
（2）做机械振动的物体，其加速度的方向与位移的方向在每一时刻都相反。
（）
（3）做机械振动的物体，速度增大时，加速度减小。
（）
（4）振动物体两次经过平衡位置的过程叫一次全振动。
（）
10．一弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则：
（1）该弹簧振子的振动周期为（）。
（A）0.4s（B）0.8s（C）1.6s（D）1.4s
（2）从振子第二次经过P点算起，该振子第三次经过P点所需的时间为（）
（A）4s（B）8s（C）3
s（D）1.4s
11．将一水平放置的弹簧振子从平衡位置向右拉开1cm后释放，振子做振动。
若第一次到平衡位置的时间为0.1s，则该振子的振幅为_____cm，周期为____s，频率为_____Hz，振子在1s内的路程为_______cm，在0.7s末振子的位移大小为_____cm，正要向_____（选填“左”或“右”）做______（选填“加速”或“减速”）运动。
12．某弹簧振子做振动，先后以相同速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.2s，再从B点回到A点的最短时间为0.4s，则：
（1）平衡位置在何处？
（2）振子的运动周期及频率是多少？
D机械波的产生
一、学习要求
知道机械波形成的条件，理解横波的形成过程。
能判断当振源振动一段时间后介质中各质点所在的位置，能画出此时介质中形成的波形。
通过学习波形图感受从形象到抽象的思维过程，通过对“和声”知识的探讨，了解声波的实际应用，提高学习物理的兴趣。
二、要点辨析
1．机械波在传播过程中的特点
（1）传递振动的介质中各个质点由于波源的带动，都在各自的平衡位置附近做振动，它们振动的周期、频率都等于驱动力（即波源）的周期、频率，某些波各质点的振幅也等于波源的振幅。
且离波源近的质点先振动，远的迟振动。
波源带动邻近质点振动，而这些质点带动它附近的质点振动。
振动的形式就这样由近及远、由此及彼地传播开来，从而形成波。
（2）波动过程中，各介质质点沿波传播方向并不发生定向迁移，各个质点都被周围邻近质点的弹性作用力束缚在自己的平衡位置附近。
（3）在均匀介质中波的传播是匀速的，在波源或任一质点完成一次全振动的时间内，这列波匀速向前传播的距离是一定的。
2．如何画出某一时刻的波形？
由于波动过程中，波源带动邻近质点在各自的
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