正方形的性质与判定经典例题练习.docx
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正方形的性质与判定经典例题练习
正方形第一课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。
2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。
合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义：
2、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质：
边
角
对角线
对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质：
【探究三】正方形的周长与面积
边讲边练：
①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合
1.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.
3.如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：
（1）∠E=°；
（2）∠AFC=°；（3）∠ACE=135°；（4）AC=CE；（5）AD∶CE=1∶
.
其中正确的有（）
A．5个个个个
4.如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.
5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合
1.如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为（）
°°°°
2.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图2所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.
3.如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：
DE+BF=EF．
③正方形对角线的对称性
1.如图：
正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=.可以用一句话概括：
正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于.
思考：
如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？
若不成立，请写出你的结论，并加以说明.
2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：
①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP；⑤PD=
EC．其中正确结论的序号是．
思考：
当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考
（1）正确结论是否依旧成立？
若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
④正方形的折叠
1.如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是.
2.如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的
处，点A对应点为
，且
=3，则AM的长是.
3如图3，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是.
课后练习
1、已知：
如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）+12
+6
+
+6
3.正方形的面积是
，则其对角线长是________.
4.如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：
PM=QM.
5.如图4，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？
两正方形重合部分的面积怎样变化？
为什么？
6．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系.
7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为.
8.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
（1）如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=_____cm；
②求证：
EP=AE+DP；
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由．
正方形第二课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的判定方法。
2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。
二、合作学习
合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？
练一练：
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。
（）
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。
（）
（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。
（）
（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
（）
2．不能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
3、四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（ ）
A．AB=BC=CD=DAB．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分D．AB=BC，CD=DA
4、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：
（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．
精讲精练
例1、已知
中，
，CD平分
交AB于D，DF
E
C
D
B
A
O
（1）求证：
EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论.
（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？
并证明你的结论.
拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）
1、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。
试判断
的形状，并说明理由。
2、如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，
（1）若PQ=BP+DQ，求
。
（2）若
求证：
PQ=BP+DQ.
3、如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：
.
（2）判断
的形状。
（11舟山）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：
四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=
（0°＜
＜90°），
①试用含
的代数式表示∠HAE；
②求证：
HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？
并说明理由．
例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求
的度数。
变式：
1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
（1）求证：
△BEC≌△DFC；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
例2：
如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：
AE⊥EG.
例3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.
例4如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：
①PE=PD；②PE⊥PD；
A
B
C
P
D
E
1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则
=。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。
为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：
无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度
，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
7、（大连）
（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。
探究：
线段MD、MF的关系。
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转
，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。
试问：
（1）中探究的结论是否还成立？
若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
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