关于初中数学题解题规律的探究.docx

1、关于初中数学题解题规律的探究 关于初中数学解题规律的探究瓦房店市第一初级中学 张晓红一有关中点1. 有关中点，最常见的辅助线是中线倍长。这类习题比较多。如图，AD是ABC的中线，延长至，使，连接，通过边角边公理可证ACDEBD，且ACBE。 例如：如图，AEC=CDB=90AE=CE，CD=BD，点M、N分别是线段AB和DE的中点。求证：MN=，MNDE本题思路是：连接MD、ME，延长DM至F，使MF=MD，连接AF、FE，利用上面的规律可证，进而可证明，可得是等腰直角三角形。.有关中点，构造中位线也是常做的辅助线。如图，ABC中，DE是中位线，则DEBC，DE=.例如，上题就可以这样做。连接

2、、，延长BD至H，使，连接CH并延长交AE的延长线于，连接，连接并延长交于，首先，可知CBH、ACG是等腰直角三角形，得到线段DM、ME分别是ABH、ABG的中位线，则DMAH，DM=,MEBG, ME=,然后再通过证明ACHGCB，可证线段AH=BG，AHBG，进而可证明DM=ME，DMME，最后因为N点是线段DE的中点，可证MNDE，MN=。3.关于中点，如果遇到等腰三角形底边的中点，则应构造三线合一。如图，ABC中，AB=AC，点是线段的中点，连接，则，例如，上题还可以这样做。连接、，分别延长线段、交于点，连接，首先，是等腰直角三角形，是底边的中点，则，然后证BDMPEM，得到DM=ME

3、，DMME，最后因为N点是线段DE的中点，可证MNDE，MN=。4.关于中点，如果遇到直角三角形斜边的中点，则应构造斜边上的中线。如图，ABC中，ABC=90，D点是斜边AC的中点，则。例如，已知：如图，ABC中，ABC=90，BD是高，M点是BC边的中点，AMF=90BC=kAB，求：ME：MF的值由于M点是直角三角形斜边BC的中点，所以首先连接DM，本题思路是：连接DM、EF，先证，可证的，然后，再由，可得，进而，最后再由，可解的ME：MF：。5.有关中点，还可以构造平行线，这类题很少。如图，AD是ABC的中线，BEAD交AD的延长线于E，CFAD于F，则有DEBDFC。例如，已知：如图，

4、BAM=DCM,M点是线段BC的中点求证：AB=CD这道题除了可以用中点的其他证法外，就可以用这种证法。思路是作BFCM交CD延长线与F，DECM于E，先证BFMDEM，得到BF=DE，再证ABFCDE，本题得证。6.关于中点，就利用中点的定义性质，线段相等。如图，C点是线段AB的中点，则AC=BC。例如，已知：如图，BAC=90，AB=AC，D点是AC边的中点，AEBD于F求证：ADB=CDEAD=CD在这里只是相等线段而已。二、有关角平分线1.有关角平分线，最常作的辅助线就是构造全等，这类习题也比较多。如图，AD是ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE，则可证AEDACD。例如

5、，已知：如图，ABC中，A=60，BD、CE分别是角平分线，且交于O求证：BE+CD=BC本题思路是：在BC上截取BF=BE，连接OF首先，利用角平分线换算求出EOB=COD=60, BOC=120,然后，利用边角边公理证明公理BEOBEO，利用角边角公理证明FCODCO，本题得证。2有关角平分线，作双垂，这类题也比较多。如图，OC平分AOB，PEOA，PFOB，根据角平分线性质定理可得PE=PF。例如，已知：如图，BAC=90，AB=ACD是BC边上一点，EDAD，ECEA，求证：CAE=CDE本题思路是：作DGCE，交CE的延长线于G，DHAC于H，由已知，不难得出CD平分ACG，且ACB

6、=BCE=45，所以DH=DG，于是便可证DGEDHA，然后得ADE是等腰直角三角形，AED=45=ACD，最后利用“8”字形可证得CAE=CDE。3. 有关角平分线，还构造平行线。如图，OC平分AOB，P点是OC上一点，PDOB，则可证得DO=DP。例如，已知：如图，ABCD，AD与BC相较于K，E是线段AD上一点，且ABE=CBE，AE=猜想：线段AB、BC、CD之间的数量关系思路是，分别延长BE、DC交于F，利用上面的规律，可得FC=CB，再利用ABEDFE不难得到CD+CB=2AB.4. 有关角平分线，就利用角平分线的定义性质，角相等。如图，射线OC平分AOB，则AOC=BOC。例如，

7、已知：如图，平行四边形ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交AE于F，AE=AD求证：AF+BE=CD三有关对角互补的四边形有关对角互补的四边形，往往旋转构造全等或相似或者延长相对两边相交于一点。如图，BAD+C=180，则不难证出EAD=C只要作出CDF=EAD那么可证得EDAFDC例如，已知：如图，A+EDF=180，AB=kAC,BD=kDC，试探究线段DE与DF之间的数量关系本题思路是：以D点为顶点，DF为一边，作FDG=EDB，DG交AC于G，则由上面规律可得BED=AFD，再由辅助线作法可证BEDGFD,那么DE：DF=BD：DG= kDC：DG，然后，随之证明CDGCAB，又

8、可得DC：DG=AC：AB=AC：kAC，所以，DE= DF。另一种例题下面有。四有关旋转，有很多有价值的结论。1，全等。2.等腰。3.“8”字形。4.如果有直角三角形，还会产生中点。5.有了“8”字形，就会有相似，而且能有4对相似三角形。如图，ABC中，ACB=90，把ABC绕A点旋转，得ADE，点C与D、B与E对应，则1ABCADE 2ACD和ABE是等腰三角形且顶角相等 3. ACDABE 4.有“8”字形。5.F点是线段BE的中点。可通过图中的辅助线得证。（过B点作DE的平行线交DF的延长线于G）6.关于“8”字形，用下边的图单独看。如图，线段AC与BD交于O，便形成“8”字形若OAD

9、=OBC，则可证ODA=OCB，AODBOC，连接AB、DC，进而可证AOBCOD，如果分别延长DA、CB相较于P，还可证PABPCD，PACPBD。这样，大部分的问题就可以解决了。例1，已知：如图，ABC绕B点逆时针旋转得到DBE，DE的延长线与AC交于F,连接DA、BF，若ABC，BF=mAF，求：DF：AF的值本题思路是：首先利用上面(四)的规律1，得BCABED ，进而得AC=ED，然后再利用“8”字形的规律，证明ABD=AFD=CBE，于是DFC+EBC=180，得C+BEF=180，所以，利用（三）的规律，在ED上截取EG=CF，连接BG，作BHFG与H，然后证明BCFBEG，可得

10、BF=BG，GBF=，最后求得DF：AF=1+2msin。例2.已知：如图，ABC中，O点、D点分别是BC边和AB 边的中点，E点是线段OC上一点，ENCD于N，EMAB于M，B=求：MN：NO的值（用含有的式子表示）本题的思路是：连接ED、OD，首先利用中点的规律，CD=BD=ADOD垂直平分BC，B=DCB=，CDA=2，接着，再利用旋转的规律6，得NPMEPD，NM：ED=PM：PD=sin2,同样是利用这个规律还可得CEDCNO，NO：ED=CN：CE=cos,最后，可得MN：NO= sin2：cos。五巧构造等边三角形巧构造等边三角形，这类题很多，大多都是较难题。这里，只举几个例子。

11、例1，已知：如图，ABC中，BAC=90 AB=AC=BD，ABD=30 求证：AD=DC证法1：以BC边为边作等边GBC，连接AG，先证AGBAGC，得BGA=CGA=30再证BAGBDC，得BGA=BDC=30最后根据DAC=DCA=15本题可证。证法2：以AD边为边作等边ADE，连接BE。证法3：以AC边为边作等边ACF，连接DF证法4：以AB边为边作等边ABF，连接DF、CF。本题中，若把“BAC=90”改为“BAC=”，（60120，把“ABD=30”改为“ABD=120-”，其他条件不变，以上四法都可证。例2.已知：如图，ABC中，A=20，AB=ACAD=BC求: CDB的度数解

12、法一：以BC边为边作等边BCE，连接AE，首先利用边边边公理证ABEACE，得BAE=CAE=10，再证ADCCEA得，ACD=CAE=10，本题得解CDB=30.解法二：以AB边为边作等边BCF，连接CF或以AC边为边作等边ACG，连接BG。解法三：把ABC沿直线AB向左翻折得ABM，把ABC沿直线AC向右翻折得CAN，连接BM、CM、MN、DM，即构造了等边AMN。 解法四：把ABC沿直线AC向右翻折两次，得ACP、APQ，在AD边上截取AK=AD，即构造了等边ADK。解法五：（例外）把ABC沿直线AC向右翻折得ACP，作ALCP于L，DRAL于R，也可解。虽然本法不属于构造等边三角形，但它真的很简单，也应该是一个好方法。总之，关于初中数学题中蕴含的规律和方法有很多，比如，如何证明中点、如何证明角平分线、如何构造含有特殊角的直角三角形、如何解好翻折的题、如何在平面直角坐标系里利用好直角和证直角，以及如何找数字规律等等，而这里指举了其中的几个，还有一些规律我也把握不好，有待于我们在工作中去发现探索，有不对的地方请多多指教，谢谢。