深圳大学 高等数学A教学大纲.docx
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深圳大学高等数学A教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号2214000105
课程名称高等数学A（周6学时）
课程类别专业必修
教材名称高等数学
制订人赵冰
审核人阮晓青
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：
专业必修课
2．适应专业：
理工科各专业学生
3．开设学期：
第一、二学期
4．学时安排：
周学时6，总学时192
5．学分分配：
12学分
（二）开设目的
高等数学课程是高等理工科学校各专业学生的一门必修的重要的基础理论课，通过本课程的学习，要求学生获得：
一元和多元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅立叶级数）以及常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。
通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程和进一步获得数学知识以及解决实际问题奠定必要的数学基础。
（三）基本要求
掌握微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅立叶级数）以及常微分方程的基本概念与基本方法，理解其中所涉及的基本的数学思想和方法，初步培养利用数学解决实际问题的基本意识和能力。
（四）主要内容
包括一元和多元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅立叶级数）以及常微分方程的理论和方法。
参考有关全国研究生入学考试大纲的内容。
（五）先修课程
无
（六）后继课程
线性代数、概率统计以及工程数学等。
（七）考核方式
闭卷考试
（八）使用教材
同济大学应用数学系编：
《高等数学》，北京：
高等教育出版社，2003年第五版.
（九）参考书目
同济大学应用数学系编《高等数学学习辅导与习题选讲》，北京：
高等教育
出版社，2003年第一版.
季文锋编《工学硕士入学考试数学复习指南》，北京：
北京理工大学出版社。
陈文灯编《考研数学复习指南》北京：
北京理工大学出版社。
二、教学内容
第一章函数、极限、连续
教学目的
引入函数、极限、连续的概念和基本运算，为微积分的展开打下基础。
主要内容
第一节函数
第二节数列的极限
第三节函数的极限
第四节无穷小与无穷大
第五节极限运算法则
第六节极限存在准则两个重要极限
第七节无穷小的比较
第八节函数的连续性与间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
第一十节闭区间上连续函数的性质
教学要求
了解：
分段函数概念；了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性以及他们各自
反映在函数图形上的特点；了解反函数与隐函数的概念；了解极限的
定
义﹑函数极限的
﹑
定义；了解函数极限的唯一性，有界性，保号
性；了解极限存在的准则；了解无穷小，无穷大、高阶无穷小和等价无穷小
的概念；了解函数的左连续与右连续的概念；了解初等函数的连续性；了解
在闭区间上连续函数的性质。
理解：
理解函数、区间及邻域等概念；理解复合函数及初等函数的概念；理解极限的概念；理解函数的左、右极限及其与函数极限的关系；理解无穷小和无穷大的概念，理解函数在一点连续的概念以及理解函数在一个区间上连续的概念
掌握：
基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则；用等价无穷小的性质
求极限；掌握无穷小的比较方法。
会用：
列出简单实际问题中的函数关系；会用两个重要极限求极限；会用等价无穷小求极限；会用闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分
教学目的
引入导数与微分的概念和基本运算,揭示函数变化率,讨论各类函数的微分方法。
主要内容
第一节导数概念
第二节函数的求导法则
第三节高阶导数
第四节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
第五节函数的微分
教学要求
了解：
了解函数的可导性与连续性的关系，能用导数描述科学技术中一些量的变化
率；了解高阶导数概念。
理解：
理解导数的概念及几何意义；理解微分的概念，理解导数和微分的关系，理解微分的几何意义以及函数的连续与可导性之间的关系。
掌握：
掌握初等函数地一阶、二阶导数的求法和一阶微分形式的不变性。
会用：
会求微分，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的一阶导数以及二阶导数。
会求分段函数的一阶、二阶导数。
第三章中值定理及导数的应用
教学目的
通过理解中值定理，进一步搞清与导数有关的概念，从而引出导数的应用。
主要内容
第一节中值定理
第二节洛比塔法则
第三节泰勒公式
第四节函数单调性与曲线的凹凸性
第五节函数的极值与最大最小值
第六节函数图形的描绘
第七节曲率
教学要求
了解：
了解柯西定理，了解曲率和曲率半径的概念。
理解：
理解罗尔定理和拉格朗日定理和泰勒定理；理解函数的极值概念。
掌握：
掌握用罗必塔法则求不定式的极限；用导数判断函数的单调性和求极值的方法；掌握函数图形的凹凸性及其判定法，掌握函数最大值、最小值的求法和应用问题。
会用：
会求函数的拐点和水平、铅直及斜渐近线，会描绘一些函数的图形，会计算曲率和曲率半径
第四章不定积分
教学目的
引入原函数和不定积分的概念和基本运算,这是积分学的基本问题之一。
揭示微分与
积分之间的关系。
主要内容
第一节不定积分的概念与性质
第二节换元积分法
第三节分部积分法
第四节几种特殊类型函数的积分
第五节积分表的使用
教学要求
了解：
了解简单的有理函数、三角函数有理式和简单的无理函数的积分法。
理解：
理解原函数和不定积分的概念。
掌握：
掌握不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。
第五章定积分
教学目的
通过微积分基本公式将不定积分与定积分联系起来，给出了定积分的计算方法。
主要内容
第一节定积分的概念与性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元法和分部积分法
第四节反常积分
教学要求
了解：
了解定积分的性质、定积分的中值定理；了解两种广义积分的概念，并会用定义求较简单的广义积分。
理解：
理解定积分的概念和几何意义；理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。
掌握：
掌握牛顿―莱布尼兹公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。
第六章定积分的应用
教学目的
通过对几何和物理方面实际问题的解决，揭示元素法的基本思想。
主要内容
第一节定积分的元素法
第二节定积分在几何上的应用
第三节定积分在物理上的应用
教学要求
理解：
理解元素法的思想
掌握：
掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法，会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式（如面积，体积，弧长、功、水压力等）。
第七章向量代数与空间解析几何
教学目的
介绍了向量的基本运算与空间解析几何的基本概念，为学习多元函数微积分学作准
备。
主要内容
第一节空间直角坐标系
第二节向量及其加减法向量与数的乘法
第三节向量的坐标
第四节数量积向量积*混合积
第五节曲面及其方程
第六节空间曲线及其方程
第七节平面及其方程
第八节空间直线及其方程
第九节二次曲面
教学要求
理解：
空间直角坐标系、向量的概念，会求两点间的距离。
了解：
了解平面与平面、直线与直线、平面与直线的夹角，平行，垂直的条件，会求点到平面的距离；了解曲面方程的概念。
了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程（包括圆锥面）及母线平行与坐标轴的柱面方程，并能画出这些方程的图形；了解空间曲线的一般方程和参数方程。
了解并会求空间曲线在坐标面上的投影。
了解常用的二次曲面的方程及其图形。
掌握：
掌握向量的和、差、数与向量的乘积，数量积和向量积的概念与运算。
掌握向量的坐标表达以及向量的模，方向余弦及单位向量的坐标表达式；掌握平面方程（点法式、一般式）和直线方程（一般式、对称式）及其求法。
第八章多元函数微分法及其应用
教学目的
引入多元函数的概念，讨论多元函数微分学的基本概念以及方法。
主要内容
第一节多元函数的基本概念
第二节偏导数
第三节全微分及其应用
第四节多元复合函数的求导法则
第五节隐函数的求导公式
第六节微分法在几何上的应用
第七节方向导数与梯度
第八节多元函数的极值及其求法
*第九节二元函数的泰勒公式
教学要求
了解：
了解二元函数的极限与连续概念；了解有界闭域上连续函数的性质（最大、最小值定理及介值定理的叙述），了解多元初等函数的连续性；了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解二元函数偏导数的几何意义，了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，了解二元函数的泰勒公式。
理解：
理解二元函数概念；理解偏导数（一阶和二阶）及全微分的概念；理解方向导数和梯度的概念；理解二元函数极值的概念。
掌握：
掌握求偏导数及全微分的方法。
会求：
曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；会用隐函数的求导法则；会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
第九章重积分
教学目的
引入二重、三重积分的概念、性质，给出重积分在不同坐标系下的计算方法以及几
何。
主要内容
第一节重积分
第二节二重积分的计算法
第三节二重积分的应用
第四节三重积分的概念及其计算法
第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
基本要求
了解：
了解三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
。
理解：
理解二重积分概念，
掌握：
掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）。
会用：
会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），会用重积分求一些几何量和物理量
第十章曲线积分与曲面积分
教学目的
引入两类曲线、曲面积分的概念和性质，并给出计算方法和几何应用。
主要内容
第一节对弧长的曲线积分
第二节对坐标的曲线积分
第三节格林公式及其应用
第四节对面积的曲面积分
第五节对坐标的曲面积分
第六节高斯公式通量与散度
第七节斯托克斯公式环流量与旋度
基本要求
了解：
了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；了解两类曲面积分的概念和计算方法；了解斯托克斯公式。
理解：
理解第二型平面线积分与路径无关的物理意义；理解两类曲线积分的概念。
掌握：
掌握格林公式和高斯公式；平面曲线积分与路径无关的条件。
掌握计算两类曲线积分的方法。
会用：
会求全微分的原函数；会用曲线和曲面积分求一些几何量和物理量。
第十一章无穷级数
教学目的
介绍无穷级数的概念，引入数项级数、幂级数和傅立叶级数及其应用。
主要内容
第一节常数项级数的概念和性质
第二节常数项级数的审敛法
第二节第三节幂级数
第四节函数展开成幂级数
第五节函数的幂级数展开式的应用
第七节傅立叶级数
第八节正弦级数和余弦级数
第八节周期2l的周期函数的傅立叶级数
基本要求
了解：
了解级数收敛的必要条件。
了解无穷级数的基本性质；了解根值审敛法。
了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念；9了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，并会用这些性质求幂级数的和函数，了解幂级数在其收敛区间内的一些性质。
了解函数展开为泰勒级数的充要条件及函数展开为幂级数的唯一性；了解函数的傅立叶系数，
傅立叶级数以及函数展开成傅立叶级数的狄利克雷（Dirichlet）充分条件。
理解：
理解无穷级数收敛、发散及和的概念；理解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p－级数的敛散性；理解幂级数的收敛半径概念。
掌握：
掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法；掌握交错级数的莱布尼兹定理。
会用：
会用这些性质求幂级数的和函数；会利用
和
的马克劳林展开式，将一些简单的函数展成幂级数。
会将定义在
和
上的函数展开为傅立叶级数；会将定义在
上的函数展开为正弦或余弦级数。
第十二章微分方程
教学目的给出常微分方程的概念和几种基本解法，为解决实际问题做准备。
主要内容
第一节微分方程的基本概念
第二节可分离变量的微分方程
第三节齐次方程
第四节一阶线性微分方程
第五节全微分方程
第七节可降阶的高阶微分方程
第八节高阶线性微分方程
第九节二阶常系数齐次线性微分方程
第十节二级常系数非齐次线性微分方程
*第十一节欧拉方程
第十二节微分方程的幂级数解法
基本要求
了解：
了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；了解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的通解和特解的求法。
理解：
理解微分方程，阶，解，通解，初始条件和特解的概念；理解线性微分方程解的性质及解的结构。
掌握：
掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法；掌握二阶（和某些高于二阶）线性齐次线性常系数微分方程的解法。
会用：
会解齐次方程、伯努利方程及全微分方程；会用降阶法求解下列三种高阶方程：
和
会解欧拉方程。
注：
根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
总学时192，周学时6，安排在第一学年，第一学期约84学时，内容为第一章至第六章，第二学期约108学时，内容为第七章至第十二章。
章次
教学内容
学时数
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
函数，极限与连续
导数与微分
中值定理与导数应用
不定积分
定积分
定积分的应用
空间解析几何与向量代数
多元微积分法及其应用
重积分
曲线积分与曲面积分
无穷级数
微分方程
总复习
22
14
16
12
12
8
12
18
18
18
20
18
4
合计
192
（二）考核要求
1.成绩评价
平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。
2．命题说明
题型应多样化，设计适当的开放性问题。
基本题（
主要考查学生基本概念、理论与方法的一般理解）、计算题（主要考查学生基本方法的具体、灵活应用）、证明题（主要考查学生基本理论、基本方法的综合运用能力）各占约1/3。
难易比例控制在15％难、50％适中、35％易之间。
涉及教材章的100％，节的85％，知识点的70％左右。
试卷末设置难度系数在0.7～0.9、分值为30分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。
试卷采用A、B卷。
注：
写明各学期教学总时数及各周学时数。
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