关于初中数学题解题规律的探究.docx

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关于初中数学题解题规律的探究

关于初中数学解题规律的探究

瓦房店市第一初级中学张晓红

一．有关中点

1.有关中点，最常见的辅助线是中线倍长。

这类习题比较多。

如图，AD是⊿ABC的中线，延长ＡＤ至Ｅ，

使ＤＥ＝ＡＤ，连接ＢＥ，通过边角边公理可

证⊿ACD≌⊿EBD，且AC∥BE。

例如：

如图，∠AEC=∠CDB=90°AE=CE，CD=BD，

点M、N分别是线段AB和DE的中点。

求证：

MN=

，MN⊥DE

本题思路是：

连接MD、ME，延长DM至F，

使MF=MD，连接AF、FE，利用上面的规律可证

⊿ＢＭＤ≌⊿ＡＭＦ，ＡＦ∥ＢＤ，

进而可证明⊿ＥＡＦ≌⊿ＥＣＤ，

可得⊿ＦＥＤ是等腰直角三角形。

２.有关中点，构造中位线也是常做的辅助线。

如图，⊿ABC中，DE是中位线，则DE∥BC，

DE=

.

例如，上题就可以这样做。

连接ＭＤ、ＭＥ，延长BD至H，使ＤＨ＝ＢＤ，连接CH并延长交AE的延长线于Ｇ，连接ＢＧ，连接ＡＮ并延长交ＢＧ于Ｋ，首先，可知⊿CBH、⊿ACG是等腰直角三角形，

得到线段DM、ME分别是⊿ABH、⊿ABG的中位线，

则DM∥AH，DM=

ME∥BG,ME=

然后再

通过证明⊿ACH≌⊿GCB，可证线段AH=BG，

AH⊥BG，进而可证明DM=ME，DM⊥ME，最后因为N点是线段DE的中点，可证MN⊥DE，MN=

。

3.关于中点，如果遇到等腰三角形底边的中点，则应构造三线合一。

如图，⊿ABC中，AB=AC，点Ｄ是线段ＢＣ的中点，

连接ＡＤ，则ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ

例如，上题还可以这样做。

连接ＭＤ、ＭＥ，分别延长线段ＡＥ、ＢＤ交于点Ｐ，连接ＭＰ，首先，⊿ＡＢＰ是等腰直角三角形，Ｍ是底边

ＡＢ的中点，则ＰＭ⊥ＡＢ，∠ＡＰＭ＝∠ＢＣＭ

＝４５°，然后证⊿BDM≌⊿PEM，得到

DM=ME，DM⊥ME，最后因为N点是线段DE的中点，可证MN⊥DE，MN=

。

4.关于中点，如果遇到直角三角形斜边的中点，则应构造斜边上的中线。

如图，⊿ABC中，∠ABC=90°，D点是斜边AC

的中点，则ＤＥ＝

。

例如，已知：

如图，⊿ABC中，∠ABC=90°，

BD是高，M点是BC边的中点，∠AMF=90°

BC=kAB，

求：

ME：

MF的值

由于M点是直角三角形斜边BC的中点，所以首先连接DM，本题思路是：

连接DM、EF，先证⊿ＡＤＥ～⊿ＡＭＦ，

⊿ＡＤＭ～⊿ＡＥＦ，可证的∠ＡＤＭ＝∠ＡＥＦ，然后，∠ＭＥＦ＝∠ＭＤＦ，再由ＤＭ＝

＝ＭＣ，可得∠ＭＤＣ＝∠Ｃ，进而∠ＭＥＦ＝∠Ｃ，最后再由⊿ＥＭＦ～⊿ＣＢＡ，可解的ME：

MF＝ＢＣ：

ＡＢ。

5.有关中点，还可以构造平行线，这类题很少。

如图，AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD交AD的

延长线于E，CF⊥AD于F，则有⊿DEB≌⊿DFC。

例如，已知：

如图，∠BAM=∠DCM,M点是线段BC

的中点

求证：

AB=CD

这道题除了可以用中点的其他证法外，就可以

用这种证法。

思路是作BF⊥CM交CD延长线与F，DE⊥CM于E，先证⊿BFM≌⊿DEM，得到BF=DE，再证⊿ABF≌⊿CDE，本题得证。

6.关于中点，就利用中点的定义性质，线段相等。

如图，C点是线段AB的中点，则AC=BC。

例如，已知：

如图，∠BAC=90°，AB=AC，

D点是AC边的中点，AE⊥BD于F

求证：

∠ADB=∠CDE

AD=CD在这里只是相等线段而已。

二、有关角平分线

1.有关角平分线，最常作的辅助线就是构造全等，这类习题也比较多。

如图，AD是⊿ABC的角平分线，在AB上截取

AE=AC，连接DE，则可证⊿AED≌⊿ACD。

例如，已知：

如图，⊿ABC中，∠A=60°，

BD、CE分别是角平分线，且交于O

求证：

BE+CD=BC

本题思路是：

在BC上截取BF=BE，连接OF

首先，利用角平分线换算求出∠EOB=∠COD=60°,

∠BOC=120°,然后，利用边角边公理证明公理⊿BEO≌⊿BEO，利用角边角公理证明⊿FCO≌⊿DCO，本题得证。

2．有关角平分线，作双垂，这类题也比较多。

如图，OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，

根据角平分线性质定理可得PE=PF。

例如，已知：

如图，∠BAC=90°，AB=AC

D是BC边上一点，ED⊥AD，EC⊥EA，

求证：

∠CAE=∠CDE

本题思路是：

作DG⊥CE，交CE的延长线于G，DH⊥AC于H，由已知，不难得出CD平分∠ACG，且∠ACB=∠BCE=45°，所以DH=DG，于是便可证⊿DGE≌⊿DHA，然后得⊿ADE是等腰直角三角形，∠AED=45°=∠ACD，最后利用“8”字形可证得∠CAE=∠CDE。

3.有关角平分线，还构造平行线。

如图，OC平分∠AOB，P点是OC上一点，

PD∥OB，则可证得DO=DP。

例如，已知：

如图，AB∥CD，AD与BC相较于K，

E是线段AD上一点，且∠ABE=∠CBE，AE=

猜想：

线段AB、BC、CD之间的数量关系

思路是，分别延长BE、DC交于F，利用上面的规律，可得FC=CB，再利用⊿ABE～⊿DFE不难得到CD+CB=2AB.

4.有关角平分线，就利用角平分线的定义性质，角相等。

如图，射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC。

例如，已知：

如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC

于E，DF平分∠ADC交AE于F，AE=AD

求证：

AF+BE=CD

三．有关对角互补的四边形

有关对角互补的四边形，往往旋转构造全等或相似或者延长相对两边相交于一点。

如图，∠BAD+∠C=180°，则不难证出∠EAD=∠C

只要作出∠CDF=∠EAD那么可证得

⊿EDA～⊿FDC

例如，已知：

如图，∠A+∠EDF=180°，

AB=kAC,BD=kDC，

试探究线段DE与DF之间的数量关系

本题思路是：

以D点为顶点，DF为一边，作∠FDG=∠EDB，DG交AC于G，则由上面规律可得∠BED=∠AFD，再由辅助线作法可证⊿BED～⊿GFD,那么DE：

DF=BD：

DG=kDC：

DG，然后，随之证明⊿CDG～⊿CAB，又可得DC：

DG=AC：

AB=AC：

kAC，所以，DE=DF。

另一种例题下面有。

四．有关旋转，有很多有价值的结论。

1，全等。

2.等腰。

3.“8”字形。

4.如果有直角三角形，还会产生中点。

5.有了“8”字形，就会有相似，而且能有4对相似三角形。

如图，⊿ABC中，∠ACB=90°，把⊿ABC

绕A点旋转，得⊿ADE，点C与D、B与E对应，

则

1．⊿ABC≌⊿ADE2．⊿ACD和⊿ABE是等腰三角形且顶角相等3.⊿ACD～⊿ABE4.有“8”字形。

5.F点是线段BE的中点。

可通过图中的辅助线得证。

（过B点作DE的平行线交DF的延长线于G）

6.①关于“8”字形，用下边的图单独看。

如图，线段AC与BD交于O，便形成“8”

字形

若∠OAD=∠OBC，则可证∠ODA=∠OCB，⊿AOD～⊿BOC，连接AB、DC，进而可证⊿AOB～⊿COD，如果分别延长DA、CB相较于P，还可证⊿PAB～⊿PCD，⊿PAC～⊿PBD。

这样，大部分的问题就可以解决了。

例1，已知：

如图，⊿ABC绕B点逆时针旋转

α得到⊿DBE，DE的延长线与AC交于F,连接

DA、BF，若∠ABC＜

α，BF=mAF，

求：

DF：

AF的值

本题思路是：

首先利用上面（四）的规律1，得⊿BCA≌⊿BED，进而得AC=ED，然后再利用“8”字形的规律，证明

∠ABD=∠AFD=α=∠CBE，于是∠DFC+∠EBC=180°，

得∠C+∠BEF=180°，所以，利用（三）的规律，在ED上截取EG=CF，连接BG，作BH⊥FG与H，然后证明⊿BCF≌BEG，

可得BF=BG，∠GBF=α，最后求得DF：

AF=1+2msin

。

例2.已知：

如图，⊿ABC中，O点、D点

分别是BC边和AB边的中点，E点是线段

OC上一点，EN⊥CD于N，EM⊥AB于M，∠B=α

求：

MN：

NO的值（用含有α的式子表示）

本题的思路是：

连接ED、OD，首先利用中点的规律，CD=BD=AD

OD垂直平分BC，∠B=∠DCB=α，∠CDA=2α，接着，再利用

旋转的规律6，得⊿NPM～⊿EPD，NM：

ED=PM：

PD=sin2α,同样是利用这个规律还可得⊿CED～⊿CNO，NO：

ED=CN：

CE=

cosα,最后，可得MN：

NO=sin2α：

cosα。

五．巧构造等边三角形

巧构造等边三角形，这类题很多，大多都是较难题。

这里，只举几个例子。

例1，已知：

如图，⊿ABC中，∠BAC=90°

AB=AC=BD，∠ABD=30°

求证：

AD=DC

证法1：

以BC边为边作等边⊿GBC，连接AG，

先证⊿AGB≌⊿AGC，得∠BGA=∠CGA=30°

再证⊿BAG≌⊿BDC，得∠BGA=∠BDC=30°

最后根据∠DAC=∠DCA=15°本题可证。

证法2：

以AD边为边作等边⊿ADE，连接BE。

证法3：

以AC边为边作等边⊿ACF，连接DF

证法4：

以AB边为边作等边⊿ABF，连接DF、CF。

本题中，若把“∠BAC=90°”改为“∠BAC=α”，

（60°＜α＜120°﹚，把“∠ABD=30°”改为

“∠ABD=120°-α”，其他条件不变，以上四法都可证。

例2.已知：

如图，⊿ABC中，∠A=20°，AB=AC

AD=BC

求:

∠CDB的度数

解法一：

以BC边为边作等边⊿BCE，连接AE，

首先利用边边边公理证⊿ABE≌⊿ACE，得

∠BAE=∠CAE=10°，再证⊿ADC≌⊿CEA得，

∠ACD=∠CAE=10°，本题得解∠CDB=30°.

解法二：

以AB边为边作

等边⊿BCF，连接CF或

以AC边为边作等边

⊿ACG，连接BG。

解法三：

把⊿ABC沿直线AB向左翻折得⊿ABM，

把⊿ABC沿直线AC向右翻折得⊿CAN，连接

BM、CM、MN、DM，即构造了等边⊿AMN。

解法四：

把⊿ABC沿直线AC向右翻折两次，

得⊿ACP、⊿APQ，在AD边上截取AK=AD，

即构造了等边⊿ADK。

解法五：

（例外）把⊿ABC沿直线AC向右翻折

得⊿ACP，作AL⊥CP于L，DR⊥AL于R，也可解。

虽然本法不属于构造等边三角形，但它真的很

简单，也应该是一个好方法。

总之，关于初中数学题中蕴含的规律和方法有很多，比如，如何证明中点、如何证明角平分线、如何构造含有特殊角的直角三角形、如何解好翻折的题、如何在平面直角坐标系里利用好直角和证直角，以及如何找数字规律等等，而这里指举了其中的几个，还有一些规律我也把握不好，有待于我们在工作中去发现探索，有不对的地方请多多指教，谢谢。