泄洪设施修建计划2.docx
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泄洪设施修建计划2
江西省研究生数学建模竞赛B题
泄洪设施修建计划
位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。
以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。
2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。
为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。
从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟，以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。
经测算，修建新泄洪河道的费用为P?
0.66Q0.51L（万元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示泄洪河道的长度（公里）。
请你们通过数学建模方法，解决以下问题：
问题1：
该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。
在表工中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。
水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。
由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2,而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。
同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。
修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万
方米/小时的泄洪能力。
乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。
表1现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时）
1
表2开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）
问题2：
该乡共有10个村,分别标记为①一⑩，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。
①
②③④
⑤
⑥⑦⑧
⑨
⑩
其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。
乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。
要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。
表3各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：
公里）
请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。
（说明：
从村A一村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。
）
问题3：
新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。
试
2
分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？
问题4：
你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？
说明：
1、以上问题必须建立一般的数学模型，不能仅按照题目中提供的数据计算一个结果。
2、建模过程中，可自行提出合理的模型假设。
3
数学建模第三次论文
队号：
198 题目：
A
题 队员：
孙团伟
杨刚 张端正
2010年8月17日
泄洪设施修建计划
摘要
修建泄洪设施时，如何在满足安全泄洪的情况下使总费用最少，是政府部门十分关注的问题。
针对本题提出的如何修建泄洪河道使总费用最省以及维护人员在各村留宿的概率的问题，分别建立了线性规划模型、最小生成树模型、马氏链模型、基于天然河道的最优泄洪基本模型,并运用MATLAB7.0和LINGO8.0数学软件，对模型进行求解，得出修建河道的最省方案和维护人员在各村留宿的概率。
最后还对原来建立的模型进行了评价，并加以推广。
问题一，开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划按照以下五步骤进行求解（见图
1）：
1、拟合出四条天然河道的泄洪量与时间的关系式；2、根据拟合的关系式，预测未来五年四条天然河道的泄洪量；3、确定开挖排洪沟的费用和预计的可泄洪量以及要达到的泄洪要求；4、建立线性规划模型，进行求解；5、检验第
四、第五年是否满足泄洪要求。
计算得到整个方案的总开支最省为172万元。
问题二，在最短路径和泄洪量的要求下，建立了最小生成树模型。
先编写MATLAB程序代码（见附录17）,通过prim算法求出最小生成树，使得泄洪量达到最小。
然后根据最短路径的要求，再进行修改得到最优网络图（见图6）。
通过计算最终得出修建新泄洪河道网络最省总花费资金为593万元。
问题三，维护人员是在问题二中解得的新泄洪河道网络上移动的，从一个村移动到与之相连的一个村，符合马氏链，所以建立了马氏链模型。
通过分析得出，该马氏链是正则链。
根据正则链的性质可知，正则链存在唯一的极限状态概率，所以维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。
联立关系式（见P,求15③式）解出维护人员在各村留宿的稳态概率wi（见表3）。
问题四，考虑到天然河道有着很大的泄洪潜力，如果能够及时的对天然河道清淤以及在天然河道的基础上建立泄洪河道网络，可以显著地减少泄洪工程的花费，所以建立了基于天然河道的最优泄洪基本模型。
首先找出模型的影响因素：
天然河道的曲折；不同地方土质的不同造成修建泄洪河道的成本不同；有的村可能没有天然河道流过；天然河道还要定期进行清淤；根据地貌，修建人工湖或者水库。
这些因素都会对泄洪方案的花费造成影响。
因此，以这些影响因素建立约束函数，以工程的总花费建立目标函数（见P。
对这些影响因素进行17关系式④）
分别讨论，找出约束函数?
1、？
2、？
3、？
4最小和?
5最大的修建方案，此时目标函数z取最小值，则此时的方案是最优的，也是最合理的。
关键词：
线性规划模型最小生成树马氏链最优泄洪基本模型
1问题重述
位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝5
灾害。
造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。
为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。
从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟，以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。
经测算，修建新泄洪河道的费用为P?
0.66Q0.51L（万元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示泄洪河道的长度（公里）。
要求通过数学建模方法，解决以下问题：
（1）该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。
在附录1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。
水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。
由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同（详见附录2）,而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。
同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。
修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。
要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。
乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支出尽量节省（不考虑利息的因素在内）。
（2）该乡共有10个村,分别标记为①一⑩，它们大致的相对地理位置（见附录3）,海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。
其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。
乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。
要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。
根据附录4中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。
（说明：
从村A一村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。
）
（3）新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。
试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？
（4）是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？
2基本假设
6
1、新泄洪河道在三年完工后，才能用于泄洪；
2、不受人力、物力等因素的影响，修建计划能够在指定的时间内完成；
3、在天然河道的泄洪能力非常小的情况下，认为其泄洪量为零。
3符号说明
xi：
第i条排洪沟的开挖情况（当xi=l时，表示该条排洪沟需要开挖；当xi=0时，表示该条排洪沟不需要开挖）；
mi：
第i条排洪沟开挖费用;
qi：
第i条排洪沟当年泄洪量；
Rj：
第j年4条天然河道泄洪总泄洪量；
Pj：
第j年修建新泄洪河道的费用；
M：
每年的流动资金60万；
Pij：
维护员从村子i到相邻村子j的概率（叮?
1,23?
8940,且i?
j）；wi：
在i村留宿的概率（i?
l,2,7,10）
4开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划
4.1问题分析
整个开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划应包括五个环节：
工、拟合出四条天然河道的泄洪量与时间的关系式；2、根据拟合的关系式，预测未来五年四条天然河道的泄洪量；3、确定开挖排洪沟的费用和预计的可泄洪量以及要达到的泄洪要求；4、建立线性规划的数学模型，进行求解；5、检验第四、第五年是否满足泄洪要求。
可用下面的流程图（图1）来表示，其中环节1、2、4、5是本文要做的工作，即应用拟合方法，预测出未来五年四条天然河道的泄洪量，建立数学模型进行求解出最佳方案，对第四、第五年进行检验是否满足泄洪要求。
7
图1开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划的流程图
4.2拟合并预测未来五年四条天然河道的泄洪量
（1）由附录一中表格所给的数据对每条河道进行拟合，得到各条河道泄洪量随时间变化的关系式，然后对各河道未来五年的泄洪量进行预测。
当天然河道的泄洪量很低时，认为其泄洪量为零。
1号天然河道泄洪量随时间的变化近似为直线关系，所以使用MATLAB7.0对天然河道1号进行一次拟合（源程序见附录5）得到：
P=-1.2017 33.4639
Y=32.2622 31.0606 29.8589 28.6572 27.4556 26.2539
25.0522 23.850622.6489
拟合的图像为：
图21号天然河道泄洪量随时间变化的拟合图
则拟合的直线方程为：
y?
?
1.2017x?
33.4639
使用MATLAB7.0对未来五年该天然河道的泄洪量进行预测（源程序见附录
6）,得到：
y=21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401
则未来五年1号天然河道的泄洪量分别为：
21.4469万立方米/小时、20.2452万立方米/小时、19.0435万立方米/小时、17.8418万立方米/小时、16.6401万立方米/小时。
（2）2号天然河道泄洪量随时间的变化近似为三次曲线关系，所以使用MATLAB7Q对天然河道2号进行三次拟合（源程序见附录7）得到：
P=-0.0311 0.7966 -7.5771 28.2357
9
Y=2
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