圆的基本性质知识点整理.docx
《圆的基本性质知识点整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆的基本性质知识点整理.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆的基本性质知识点整理
3.1圆
（1）
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做。
如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
d＜r点P在圆；
dr点P在圆上；
d＞r点P在圆；
如图，在
中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC为
O的直径.
（1）点A是否在圆上？
请说明理由.
（2）写出圆中所有的劣弧和优弧.
如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船沿CB航行，问：
渔船会进入暗礁区吗？
======================================================================
3.1圆
（2）
（1）经过一个已知点能作个圆；
（2）经过两个已知点A,B能作个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？
（3）不在同一条直线上的三个点一个圆
经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；
三角形的外心是的交点。
锐角三角形的外心在；
直角三角形的外心在；
钝角三角形的外心在。
作图：
已知△ABC，用直尺和圆规作出△ABC的外接圆
3.2图形的旋转
图形旋转的性质
图形经过旋转所得的图形和原图形；
对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。
1、如图，射线OP经过怎样的旋转，得到射线OQ？
2、如图,以点O为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。
3、如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段
，并求直线
与直线AB所成的锐角的度数。
3.3垂径定理
（1）
圆是图形，它的对称轴是。
如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？
填一填：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴
（文字描述）垂径定理：
。
如图，圆心O到圆的一条弦AB的距离OC叫做。
记半径为r，弦长为a，弦心距为d，这三者之间的关系式为。
运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目
1、⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则⊙O的半径为（）
（A）4cm.（B）5cm.
（C）8cm.（D）10cm.
2、已知⊙O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长
3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB为16，求截面圆圆心O到水面的距离OC
3.3垂径定理
（2）
（文字描述）垂径定理的逆定理1：
。
（符号描述）∵CD是直径，AP=BP
∴
（文字描述）垂径定理的逆定理2：
。
（符号描述）∵CD是直径，
＝
∴
如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做。
弓高h、半径r和弦心距d之间的关系是。
垂径定理综合运用
1、如图,一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.
2、
已知:
如图,⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N,AM＝BM,AB∥CD.求证:
DN＝CN.
3、
如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝3cm,DE＝7cm.求AB的长.
4、已知O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm.求AB与CD之间的距离.
3.4圆心角
（1）
顶点在圆心的角叫做。
圆心角定理：
在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。
在中，相等的圆心角所对两条弦的相等
符号语言
在⊙O中：
∵∠AOB=∠COD
∴（弦相等）
（弧相等）
（弦心距相等）
我们把n°的圆心角所对的弧叫做的弧
练一练：
1、下列命题中，不正确的是（）
A、圆是轴对称图形
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形
D、圆是中心对称图形
2、如图，AB，CD是
的直径，若∠AOC=70°，则
的度数是，
的度数是，
的度数是。
3、已知：
如图，∠1＝∠2.求证：
＝
.
4、如图，
的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°.求
，
的度数.
3.4圆心角
（2）
圆心角定理的逆定理：
在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。
1、如图，等边三角形ABC内接于
，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，交
于点D，连结BD，CD，
1判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。
四边形BDCO是，证明如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB===120°
∴∠BOD=
又∵
∴△BOD是三角形
同理，△COD是
∴记四边形BDCO是
2若
的半径为r，求等边三角形ABC的边长
2、已知，如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的
分别交AC，BC于点D，E，求证：
=
=
.
3、下列说法正确的是
1圆心角相等，所对的弦相等；
2等弧所对的弦相等
3弦相等，所对的圆心角相等
4在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
3.5圆周角
（1）
顶点在，角的两边都和圆的角叫做圆周角
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对的弧上的度数的一半。
已知一条弧所对的圆周角等于70°，则这条弧所对的圆心角是°。
一条50°的弧所对的圆心角是°，圆周角是°。
一条弧所对的圆心角的度数为95°，则这条弧是°，它所对的圆周角是°。
一条弧的度数是180°，则它所对的圆心角是°，
圆周角是°。
推论：
半圆（或）所对的圆周角是。
如图所示，∠C=90°，则∠AOB=，AB是⊙O的。
推论：
90°的圆周角所对的弦是。
练习：
如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数。
变式1：
已知，如图，AB为圆O的直径，AB=AC，BC交圆O于点D，AC交圆O于点E，求证：
BD=CD
变式2：
如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是（）
A.80°B.100°C.120°D.130°
3.5圆周角
（2）
推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，的圆周角所对的弧也相等。
基本图形：
如图所示：
∵BC=BC
∴∠=∠
练一练：
1.如图,
内接于圆,
的度数为
.求
的度数.
2.已知：
如图,
是
的直径,弦
与半径
平行.求证：
综合练习：
已知半径为5的
中，弦
，弦
，则
的度数是（）
A．
B．
C．
或
D．
或
如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30°过圆心O作
OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB=°．
已知，如图：
AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。
给出以下五个结论：
①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧
是劣弧
的2倍；⑤AE＝BC。
其中正确结论的序号是。
3.6圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。
性质：
圆内接四边形的对角。
圆内接四边形的外角等于它的。
练一练：
已知圆内接四边形有一个内角是50°,则它的对角的度数为°.
如图,AB是半圆O的直径,∠BAC＝40°,则∠D=.
已知圆内接四边形ABCD中,∠A:
∠B:
∠C＝2:
3:
7.求∠D的大小.
综合练习：
已知，如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，求证：
DB=DC
分析：
要证明DB=DC，只需证明∠=∠
证明：
3.7正多边形
我们把、的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个。
计算：
已知一个正多边形的内角为120°，这个正多边形是。
已知一个正多边形的外角为45°，这个正多边形是。
正五边形的内角等于°。
选择：
下列图形中，是中心对称图形的是，是轴对称图形的是
①②③④
作图：
用直尺和圆规做圆的内接正六边形
3.8弧长及扇形的面积
（1）
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长
的计算公式为：
公式变形：
半径R=圆心角的度数n=
公式运用：
（1）半径为3的圆弧的度数为100°，则这条弧长为；
（2）半径为5的圆弧长为5π，则这条弧所对的圆心角的度数为；
（3）已知圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆的半径为。
3.8弧长及扇形的面积
（2）
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为
，
那么扇形面积S==
公式运用
1、已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积
（1）圆心角为135°的扇形
（2）弧长为4π的扇形
2、已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角为216°，求它的弧长。
练一练
1.如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm.求截面中有水部分弓形的面积.
2.如图为某水管截面中水面面积示意图，其中水管的直径为2.5米，∠AOB=45°，求截面中有水部分的面积.
3.如图所示，折扇的骨柄长a=16cm，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，求折扇扇面的面积.
升级会员 