完整版实际问题及二元一次方程组经典例题.docx
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完整版实际问题及二元一次方程组经典例题
实际问题与二元一次方程组经典例题
目标认知
学习目标:
1.能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题,再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2.进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的优越性
3.体会列方程组比列一元一次方程容易
4.进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题,解决问题的能力
5.掌握列方程组解应用题的一般步骤;
重点:
1.经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。
2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
难点:
正确找出问题中的两个等量关系
知识要点梳理
知识点一:
列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系.一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.
知识点二:
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题:
(1)追击问题:
追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。
这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差=开始时两者相距的路程;
;
;
(2)相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是:
双方所走的路程之和=总路程。
(3)航行问题:
①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;
③顺水速度-逆水速度=2×水速。
注意:
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2.工程问题:
工作效率×工作时间=工作量.
3.商品销售利润问题:
(1)利润=售价-成本(进价);
(2)
;(3)利润=成本(进价)×利润率;
(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率;
注意:
“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)
4.储蓄问题:
(1)基本概念
①本金:
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息:
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和:
本金与利息的和叫做本息和。
④期数:
存入银行的时间叫做期数。
⑤利率:
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税:
利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式
①利息=本金×利率×期数
②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)
③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息=利息×(1-利息税率)⑤年利率=月利率×12⑥
。
注意:
免税利息=利息
5.配套问题:
解这类问题的基本等量关系是:
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6.增长率问题:
解这类问题的基本等量关系式是:
原量×(1+增长率)=增长后的量;
原量×(1-减少率)=减少后的量.
7.和差倍分问题:
解这类问题的基本等量关系是:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.
8.数字问题:
解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:
两位数=十位数字
10+个位数字
9.浓度问题:
溶液质量×浓度=溶质质量.
10.几何问题:
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11.年龄问题:
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的
12.优化方案问题:
在解决问题时,常常需合理安排。
需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。
注意:
方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三:
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:
1.审题:
弄清题意及题目中的数量关系;2.设未知数:
可直接设元,也可间接设元;
3.找出题目中的等量关系;4.列出方程组:
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;5.解所列的方程组,并检验解的正确性;6.写出答案.
要点诠释:
(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;
(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;
(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
解答步骤简记为:
问题
方程组
解答
(4)列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系;②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件;⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
经典例题透析
类型一:
列二元一次方程组解决——行程问题
1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
思路点拨:
画直线型示意图理解题意:
(1)这里有两个未知数:
①汽车的行程;②拖拉机的行程.
(2)有两个等量关系:
①相向而行:
汽车行驶
小时的路程+拖拉机行驶
小时的路程=160千米;
②同向而行:
汽车行驶
小时的路程=拖拉机行驶
小时的路程.
解:
设汽车的速度为每小时行
千米,拖拉机的速度为每小时
千米.
根据题意,列方程组
解这个方程组,得:
.
答:
汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。
举一反三:
【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?
解:
设甲、乙两人每小时分别行走
千米、
千米。
根据题意可得:
解得:
答:
甲每小时走6千米,乙每小时走3.6千米。
【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
分析:
船顺流速度=静水中的速度+水速
船逆流速度=静水中的速度-水速
解:
设船在静水中的速度为x千米/时,水速为y千米/时,
则
,解得:
答:
船在静水中的速度为17千米/时,水速3千米/时。
类型二:
列二元一次方程组解决——工程问题
2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
思路点拨:
本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:
若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;第二层含义:
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一层含义可得方程8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
解:
(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:
解得
答:
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。
(2)单独请甲组做,需付款300×12=3600元,单独请乙组做,需付款24×140=3360元,
故请乙组单独做费用最少。
答:
请乙组单独做费用最少。
总结升华:
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
举一反三:
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?
请你说明理由.
解:
设甲、乙两公司每周完成总工程的
和
,由题意得:
,解得:
所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。
设需要付甲、乙每周的工钱分别是
万元,
万元,根据题意得:
,解得:
故甲公司单独完成需工钱:
(万元);乙公司单独完成需工钱:
(万元)。
答:
甲公司单独完成需6万元,乙公司单独完成需4万元,故从节约的角度考虑,应选乙公司单独完成.
类型三:
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
思路点拨:
做此题的关键要知道:
利润=进价×利润率
解:
甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意得:
,解得:
答:
两件商品的进价分别为600元和400元。
举一反三:
【变式1】(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
解:
设李大叔去年甲种蔬菜种植了
亩
,乙种蔬菜种植了
亩,则:
,解得
答:
李大叔去年甲种蔬菜
种植了6亩,乙种蔬菜种植了4亩.
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
(注:
获利=售价—进价)
求该商场购进A、B两种商品各多少件;
解:
设购进A种商品
件,B种商品
件,根据题意得:
化简得:
解得:
答:
该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。
类型四:
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?
(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)
思路点拨:
设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格:
解:
设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,则列方程:
,解得:
答:
存教育储蓄的钱为1500元,存一年定期的钱为500元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
举一反三:
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?
(注:
公民应缴利息所得税=利息金额×20%)
思路点拨:
扣税的情况:
本金×年利率×(1-20%)×年数=利息(其中,利息所得税=利息
金额×20%).不扣税时:
利息=本金×年利率×年数.
解:
设第一种储蓄的年利率为x
,第二种储蓄的年利率为y,根据题意得:
,解得:
答:
第一种储蓄的年利率为2.25%,第二种储蓄的年利率为0.99%.
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
解:
设第一种存款数为X元,则第二种存款数为y元,根据题意得:
,解得:
答:
第一种存款数为1500元,第二种存款数为2500元。
类型五:
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
思路点拨:
本题的第一个相等关系比较容易得出:
衣身、衣袖所用布料的和为132米;第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意:
别把2倍的关系写反了).
解:
设用
米布料做衣身,用
米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得:
答:
用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
总结升华:
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
举一反三:
【变式1】现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
思路点拨:
两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数,两个相等关系是:
①制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190;②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
解:
设x张铁皮制盒身,y张铁皮制盒底,由题意得:
答:
用110张制盒身,80张制盒底,正好制成一批完整的盒子.
【变式2】某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
解:
由一个螺栓套两个螺母的配套产品,可设生产螺栓的有x人,生产螺母的有y人,
则:
,解得:
答:
生产螺栓的有25人,生产螺母的有35人。
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条。
现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?
能配多少张方桌?
解:
设用x立方米的木料做桌面,用y立方米的木料做桌腿,根据题意,得:
,解得:
∴可做50×3=150张方桌。
答:
用3立方米的木料做桌面,用2立方米的木料做桌腿,可做成150张方桌。
类型六:
列二元一次方程组解决——增长率问题
6.某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?
思路点拨:
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
总产值(万元)
总支出(万元)
利润(万元)
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式。
解:
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,根据题意得:
,解之得:
答:
去年的总产值为2000万元,总支出为1800万元
总结升华:
当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析。
举一反三:
【变式1】若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元?
解:
设今年的总产值为x万元,总支出为y万元,由题意得:
,解得:
答:
今年的总产值为2000万元,总支出为1800万元
思考:
本问题还有没有其它的设法?
【变式2】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。
思路点拨:
由题意得两个等式关系,两个相等关系为:
(1)城镇人口+农村人口=42万;
(2)城镇人口×(1+0.8%)+农村人口×(1+1.1%)=42×(1+1%)
解:
设现在城镇人口为x万,农村人口为y万,由题意得:
解得
答:
现在城镇人口14万人,农村人口为28万人
类型七:
列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.(2011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?
思路点拨:
找出已知量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据计划前后,倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组。
解:
设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶,由题意得:
,解得:
所以:
1.6x=1.6
5=8,1.5y=1.5
4=6
答:
“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.
举一反三:
【变式1】(2011年北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.
解:
设中国内地去年有x个城市参加了此项活动,今年有y个城市参加了此项活动.
依题意得
,解得:
答:
去年有33个城市参加了此项活动,今年有86个城市参加了此项活动
【变式2】游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗?
思路点拨:
本题关键之一是:
小孩子看游泳帽时只看到别人的,没看到自己的帽子。
关键之二是:
两个等式,列等式要看到重点语句,第一句:
每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多;第二句:
每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。
找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
解:
设男孩x人,女孩y人,根据题意得:
,解得:
答:
男孩4人和女孩有3人。
类型八:
列二元一次方程组解决——数字问题
8.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数。
思路点拨:
设较大的两位数为x,较小的两位数为y。
问题1:
在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为:
100x+y
问题2:
在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为:
100y+x
解:
设较大的两位数为x,较小的两位数为y。
依题意可得:
,解得:
答:
这两个两位数分别为45,23.
举一反三:
【变式1】一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少?
解:
设十位数为x,个位数为y,则:
,解得:
答:
这两位数为56
【变式2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?
解:
设个位数字为x,十位数字为y,根据题意得:
,解得:
答:
这个两位数为72.
【变式3】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。
解:
设原三位数的百位数字为x,个位数字为y,由题意得:
,
答:
所求三位数是504。
类型九:
列二元一次方程组解决——浓度问题
9.现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1,今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少?
思路点拨:
本题欲求两个未知量,可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决,题中有以下几个相等关系:
(1)甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=50;
(2)混合前两种溶液所含纯酒精质量之和=混合后的溶液所含纯酒精的质量;(3)混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含水的质量;(4)混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的比。
解:
法一:
设甲、乙两种酒精溶液分别取xkg,ykg.依题意得:
,
答:
甲取20kg,乙取30kg
法二:
设甲、乙两种酒精溶液分别取10xkg和5ykg,
则甲种酒精溶液含水7xkg,乙种酒精溶液含水ykg,根据题意得:
,
所以10x=20,5y=30.
答:
甲取20kg,乙取30kg
总结升华:
此题的第
(1)个相等关系比较明显,关键是正确找到另外一个相等关系