中考数学压轴题全面突破4三角形的存在性含答案详解.docx

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中考数学压轴题全面突破4三角形的存在性含答案详解

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中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性

题型特点

三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：

直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．

解题思路

①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；

②分类讨论，画图；

③建等式，对结果验证取舍．

对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：

 ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．

②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．

③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．

难点拆解

①直角三角形关键是用好直角，可考虑：

勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为-1；

②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；

③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．

④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．

1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！

未找到引用源。

的图象经过点（2，4），且与直线错误！

未找到引用源。

交于A，B两点．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！

未找到引用源。

与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为（﹣1，0），过点C的直线错误！

未找到引用源。

与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0

（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？

若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

3.（2012海南）如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点A的坐标是（6，﹣3），求△ANO的面积．

（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①证明：

∠ANM=∠ONM；

②△ANO能否为直角三角形？

如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！

未找到引用源。

与x轴的两个交点分别为A（-3，0）B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）a=________，b=________，顶点C的坐标为_________．

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

5.（2012辽宁大连）如图，抛物线错误！

未找到引用源。

经过A（错误！

未找到引用源。

，0），B（错误！

未找到引用源。

，0），C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D．设抛物线的顶点为P，连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？

若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM，DN，若PM=2DN，求点N的坐标．

6.（2012湖北黄冈）如图，已知抛物线错误！

未找到引用源。

（m>0）与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值．

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积．

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．

（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，C，F为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

7.（2012福建福州）如图1，已知抛物线错误！

未找到引用源。

（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在

（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P，O，D分别与点N，O，B对应）．

8.（2012江苏苏州）如图，已知抛物线错误！

未找到引用源。

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

9.（2012浙江丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=错误！

未找到引用源。

．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=错误！

未找到引用源。

，AC与y轴交于点E.

（1）求AC所在直线的函数解析式．

（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积．

（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？

若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

三角形的存在性

1．

（1）

．

（2）C

．

（3）存在，符合条件的点M的坐标分别为

．

2．

（1）C（0，-3），b=-

，c=-3．

（2）

．

（3）存在，符合条件的t值分别为t1=

-1，t2=

，t3=

．

3．

（1）

．

（2）△ANO的面积为12．

（3）①证明略；②能，A

．

4．

（1）

，C（-1，4）．

（2）存在，符合条件的点D的坐标为（0，3）或（0，1）．

（3）P

或P

．

5．

（1）

．

（2）存在，符合条件的点Q的坐标分别为Q1

、Q2

、Q3

、Q4

．

（3）

．

1.

（1）m=4．

（2）S△BCE=6．

（3）H（1，

）．

（4）存在，m=

．

2.

（1）

．

（2）

，点D的坐标为（2，-2）．

（3）点P的坐标为（

，

）或（

，

）．

3.

（1）B（b，0），C（0，

）．

（2）存在，点P的坐标为（

，

）．

（3）存在，符合条件的点Q的坐标为（1，

错误！

未找到引用源。

）或

（1，4）．

4.

（1）

．

（2）

．

（3）存在，符合条件的点P坐标为