提公因式法分解因式典型例题.docx
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提公因式法分解因式典型例题
因式分解
（1）
一知识点讲解
知识点一：
因式分解概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1•因式分解特征：
因式分解的结果是几个整式的乘积。
多项式（和）
因式什解
整式乘法
整式的积
2•因式分解与整式乘法关系：
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
整
（a
b）2
22
a2abb
因
2a
2ab
b2
（a
b）2
（a
b）2
a22ab
b2
2a
2ab
b2
（a
b）2
式
2
式
n
（a
b）（a
b）a
b2
Za
b2
（a
b）（a
b）
乘
分
法
（x
3y）（x
3y）x
2^2
9y
解
2x
9y2
（x
3y）（x3y）
知识点二：
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：
（短除法）
例如：
求20,36,80的最大公（约）数？
最大公倍数？
22036SD
2L01840
20
36
so
10
13
40
5
g
20
1
g
4
2、寻找公因式的方法:
3a2y3ay6y,
a（xy）3b（xy）2（xy）3,
43
9Xy
832
27Xy
23322
-27ab36ab9ab
1•确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。
2.确定相同字母
公因式的字母是各项都含有的字母
3•看次数
相同字母的指数取最低次数
4•看整体
如果多项式中含有相冋的多项式，应将其看成整体不要拆开。
5.看符号
若多项式的首项是,则公因式的符号一般为负。
知识点三：
因式分解的方法（重点）
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.提取公因式法：
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：
mambmem（abc）
3.提公因式的步骤：
（1）确定公因式
文案大全
（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
另一个因式原多项式
4.注意事项：
因式分解一定要彻底
、例题讲解
模块1：
考察因式分解的概念
1.（2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
2.
2
x96x（x3）（x3）6x
x28x16（x4）2
2
B、（x5）（x2）x
D、6ab2a3b
（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
2
2x3（x1）2
B、（xy）（x
y）
3x
10
22xyy（xy）
D、2x2y
2（x
y）
3.（2017
秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是
A、2a2
2a12a（a1）1
B、（xy）（x
y）
2
C、9x
2
6x1（3x1）
22,、2
D、xy（xy）
4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是
A、3x
2y15x1
B、（3a2b）（3a2b）
C、x2
xx2（1丄）
x
5.（2017
a（a
6.
2xy
9a2
22
D、2x8y2（x2y）（x
春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（
b）a2ab
xx（x1）
（2016秋濮阳期末）下列式子中,
2
（x1）（x2）x3x2
2
x4x4x（x4）4
4b2
2y）
B、a22a1a（a2）1
222
D、xyxyx（yxy）
从左到右的变形是因式分解的是（
D、x2
3x2（x1）（x2）
y2（xy）（xy）
模块2:
考察公因式
1.（2017春抚宁县期末）多项式15m3n2
5m2n20m2n3的公因式是（
A、5mn
B、5m2n2
2
C、5mn
D、5mn
2.（2017春东平县期中）把多项式8a2b3c
式是（
A、8a2bc
B、
2a2b2c3
3.（2017秋凉州区末）
多项式
a29与
a2
16a2b2c224a3bc3分解因式，应提的公因
C、4abc
D、24a3b3c3
3a的公因式是（
B、
4.（2017春邵阳县期中）多项式8x
3mn
12xy
的公因式是（
mn
4xy
mn1
D、4xy
5.（2016春深圳校级期中）多项式
5mx3
25mx2
10mx各项的公因式是（
2
A、5mx
3
B、5mx
mx
D、5mx
6.下列各组代数式中没有公因式的是（
A、5m（ab）与ba
（a
2
b）与ab
C、mx
a2ab与a2b
ab2
7.观察下列各组式子：
①2ab和a
④x2y2禾廿x2
b:
②5m（ab）和a
y2。
其中有公因式的是（）
③3（a
b）和a
A、①②
B、②③
C、③④
①④
模块3:
利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型：
直接提取公因式
1、分解因式:
2
（1）x3x
222
（2）2x218x2y4xy2
（3）
6a（a
b）
4b（a
b）
abc
】ab2
a2bc
（5）S2b5a
46
nn1n2
（6）xxx
②因式分解的第二种类型：
变形后提取公因式
2.分解因式：
（1）3a（xy）6b（yx）
（2）a（xy）b（yx）c（xy）
③因式分解的第三种类型：
分组后提取公因式
3.分解因式：
（1）mxmynxny
（2）2a4b3ma6mb
模块4:
提公因式法的综合应用
类型1:
利用提公因式法进行简便计算
“c13
13“c
c13
（2）36.8-
20.2
2-
55
55
55
1.利用简便方法计算：
（1）3.2200.94.7200.9200.92.1
类型2:
利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式，在计算求值：
22
（2x1）（3x2）（2x1）（3x2）x（12x）（3x2）其中x=1.5
3.（2016秋唐河县期末）已知：
ab2015，ab誥，求a2bab2的值
4.已知ab
4，ab2，求多项式4a2b4ab2
4a4b的值。
2
5.若ab1
0,用因式分解法求
253
ab（abab
b）的值.
6.若a2a1
20162015
0，则aa
2014
a=o
7.不解方程组
2xy6
，求7y（x
x3y1
3y）22（3yx）
3的值。
类型3：
拔高培优题型
8.（2015杭州模拟）已知（19x31）（13x17）（1713x）（11x23）可因式分解成（axb）（30xc），其中a、b、c均为整数，求abc的值。
422
ax1，另一个因式为
9.已知多项式x42012x22011x2012有一个因式为x2
2
x2bx2012，求ab的值。
10.求证：
320164320151032014能被7整除。
3，求（a1）（b1）（c1）的值。
11.已知a,b,c满足ababbcbccaca
（a,b,c都是正整数）
12.（学霸题中题★★★）若X2
B、1
C、0
D、2
13.（2017合肥月考***）要使多项式X2
则不大于100的自然数n的个数为（
2Xn能分解为两个整系数一次多项式之积，
）
A、8
B、9
C、10
D、11
x1是ax3bx21的一个因式，则b的值为（
14.（2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
223
1XX（X1）X（X1）2（1X）[1XX（X1）]（1X）2（1X）（1X）3
（1）上述分解因式的方法是，共应用了次。
（2）若分解1XX（X1）X（X1）2...X（X1）2004，则需应用上述方法次，结果是。
（3）分解因式：
1xx（x1）x（x1）2...x（x1）n（n为正整数）。
一、选择题
1.（2017开县一模）当a,b互为相反数时，代数式a2ab4的值为（）
A、4B、0C、3D、4
2.（2016秋乳山期末）边长为a,b的长方形周长为12，面积为10，则a2bab2的值为（）
A、120B、60C、80D、40
3.（2017春蚌埠期末★）计算：
（2）2016
（2）2017所得的结果是（）
A、2B、2
C、
22016
D、
2016
4.（2017春乐亭县期末）
20142013
（8）2014（8）2013能被下列数整除的是（
A、3
B、5
C、7
2
5.（2017春源城区校级月考）把多项式p2（a1）p（1a）分解因式的结果是（）
22
A、（a1）（p2p）B、（a1）（p2p）C、p（a1）（p1）D、p（a1）（p1）
6.（2017春阳谷县期末）把xn3xn1分解因式得（）
n12n3n2nn12
A、x（x1）B、x（xx）C、x（xx）D、x（xx）
7.（2017春北湖区校级期中）整式a2（a21）a21的值（）
A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、结果的符号不确定
8.（2016赵县模拟）若ab3，a2b5，则a2b2ab2的值是（）
A、15B、15C、2D、8
9.（2016春高密市期末）将3x（ab）
A、3x9yB、3x9y
10.（2016春临清市期末）计算（3）m
A、3m1B、（3）m1
11.（2016春深圳期末）若ab3，
A、1B、1
C、
a
b
D、
3（ab）
2（
3）m
1，得（
）
C、
（
3）m1
D、
（3）m
ab
2，
则代数式
a2b
ab2的值为（
）
C、
6
D、
6
9y（ba）因式分解，
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