届高三数学摸底零诊考试试题理.docx
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届高三数学摸底零诊考试试题理
成都市2017届高三摸底（零诊）
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（）
A．8B．10C．12D．15
2.对抛物线，下列判断正确的是（）
A．焦点坐标是B．焦点坐标是
C．准线方程是D．准线方程是
3.计算的结果是（）
A．B．C．D．
4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，且，则下列结论一定正确的是（）
A．B．C．与相交D．与异面
5.若实数满足条件，则的最大值是（）
A．10B．8C．6D．4
6.曲线在点处的切线方程是（）
A．B．C．D．
7.已知数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（）
A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
8.若定义在上的奇函数满足：
，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：
①；②；③；④，其中为“函数”的是（）
A．①B．②C．③D．④
9.设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（）
A．B．C．D．
10.在中，内角的对边分别为，且，，则角的大小为（）
A．B．C．D．
11.已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12.如图1，已知正方体的棱长为，分别是线段上的动点，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.计算：
_____________.
14.函数的极小值是_____________.
15.已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_____________.
16.已知函数的导函数为，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集是_____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：
.
18.（本小题满分12分）
王师傅为响应国家开展全民健身运动的号召，每天坚持“健步走”，并用计步器对每天的“健步走”步数进行统计，他从某个月中随机抽取10天“健步走”的步数，绘制出的频率分布直方图如图所示.
（1）试估计该月王师傅每天“健步走”的步数的中位数及平均数（精确到小数点后1位）；
（2）某健康组织对“健步走”结果的评价标准为：
每天的步数分组
（千步）
评价级别
及格
良好
优秀
现从这10天中随机抽取2天，求这2天的“健步走”结果不属于同一评价级别的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，已知，，，.
（1）证明：
；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的焦距为2，点在直线上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为坐标原点，为直线上一动点，过点作直线与椭圆相切于点，求面积的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：
当，且时，.
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线在直角坐标系中的普通方程和直线的倾斜角；
（2）设点，若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.
参考答案
一、选择题：
1-5.BCDAC6-10.ACDBA11-12.BD
二、填空题：
13.214.015.316.
三、解答题：
17.解：
（1）∵，∴.
设公差为，
∴，∴.
∴.
（2）由
（1），得.
∴.
∴
（2）设“在10天是任取2天，评价级别相同”为事件，“在10天中任取2天，评价级别不相同”为事件.
则.
∵事件与事件互为对立事件，
∴.
19.解:
（1）连结，在中，
∵
∴.
又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.
∴.
∵，，,
∴平面.
∵平面
∴
（2）在中，∵,,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，
∴.
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
设平面的法向量为.
由.
令，则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为.
由.
令，则平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，易知为锐角.
∴.
20.解：
（1）∵椭圆的焦距为2，∴半焦距.
∵点在直线上，，∴.
又，∴.
∴.
∴椭圆的标准方程为.
（2）依题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设，.
联立消去，可得.
∵，∴.
且，，.
则.
又直线的方程为，
∴点到直线的距离
∴
=.（取时）
∵，∴.
∴.
∴.
由，当且仅当时等号成立.
同理，取时，也可得当时的最小值为.
∴面积的最小值为.
21.解：
（1）的定义域是，.
设，则.
①当时，在成立，∴在上单调递增.
且，使得.
当变化时，变化情况如下表：
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∴在上单调递减，在上单调递增.
②当时，，∴在上单调递增.
③当时，
当变化时，，变化情况如下表：
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∴.
∵，∴，，.
∴在成立，即在上成立.
∴在上单调递增.
综上所述：
①当时，在上单调递减，在上单调递增；其中满足；
②当时，在上单调递增.
（2）当时，的定义域是，
.
此时，则.
∴在上单调递增，.
当变化时，变化情况如下表：
1
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∵，且，则（不妨设）.
设函数.
∴
.
当时，且.
∴，且.
∴
即当时，.
∴函数在上单调递减.
∴，即当时，.
∵，∴.
∴.
∵在上单调递增，且，又，
∴.
∴
22.解：
（1）易得曲线的普通方程为.
∵直线的普通方程为，
∴直线的倾斜角为.
（2）显然点在直线上.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得
.
此方程的两根为直线与曲线的交点对应的参数,
∴
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